Цель работы: научиться применять формулу Бернулли для составления закона распределения случайной величины, изображать закон графически, находить вероятности конкретных значений случайной величины.
Оборудование: IBM PC, Mathcad 7 Pro.
Теоретические обоснования:
1. Формула Бернулли
Пусть производится конечное число одинаковых испытаний, в результате каждого из которых может произойти или не произойти некоторое событие А. Будем считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же Р(А) = р и не зависит от того, произойдет или нет событие А в других испытаниях. Такие испытания называются независимыми. Найдем вероятность того, что среди n независимых испытаний событие А произойдет ровно m раз. Искомую вероятность обозначим Pn(m) и для ее нахождения используем формулу Бернулли:
Pn(m) = n!/(m!· (n – m)!) · pm · (1 – p)n – m.
Пример 1
Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет p=0,8. Найти вероятность четырех попаданий при шести выстрелах.
Решение
Здесь n = 6, m = 4, p = 0,8. По формуле Бернулли находим
P6(4) = 6! / (4! · (6 – 4)!) · 0,84 · (1 – 0,8)6 – 4 = 0,246.
2. Закон распределения случайной величины
Случайной величиной называется
переменная величина, которая может принимать те
или иные значения в зависимости от случая.
Случайные величины обозначаются прописными
буквами латинского алфавита: X, Y, Z и т. д., а их
значения – соответствующими строчными буквами:
x, y, z и т. д.
Случайные величины делятся на дискретные (или
прерывные) и непрерывные.
Случайная величина называется дискретной,
если множество ее значений конечно или счетно, т.
е. множество ее значений представляет собой
конечную последовательность x1, x2,…, xn
или бесконечную последовательность x1, x2,…,
xn,….
Функция, связывающая значения случайной
величины с соответствующими им вероятностями,
называется законом распределения дискретной
случайной величины. Его удобно задавать в виде
следующей таблицы:
| Значения xi | x1 | x2 | x3 | … | xn |
| Вероятности pi | p1 | p2 | p3 | … | pn |
Таблица 1. Закон распределения случайной величины
События X = xi (i = 1, 2, 3, …, n) являются несовместными и единственно возможными, т. е. они образуют полную систему событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице:
p1 + p2 + p3 + … + pn = 1.
Пример 2
Разыгрываются две вещи стоимостью по 5 тыс. руб. и одна вещь стоимостью 30 тыс. руб. Составить закон распределения выигрыша для человека, купившего один билет из 50.
Решение
Искомая случайная величина Х представляет собой выигрыш и может принимать три значения: 0, 5 и 30 тыс. руб. Первому результату благоприятствует 47 случаев, второму результату – два случая и третьему – один случай. Найдем их вероятности:
P(x1) = 47/50 = 0,94;
P(x2) = 2/50 = 0,04;
P(x3) = 1/50 = 0,02.
Закон распределения случайной величины имеет вид
| Значения xi | 0 | 5 | 30 |
| Вероятности pi | 0,94 | 0,04 | 0,02 |
В качестве проверки найдем
P(x1) + P(x2) + P(x3) = 0,94 + 0,04 + 0,02 = 1.
3. Биномиальное распределение
Пусть производится определенное число n независимых испытаний, причем в каждом из них с одной и той же вероятностью может наступить некоторое событие А. Рассмотрим случайную величину Х, представляющую собой число наступлений события А в n испытаниях. Закон ее распределения имеет вид
| Значения xi | 0 |
1 |
2 |
… |
n |
| Вероятности pi | Pn(0) |
Pn(1) |
Pn(2) |
… |
Pn(n) |
где Pn(m) вычисляются по формуле Бернулли.
Закон распределения случайной величины Х,
который характеризуется такой таблицей,
называется биномиальным распределением.
Пример 3
По мишени стреляют 10 раз, причем вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2. Используя математический пакет программ Mathcad, выполнить следующие задания:
1) Составить закон распределения случайной
величины Х – число попаданий в цель.
2) Изобразить графически закон распределения.
3) Найти наименее вероятное число попаданий.
4) Найти наиболее вероятное число попаданий.
5) Определить вероятность того, что число
попаданий
а) m > 6; б) m < 5; в) менее 4; г) не менее 8; д) более 2, но не более 7
Решение
1) Составим закон распределения данной случайной величины (<Рисунок 1>).
Рисунок 1. Составление закона распределения случайной величины.
Примечание: Чтобы задать в Mathcad значения m, надо использовать клавишу [ ; ], в результате на экране появится символ .. Полученные значения m и P(m) необходимо записать в виде стандартной таблицы закона распределения случайной величины (<Tаблица 1>).
2) Изобразим графически полученный закон распределения (<Рисунок 2>).
Рисунок 2. График закона распределения случайной величины.
Примечание: После того как будет вызван график, в нижнее поле ввода введите переменную m, в левое поле ввода введите название функции P(m). Значения для переменной m задаются от нуля до заданного по условию значения n. Значения для P(m) задаются от нуля до наибольшего значения P(m). Затем вызовите двойным щелчком левой кнопки мыши диалоговое окно Formatting Currently Selected… и установите нужные флажки и переключатели (<Рисунок 3>).
Рисунок 3. Окно форматирования графика.
3) Исходя из полученного закона распределения случайной величины или из его графика, найдем наименее вероятное число попаданий, т. е. такое значение переменной m, при котором вероятность P(m) принимает наименьшее значение. Для нашего случая m = 10.
4) Исходя из полученного закона распределения случайной величины или из его графика, найдем наиболее вероятное число попаданий, т. е. такое значение переменной m, при котором вероятность P(m) принимает самое большое значение. Для нашего случая m = 2.
5) Используя кнопку ? на панели Исчисление, вычислим вероятности при заданных значениях переменной m (<Рисунок 4>).
Рисунок 4. Выполнение задания 5.
Порядок выполнения работы:
1. Проработать теоретический материал по теме.
2. Ответить на контрольные вопросы.
3. Получить вариант задания.
4. Выполнить задание.
5. Оформить отчет о работе.
Методические указания:
- Будьте внимательны. Проверяйте правильность ввода числовых данных и формул. Ошибка приведет к неверному результату.
- При выполнении заданий пользуйтесь соответствующими примерами.
- Не торопитесь! Лучше меньше, да правильней!
Контрольные вопросы:
1. Какая величина называется случайной?
2. Какая случайная величина называется
дискретной?
3. Опишите схему Бернулли. Какие элементарные
события повторяются в этих испытаниях?
4. Запишите формулу Бернулли.
5. Что называется законом распределения
случайной величины?
6 Какой закон распределения называется
биномиальным?
Литература:
1. Богомолов Н.В. Практические занятия по
математике. – М.: Высш. шк., 1990.
2. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для
техникумов. – М.: Наука, 1989.
3. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс
высшей математики. – М.: Астрель –АСТ, 2001.
4. Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика.
– М.:ABF, 1995.
Благодаря программе Mathcad, преподаватель имеет возможность составить для каждого студента свой вариант заданий. Приведем примеры некоторых из них <Приложение 1> и ответы к ним <Приложение 2>.