Цели урока:
- Разработать и закрепить вывод формул для косинуса и синуса суммы и разности аргументов;
- Способствовать формированию умений в применении нового и ранее изученного материала, при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений;
- Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля.
Оборудование: компьютер, проектор, экран, доска, мел, указка.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент – 1 мин.
2. Устная работа – 3 мин. (Слайды 3-5)
2.1.Упростить:
2.2. Вычислите:
б) cos 60o + 2sin 30o + 1/2 tg260o – ctg 45o
2.3. Выразите тригонометрические функции через тригонометрические функции положительных углов меньших 90o:
sin100o; cos70o; tg165o; cos(–215o); sin(–70o); tg (–130o)
3. Изучение нового материала – 13 мин. (Приложение 1)
3.1. Рассмотрим ∆АВС (рис 1. Cлайд 6), ∟А = α;|AC| = b; |AB | = c, тогда S∆ABC = 1/2bc sinα
3.2. Рассмотрим произвольный ∆АВС (рис. 2, слайд 7)
Проведем высоту AD; обозначим ∟BAD = α, ∟DАC = β; |AB| = c, |AC| = b
S∆ADB = 1/2 ch sinα
S∆ADC = 1/2 bh sinβ
S∆ABC = S∆ADC + S∆ADB, где S∆ABC = 1/2 bс sin (α + β)
получим: 1/2 bс sin (α + β) = 1/2 сh sinα + 1/2 bh sinβ, или bc sin(α + β) = ch sinα + bh sinβ
разделим обе части равенства на bc:
sin (α + β) = h/b sinα + h/c sin β, т.к. h/b = cosβ, h/c = cosα; то sin(α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ
3.3. Заменив β на – β получим: sin(α – β) = sinα · cosβ – cosα · sinβ
3.4. Формула косинуса суммы аргументов может быть выведена из полученной:
cos (α + β)= sin (90o – (α + β)) = sin ((90o – α) – β) = sin (90o – α) sinβ – cos (90o – α) sinβ = cosα · cosβ – sinα · sinβ
3.5. Используя скалярное произведение векторов, введем формулу косинуса разности аргументов (рис. 3 слайд №8)
В плоскости XOY с единичным вектором возьмем угол ( [0A) [0x)) = α и ( [0С) [0у) ) = β
4. Закрепление нового материала – 20 мин.
4.1. Работа у доски – 10 мин.
а) Вычислите:
cos 75o = (cos 45o + 30o) = cos 45o · cos30o – sin 45o · sin 30o =
б) Доказать, что:
sin (
+ х) = – sinx
cos (
Решение:
sin (
cos (
в) Вычислите: sin (x + y), если известно, что
sin x = 3/5, 0 < x <
Решение:
Oтвет: –1
4.2. Самостоятельная работа по вариантам – 10 мин. (Приложение 2; слайд 10)
5. Практическое применение теорем сложения – (Приложение 3)
Задача №1 (рис.5 слайд № 11)
На практике часто приходиться двухфазный или трехфазный ток направлять в один проводник. При этом возникает, как показал опыт, "суммарный" переменный ток, мгновенная сила которого равна сумме мгновенных сил слагаемых токов. Точную величину амплитуды "суммарного" тока, его частоту и фазу смещения не найти, не рассмотрев предварительно свойств тригонометрических функций, связанных со сложением аргументов.
При частоте гармонического тока ν = 50 Гц его круговая частота равна 2 ν, т.е. 314 1/с. Если данный процесс происходит в единой ветви, то результирующий ток, например в фазе , будет складываться из токов: i1, i2, i3.
Задача №2 (рис. 6 слайд № 12)
При переходе светового луча из одной среды в другую происходит его преломление (рис.5), т.е. отклонение от первоначального направления, причем коэффициент преломления равен отношению sin α1' sin α2 , где α1 – угол падения луча на границу сред, α2 – угол отклонения.При конструировании оптических приборов приходится решать задачи подобные следующей: как надо направить луч на границу двух сред, чтобы угол падения луча превышал угол преломления на данную величину?
Если коэффициент преломления равен n, а угол падения больше угла преломления на αо, то отыскание искомого угла падения х сводится к решению уравнения sinx/sin(x – α) = n , которые нельзя решить без знания теорем сложения.
6.Домашнее задание – 1 мин. (Слайд 13)
Учебник А.Г. Мордкович: § 21 стр. 107 – 111
7. Подведение итогов урока – 2 мин.
– Какую тему изучили на уроке?
– Результаты самостоятельной работы (решение и ответы заранее подготовлены).
– Комментирование и выставление оценок.