Учебное занятие в 11-м классе по теме "Логарифмические уравнения"

Ларикова Ольга Владимировна

Разделы: Математика

Цели учебного занятия:

Формирование учебных умений и навыков:

познакомить учащихся с простейшими логарифмическими уравнениями, способами их решения;
продолжить формирование понятий равносильности и следствия, логарифма числа, умения применять свойства логарифмов при решении логарифмических уравнений;
совершенствовать умение выделять в объекте существенные свойства и особенности;
совершенствовать умение выявлять общие и различающиеся свойства сравниваемых объектов;
совершенствовать умение классифицировать объекты по способам решения;
совершенствовать навыки решения системы неравенств, квадратных уравнений, вычислительные навыки;
совершенствовать умение формулировать выводы по результатам анализа.

Развивающие:

развивать логическое мышление;
продолжить формирование ясного, точного, грамотного изложения своей мысли в устной и письменной речи;
развивать умения использовать словесный, символичный, графический языки математики;
развивать умение проводить доказательных рассуждений, аргументаций.

Воспитательные:

способствовать овладению учащимися системой математических знаний и умений, необходимых для изучения смежных дисциплин, продолжения образования;
формирование качеств личности, необходимых для жизни в современном обществе: ясности и точности мысли, критичности, интуиции, логического мышления, способности к преодолению трудностей.

Оборудование:

1. Таблица "Свойства логарифмов"

2. Таблица "Алгоритмы решения простейших логарифмических уравнений".

Ход учебного занятия

I. Этап формирования новых знаний и способов действия.

На уроках по теме "Свойства логарифмической функции" мы уже решали простейшие логарифмические уравнений графическим способом, сегодня мы дадим понятие логарифмическое уравнений и научимся аналитическому способу решения логарифмических уравнений.

Для успешного решения логарифмического уравнения Вам необходимо:

безошибочно решать простейшие логарифмические уравнения;
не только знать все логарифмические тождества, но и множество значений переменной, на котором эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать лишних корней, а тем более не терять решение уравнения;
четко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования уравнений (перенос из одной части в другую, приведение к общему знаменателю дробей тому подобное). Это называется математической культурой.

И помните - небольшая арифметическая ошибка может просто создать трансцендентное уравнение, которое в принципе не решается аналитически. Вы сбились с пути и уперлись в стенку лабиринта.

знать методы решения задач (то есть знать все пути прохода по лабиринту решения).

Для правильного ориентирования на каждом этапе Вам придется определить тип уравнения, вспомнить и применить соответствующий этому типу метод решения задачи.

Введем определение логарифмического уравнения.

Для решения логарифмических уравнений, мы можем сформулировать следующее утверждение:

(1)

На практике это утверждение применяют так: переходят от уравнения (1) к уравнению (2) (такой переход называют потенцированием уравнения), решают уравнение (2), а затем проверяют его корни по условиям: f (x) > 0 и g (x) > 0, определяющим область допустимых значений переменной (ОДЗ). Те корни уравнения (2), которые удовлетворяют этим условиям, являются корнями уравнения (1). Те корни уравнения (2), которые не удовлетворяют хотя бы одному из этих условий, объявляются посторонними корнями для уравнения (1).

Иногда удобнее использовать другой порядок ходов: сначала решить систему неравенств: f (x) > 0 и g (x) > 0, т.е. найти область допустимых значений переменной (ОДЗ). Затем найти корни уравнения (2), и сделать проверку по найденному значению ОДЗ.

Рассмотрим решение разных типов простейших логарифмических уравнений различными методами:

Пример 1. Решите уравнение

Решение:

Решив квадратное уравнение и выполнив проверку, убедимся, что условию удовлетворяет только один из корней : 4.

Ответ: 4.

Пример 2. Решите уравнение

Решение: Данное уравнение равносильно:

Преобразование расширяет область определения уравнения, поэтому к полученному уравнению необходимо добавить неравенство . Далее решим квадратное уравнение и "отбросим" отрицательный корень.

Ответ : 3.

Пример 3. Решите уравнение

Решение: Данное уравнение равносильно:

Ответ: -1.

При решении данных уравнений использовался метод потенцирования.

Для решения уравнений, содержащих логарифмы с разными основаниями, используется формула перехода от одного основания к другому: .

Пример 4. Решите уравнение

Решение: Перепишем уравнение в виде:

Ответ: 16.

Некоторые логарифмические уравнения сводятся к алгебраическим уравнениям с помощью замены переменных.

Пример 5. Решите уравнение

Решение: Воспользуемся методом замены. Пусть ,тогда данное уравнение примет вид , откуда .

Следовательно, , ,

Ответ: 10.

Иногда встречаются уравнения, в которых фигурирует функция вида , при этом чаще всего подразумевают, что . Так будем поступать и мы. Такие уравнения удобно решать почленным логарифмированием.

Пример 6. Решите уравнение

Решение: Прологарифмируем по основанию 2. Получим:

Ответы:

II. Этап подведения итогов учебного занятия.

Итак, мы познакомились с тремя методами решения логарифмических уравнений, проанализировав данные примеры, можем составить алгоритмы решения различных типов логарифмических уравнений разными методами (таблица "Алгоритмы решения простейших логарифмических уравнений").

"Алгоритмы решения простейших логарифмических уравнений"