Решение задач на вычисление вероятностей с экспериментальной проверкой теоремы о полной группе несовместных событий

Разделы: Математика

Цели урока.

  1. Повторить определение вероятности события в случае равновозможных исходов, теорему о сумме двух несовместных событий, основное правило комбинаторики.
  2. Формировать умения применять этот теоретический материал к решению задач.
  3. Развивать логическое мышление в процессе применения теоретических фактов при решении задач.
  4. Показать возможности экспериментальной проверки общих математических утверждений.

Ход урока

1. Повторение проводится в форме опроса учащихся.

Вопрос. Что называется вероятностью случайного события?

Ответ. Вероятностью события называется отношение числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

Вопрос. Что называется суммой двух событий?

Ответ. Суммой двух событий A и B называется такое событие, которое происходит тогда и только тогда, когда либо произошло событие A, либо событие B, либо оба события произошли одновременно.

Вопрос. В каком случае два события называются несовместными?

Ответ. Два события называются несовместными, если они не могут произойти в результате одного и того же опыта.

Вопрос. Сформулируйте теорему о сумме двух несовместных событий.

Ответ. Если события A и B несовместны, то P(A+B) = P(A) + P(B).

Вопрос. В чем состоит основное правило комбинаторики?

Ответ. Если объект A можно выбрать n способами, а объект B можно выбрать m способами, то выбор пары, состоящей из A и B, можно осуществить n·m способами.

2. Решение задач практического содержания.

Задача № 1. Из 25 экзаменационных билетов по математике Николай успел подготовить 20 билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он подготовил?

Решение. Проводим рассуждения в форме беседы с учащимися.

Сколько равновозможных исходов существует при выборе билетов? Вывод: 25.

Вероятность какого события надо определить и сколько исходов ему благоприятствуют? Вывод: 20.

Используя определение вероятности события, находим p == 0,8.

Ответ. 0,8.

Дополнительный вопрос. А какова вероятность, что Николаю не повезет?

Ответ: т.к. сумма вероятностей события и события ему противоположного равна 1, эта вероятность равна 1 - 0,8 = 0,2.

Теперь решим более сложную задачу про экзамен.

Задача № 2. Из 25 вопросов по алгебре и 25 вопросов по геометрии произвольным образом составлены экзаменационные билеты, каждый из которых состоит из одного вопроса по алгебре и одного - по геометрии. Коля выучил 20 вопросов по алгебре и 15 вопросов по геометрии. Найти вероятность того, что он получит хорошую оценку (четверку или пятерку), т.е. ответит на оба вопроса.

Решение. Проводим рассуждения в форме беседы с учащимися.

Сколько равновозможных исходов существует при произвольном (т.е. случайном) составлении билетов из двух вопросов?

Каждый из 25 вопросов по алгебре может оказаться в паре с любым из 25 вопросов по геометрии. Поэтому для нахождения всех способов нужно воспользоваться основным правилом комбинаторики – правилом умножения: 25x25 = 625. Вывод: число всех равновозможных исходов n = 625.

Вероятность какого события надо определить и сколько исходов ему благоприятствуют?

Надо определить вероятность события, состоящего в том, что Коле достанется билет, в котором он знает и вопрос по алгебре и вопрос по геометрии. Т.к. Коля выучил 20 вопросов по алгебре и 15 вопросов по геометрии, по основной теореме комбинаторики находим, что число исходов, благоприятных для этого события, есть 20x15 = 300. Вывод: число благоприятных исходов m = 300.

Используя определение вероятности события, находим

Ответ. 0,48.

Продолжим исследование Колиных шансов. Как поставить вопрос?

Задача № 3. Ответ на экзамене оценивается тройкой, если ученик отвечает на один (любой) вопрос. Какова вероятность того, что Коля получит тройку?

Решение. Число всех равновозможных исходов при составлении билетов то же самое, что и в предыдущей задаче: n = 625.

Для интересующего нас события благоприятны такие исходы:

1. Коля получит билет, в котором он знает ответ на первый вопрос и не знает ответа на второй.

2. Коля получит билет, в котором он знает ответ на второй вопрос, но не знает ответа на первый.

Подсчитаем число элементарных исходов первого типа. Поскольку Коля знает ответы на 20 вопросов по алгебре и не знает ответов на 10 вопросов по геометрии, согласно основной теореме комбинаторики таких исходов будет m1 = 20x10 = 200.

Аналогично находим число благоприятных исходов второго типа m2 = 15?5 = 75 (Коля знает ответы на 15 вопросов по геометрии и не знает ответов на 5 вопросов по алгебре). Таким образом, общее число благоприятных исходов

m = m1 + m2 = 200 + 75 = 275.

По определению вероятности события получаем

Ответ. 0,44.

Наконец найдем вероятность того, что Коле совсем не повезет.

Задача № 4. Определить вероятность того, что Коле достанется билет, в котором он не знает ответ ни на один вопрос и, конечно, получит двойку.

Решение. Число всех равновозможных исходов при составлении билетов то же самое, что и в предыдущих задачах: n = 625. Число благоприятных исходов для интересующего нас события (но не для Коли!) m = 5x10 = 50, а его вероятность

Ответ. 0,08.

3. Итог урока.

Итак, решая задачи, мы вычислили вероятности трех событий: Коля получит хорошую оценку, удовлетворительную и не сдаст экзамен. Эти вероятности оказались такими: 0,48; 0,44; 0,08. Заметим, что их сумма равна 1, а также то, что эти события обладают следующими свойствами:

  1. Они попарно несовместны.
  2. Они исчерпывают все множество элементарных исходов.

Совокупность любого числа событий, удовлетворяющих этим условиям, называется полной группой несовместных событий. Установленный нами факт представляет собой частный случай следующей общей теоремы теории вероятности.

Теорема. Сумма вероятностей событий, составляющих полную группу несовместных событий, равна 1.

Пользуясь этой теоремой, можно упростить решение некоторых задач на вычисление вероятностей. Например, задачу №3 можно решить так: 1 – 0,48 – 0,08 = 0, 44.

4. Задание на дом.

Задачи можно выбрать из [1-5].

Для учащихся, проявляющих повышенный интерес к изучению математики, можно предложить следующие задачи, продолжающие цикл задач 2-4, решенных на уроке.

Задача № 5. Ответ на экзамене оценивается пятеркой, если ученик ответил на оба вопроса в билете и дополнительный вопрос. Предполагается, что экзаменатор случайно выбирает этот вопрос из числа тех, которые не встретились в билете. Какова вероятность того, что Коля получит пятерку?

Ученикам нужно дать указание: повторите определение условной вероятности и теорему умножения вероятностей для зависимых событий, см., например, [5, 12.4].

Решение. Коля получит пятерку, если на экзамене произойдут два события: он ответит на оба вопроса из билета (событие А) и ответит на дополнительный вопрос (событие В). Поэтому мы должны определить вероятность события АВ, которая согласно теореме об умножении вероятностей находится по формуле

Р (АВ) = Р(А)РА(В).

Вероятность Р(А) = 0,48 была определена при решении задачи №2. Вероятность РА(В) это условная вероятность, т.е. вероятность того, что событие В произойдет, если событие А уже наступило. Эта вероятность, определяется по той же самой формуле , что и раньше, но теперь n это число всех возможных исходов, которые остались после того, как Коля уже ответил на оба вопроса, а m это число оставшихся благоприятных исходов.

Отсюда следует, что n = 25x2 – 2 = 48 (всего 25 билетов по 2 вопроса, а 2 вопроса были в билете и экзаменатор их задавать не будет), а m = 20 + 15 – 2 = 33 (всего 35 вопросов Коля выучил, а на два из них уже ответил).

РА (В) = и Р (АВ) = 0,48 x = 0,33.

Ответ. 0,33.

Следующая задача похожа на задачу №4, но существенно от нее отличается. Речь пойдет об условиях, при которых Коля получит тройку. Дело в том, что если ученик ответит только на один вопрос, например, по алгебре, то экзаменатор конечно же не сразу поставит ему даже тройку: а вдруг это бездельник, которому с алгеброй просто повезло, а геометрию он совсем не выучил. Ученику будет задан еще один вопрос по геометрии и если он на него ответит, то получит желанную тройку. Аналогично в случае, когда ученик ответит по геометрии и не ответит по алгебре.

Задача № 6. Определить вероятности того, что Коля получит тройку и того, что он получит двойку в указанных выше условиях.

Решение. Событие, означающее получение тройки можно представить в виде суммы двух несовместных событий:

Событие A: Коля отвечает на вопрос по алгебре (вероятность ) и не отвечает на вопрос по геометрии ( ) и отвечает на дополнительный вопрос по геометрии ( !).

Событие B: Коля не отвечает на вопрос по алгебре ( ) и отвечает на вопрос по геометрии ( ) и отвечает на дополнительный вопрос по алгебре ( ).

Вероятности событий A и B определяем по формуле умножения вероятностей. Ее нужно использовать и в случае независимых событий (знает ответ на один вопрос в билете и не знает ответ на второй) и в случае зависимых (отвечает на дополнительный вопрос, при условии, что не знал ответ на соответствующий вопрос в билете).

Получаем

P(A) = , P(B) =

Вероятность получить тройку определяем по формуле сложения вероятностей, т.к. события A и B несовместны:

P(A+B) = P(A) + P(B) = .

Для того, чтобы определить вероятность получения двойки лучше всего воспользоваться теоремой о полной группе несовместных событий, т.к. вероятность получения четверки и пятерки (0,48) была уже определена при решении предыдущих задач:

1 – 0,48 – 0,3 =0,22.

Ответ. 0,3 и 0,22.

Список литературы

  1. Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра. 7–9 классы. М.: Просвещение, 2008.
  2. Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. М.: Просвещение, 2009.
  3. Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразоват. учреждений под ред. С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 2009.
  4. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учебное пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. М. Просвещение, 2008.
  5. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни. C. М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. М.: Просвещение, 2010.