В повышении эффективности и качества учебного процесса в младших классах важным условием является развитие логического мышления, умение решать текстовые задачи, формирование отвлеченных теоретических знаний младших школьников.
Роль задач в обучении математике невозможно переоценить.
Разрешив систему специально подобранных задач, ученик знакомится с существенными элементами новых алгоритмов, овладевает новыми техническими элементами. Применять математические знания в жизненных ситуациях учат соответствующие практические задачи.
Получив задачу нужно разобраться в том, что это за задача, каковы ее условия, в чем состоят ее требования. Надо провести анализ задачи это и составляет первый этап процесса решения задачи. (Приложение 1, слайд 2) В ряде случаев этот анализ надо оформить, записать. Для этого используются разного рода схематические записи задач, построение которых составляет второй этап процесса решения. Анализ задачи и построение ее схематической записи необходимо главным образом для того, чтобы найти способ решения данной задачи. Поиск этого способа составляет третий этап процесса решения.
Когда способ решения задачи найден, его нужно осуществлять, это будет четвертый этап осуществления решения.
После того как решение осуществлено и изложено, необходимо убедиться что это решение правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этого производят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения.
При решении многих задач, кроме проверки, необходимо еще произвести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет решение и притом сколько различных решений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения. Это составляет шестой этап процесса решения. Убедившись в правильности решения и если нужно произведя исследование задачи необходимо четко сформулировать ответ задачи это будет седьмой этап процесса решения.
В учебных и познавательных целях полезно также произвести анализ выполненного решения, в частности установить, нет ли другого, более рационального способа решения. Все это составляет восьмой этап решения.
Итак, весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов.
Приведенная схема дает общее представление о процессе решения задач. (Приложение 1, слайд 3)
Наибольшее затруднения у школьников вызывают решения нестандартных задач, т.е. задач, алгоритм решения которых им неизвестен.
В основе решений многих из них лежит: принцип Дирихле, понятие инварианта, запись чисел в различных системах счисления, теория графов, свойства геометрических и математических фигур, признаки делимости чисел, правила комбинаторики и т.д.
Принцип Дирихле. Это простое положение применяется при доказательстве многих важных теорем теории чисел. (Приложение 1, слайд 4)
Пример. В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них оказались два шарика одного цвета?
Решение. Достанем из мешка три шарика. Если бы среди этих шариков было не более одного шарика каждого из двух цветов, то всего было бы не более двух шаров – это очевидно и противоречит тому, что мы достали три шарика.С другой стороны, ясно, что двух шариков может и не хватить.В этой задаче «кроликами» являются шарики, а «клетками» – цвета: белый и черный.
Ответ: 3 шарика.
ИНВАРИАНТ. Главная идея применения инварианта заключается в следующем. Берутся некие объекты, над которыми разрешено выполнять определенные операции, и задается вопрос: «Можно ли из одного объекта получить другой при помощи этих операций?». Чтобы ответить на него, строят некоторую величину, которая не меняется при указанных операциях. Если значения этой величины для двух указанных объектов не равны, то ответ на заданный вопрос отрицателен.
Пример. На доске написано 11 чисел – 6 нулей и 5 единиц. Предлагается 10 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа и, если они были одинаковы, дописать к оставшимся числам один ноль, а если разные – единицу. Какое число останется на доске?
Решение. Нетрудно заметить, что после каждой операции сумма всех чисел на доске остается не четной, какой она и была вначале. Действительно, сумма каждый раз меняется на 0 или 2. Значит, и после 10 операций оставшееся число должно быть нечетным, т.е. равным 1.
Ответ: 1.
В этом примере инвариант — это четность суммы написанных чисел.
Главное в решении задач на инвариант – придумать сам инвариант.
МАГИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ. Этот вид головоломок мы можем встретить на страницах многих учебников математики. Магические фигуры делятся на плоские и пространственные, так как существуют магические квадраты, треугольники, прямоугольники, многоугольники и круги, а также и магические кубы.
Отметим основные свойства магических квадратов.
Свойство 1. Магический квадрат останется магическим, если все числа, входящие в его состав, увеличить или уменьшить на одно и то же число.
Свойство 2. Магический квадрат останется магическим, если умножить или разделить все его числа на одно и то же число.
Пример. В квадрате на рис. 1а магическая сумма равна 15; квадрат на рис. 1б получается из него прибавлением 17 к каждому числу, его волшебная сумма равна 15 + 3 * 17 = 66; умножив все числа в новом квадрате на 2, получим еще один квадрат (рис. 1в), магическая сумма которого равна 2 * 66 = 132.
Рис. 1
Свойство 3.Если квадрат является магическим для какой-нибудь арифметической прогрессии, то он будет магическим для так же расположенной арифметической прогрессии с другим первым членом и с другой разностью.
Правило. Составляя какой-либо магический квадрат, достаточно сначала составить его из простейших чисел, т.е. из чисел натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5,..., а затем путем умножения, деления, увеличения или же уменьшения этих чисел можно получить бесконечное число магических квадратов с самыми разнообразными магическими суммами.
Свойство 4. Из двух магических квадратов можно получить третий, складывая числа, расположенные в соответствующих полях. Магическая сумма такого квадрата равна сумме магических сумм обоих слагаемых: 81 = 15 + 66 (см. рис. 2).
Рис.2
Свойство 5. Квадрат не утратит своих магических свойств, если переставить его столбцы и ряды, расположенные симметрично относительно центра квадрата.
Построение нечетных магических квадратов. Существует очень много различных методов построения магических квадратов:
- индийский метод (Приложение 1, слайд 8)
- сиамский метод, метод Баше (Приложение 1, слайд 9)
- треугольники с магическим периметром (Приложение 1, слайды 10-11)
- магические круги (Приложение 1, слайд 12)
Задачи в «математическую копилку учителя»
13. Постройте магический квадрат 3 х 3, в котором расположите числа от 3 до 11 так, чтобы по всем строкам, столбцам и диагоналям была одна и та же сумма.
14. В квадрате 4 x 4 расставьте четыре одинаковых буквы так, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и в каждой диагонали встречалась только одна буква.
15. В квадрате 4 x 4 расставьте 16 букв (четыре буквы а, четыре Ь, четыре с, четыре d) так, чтобы в каждом горизонтальном ряду и в каждом вертикальном ряду буква встречалась только один раз, т.е. постройте так называемый латинский квадрат размером 4 x 4.
16. Переставьте числа в треугольнике, показанном на рис. 3 так, чтобы сумма чисел в каждом треугольнике (по 4 ячейки) стала равна 23, а в каждой трапеции (по 5 ячеек) – 22.
17. Задача Эйнштейна. Девять кругов расположены так, как показано на рис. 3а. Расположите в них числа от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел, лежащих в вершинах каждого из семи изображенных на рисунке треугольников, была одна и та же.
Рис. 3
Ответ показан на рис. 3б.
18. Заполните числами кружки так, чтобы сумма чисел в каждом ряду была равна 38 (рис. 4а).
Ответ показан на рис. 46.
Рис. 4
Математические олимпиады являются одной из форм внеклассной работы и массовых соревнований учащихся. Работа по подготовке к олимпиадам должна вестись системно, не только за месяц до начала олимпиад, а постоянно на каждом уроке.
Начиная с 1 класса в начале каждого урока можно включать в устный счет хотя бы одну задачу, требующую нестандартного подхода при своем решении. В младших классах это может быть задача со сказочным сюжетом, с нестандартными вычислениями, но требующие умения размышлять, анализировать задания, направленные на развитие сообразительности и логического мышления. Можно назвать этот этап урока «Утренней сказкой» или «Разминкой».
У учащихся подобные приемы работы формируют интерес к математике, развивают логическое мышление. Решение таких задач можно поощрять, например: ученик, решивший первым задачу, получает 1 балл, который может добавить к любой полученной на уроке оценке. Обычно этот этап урока учащимся очень нравится, и они активно включаются в решение подобных задач.
Учителю эта работа позволяет уже на раннем этапе, в 5-6 классах выявить нестандартно мыслящих, сообразительных детей из которых в будущем можно собрать команду олимпийцев.
Переходя в среднее звено, эти дети уже имеют более широкие возможности для развития своих способностей. Когда сформирована группа наиболее продвинутых учащихся, с ними уже можно работать отдельно. Здесь приемлемы такие общепринятые методы, как кружковые, индивидуальные.
Вместе с тем работу по подготовке к олимпиаде вести активно и на уроке. Ведь некоторые задачи повышенной сложности – задачи нестандартного характера являются приемом продолжения изучаемого программного материала, и поэтому целесообразно решать их в ходе изучения соответствующей темы. Я подобрала тексты нестандартных задач и способы их решения, которые может использовать в работе любой учитель.
Таким образом, математические олимпиады способствуют развитию таких ценных качеств личности, как настойчивость, целеустремленность, самостоятельность и трудолюбие, вырабатывает навыки научно-исследовательского характера.