Цели:
- Используя метод проектов, обобщить знания по теме "Перпендикулярность прямых и плоскостей", расширить и углубить эти знания.
- Развивать навыки самостоятельной работы, пространственное мышление, применения знаний при решении практических задач.
- Воспитывать коммуникативную культуру обучающихся.
Ход урока
Актуализация знаний.
Используя, краткосрочные, групповые, практико-ориентированные и творческие проекты обучающихся по теме: "Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве", результатом которых стали модели повторим:
Вопрос. Как в пространстве могут быть расположены две прямые?
Вопрос. На модели (рисунок комнаты) показать три случая взаимного расположения прямых в пространстве. Ответ обосновать.
Вопрос. Как в пространстве могут быть расположены прямая и плоскость.
Вопрос. Показать (модель макет комнаты) два случая расположения прямой и плоскости. Обосновать свой выбор.
Вопрос. Как в пространстве могут быть расположены две плоскости?
Вопрос. Показать (модель макет комнаты) два случая расположения двух плоскостей. Ответ обосновать.
Выполняем первое задание в рабочих конспектах (Приложение 1)
Основной теоремой главы " Перпендикулярность прямых и плоскостей" является теорема о трёх перпендикулярах и теорема ей обратная.
Проект "Кто? Где? Когда?" (краткосрочный, групповой, информационный), посвященный истории открытия ТТП, представит _________________.
Давайте отправимся на экскурсию. (Приложение 2)
Экскурсовод: Я приглашаю вас в музей геометрии. Давайте подойдем к стенду, посвященному ТТП. Изначально эта теорема была доказана математиками Ближнего и среднего Востока. Её доказательство имеется в " Трактате о полном четырехстороннике" Назир ад - Дина ат - Туси и в тригонометрическом трактате его анонимного предшественника. В Европе эта теорема была сформулирована Луи Бертранрм и доказана в "Элементах геометрии" Лежандра.
Выполняем следующее задание в рабочих конспектах (Приложение1)
Доказать, что прямая проведенная через основание наклонной, перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной.
В форме рекламы представит проект ______________________________
Реклама: Если Вы хотите достичь гармонии в вашем доме, то домашний Фен - Шуй советует воспользоваться ТТП. Т.к. плинтусы в домах взаимноперпендикулярны, то предметы, которые вы расположите на прямой перпендикулярной плинтусу, будут приносить в ваш дом уют и покой.
Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда, плинтусы CB, DC перпендикулярны. CB, является проекцией B1C на плоскость пола (АВС), следовательно, по ТТП В1С перпендикулярна DC плинтусу. И именно на этой прямой предлагаем разместить :
Сформулировать и доказать по модели теорему обратную ТТП.
Решение задач.
Решим задачу (используя интерактивную доску и приложение1):
Подставка прибора по определению влажности воздуха на метеостанции имеет форму прямоугольного треугольника АВС, угол С прямой, один из катетов m, прилежащий к нему угол?. Из вершины прямого угла восстановлен стержень СD, длиной n, перпендикулярно плоскости треугольника. Определить наименьшую длину нити от D до прямой АВ.
Используя анимацию из Виртуальной школы Кирилла и Мефодия, "Уроки геометрии 10 класс", рассматриваем решение задачи.
Уроки геометрии - Тема 02. Перпендикулярность в пространстве. - урок05. Перпендикулярность прямой и плоскости. - 21. Анимация. Применение метода трех перпендикуляров.
По окончании отвечаем на вопросы, которые проверяют понимание прослушанного материала. (Приложение1)
Вопрос. Почему DM перпендикулярна (ABC)?
(Она перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости АВС, СК по построению, АВ, т.к. она перпендикулярна плоскости.)
Вопрос. Треугольник DAM прямоугольный, какой угол у него прямой и почему?
(угол DMA прямой, т.к. DМ перпендикулярна плоскости АВС, а следовательно, и любой прямой лежащей в этой плоскости)
Найди ошибку! Домашним заданием у обучающихся был краткосрочный, индивидуальный, практико-ориентированный проект, решить задачу и создать модель, на которой просматривалось реальное расположение прямых и плоскостей. Многие модели были выполнены с ошибками. Ваша задача найти эти ошибки.
Задача С2. ЕГЭ- 2011
В кубе ABCDA1B1C1D1 найти тангенс угла между прямой AC1 и плоскостью (BCC1).
Д.з. В пространстве существуют только двугранные углы или угол может быть многогранным?