Класс 9.
Цель:
- знакомство с формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии;
- умение применять формулу в зависимости от условия задачи;
- развитие способностей по самостоятельному изучению нового материала;
- анализу условия задачи, выбору адекватного варианта решения;
- развитие творческих способностей обучающихся при изучении и представлении учебного материала; целеустремленности, настойчивости, трудолюбия.
Оборудование:
- медиа-проектор, экран, компьютер.
- подготовленная к уроку презентация, включающая в себя рисунки:
- рисунок 1 "Опорная ферма крыши дачного дома";
- рисунок 2 "Арифметические прогрессии в геометрических фигурах";
- рисунок 3 "Карл Фридрих Гаусс";
- рисунок 4 "Характеристики арифметической прогрессии";
- рисунок 5 "Задачи прикладного характера";
- рисунок 6 "Домашнее задание".
- карточки с вопросами по рефлексии (каждому обучающему);
- карточки "Домашнее задание" (каждому обучающему).
- на скрытой части доски решение задачи "Опорная ферма крыши дачного дома", подготовленное обучающимся.
"Прогрессио" - движение вперед -
Пожалуй, что ученья сверхзадача!
Арифметической прогрессии расчет
Рассмотрим мы, и пусть нас ждет удача!"
Добровольская Н.В.
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Анонс урока.
Сегодня на уроке мы попытаемся показать, как творчество помогает успешно усваивать учебный материал. Домашнее задание было необычным - попытаться в любом стиле посредством любого вида искусства или примером из жизни показать на уроке "свою арифметическую прогрессию". Если вот так сразу с творческим поиском не получилось, то не беда, можно было просто подготовиться к уроку традиционно. Подготовка к уроку всегда важна и работа обязательно будет оценена.
Наверное, каждый, кто готовился к уроку "по-особенному", не раз и не два говорил себе: "Да лучше бы я просто выучил формулы и определения". Да, это гораздо проще и быстрее. Но человек - всегда творец. Ему интересно создавать что-то новое, придумывать, ошибаться, исправлять ошибки. Ведь без борьбы, прежде всего с самим собой, не выработать сильный характер, не стать образованным, нужным обществу человеком.
Нам предстоит обобщить знания по определению понятия "арифметическая прогрессия" и перейти к освоению формулы суммы её первых n членов. Обратимся к эпиграфу.
3. Проверка выполнения домашнего задания. Фронтальная работа.
В любой форме обучающиеся представляют "свою арифметическую прогрессию", поясняя следующие вопросы:
Какая прогрессия называется арифметической?
1. Традиционное определение арифметической прогрессии.
2. Вариант ответа, представленный в стиле "рэп":
Есть последовательность такая -
Я ее прогрессией называю.
Каждый член, со второго начиная,
Члену предыдущему равняю,
А еще не забывай -
К члену этому число
Одно и то же прибавляй!
3. Учитель читает свой стихотворный вариант:
- в ней "главный" первый член
И d как разность двух любых соседних,
Чтобы задать движенья чисел крен,
Достаточно двух величин последних.
Как найти n-й член арифметической прогрессии?
1. Традиционно представленная формула n-го члена арифметической прогрессии.
2. Вариант ответа в виде белого стиха:
Арифметическая прогрессия для нас важна!
Не только для оценки! Бывает в расчетах она вдруг нужна!
Задана формулой такого вида:
!
Где а и b - некоторые числа,
И в этой формуле много смысла!
3. Учитель предлагает свой стихотворный вариант:
A энное равно a первое плюс разность,
Умноженная на n минус один.
Считаешь правильно, отбросив праздность,
"Прогрессио" ты станешь господин!
Что такое разность арифметической прогрессии?
1. Традиционное определение разности арифметической прогрессии.
2. Вариант ответа в виде детской считалочки:
Раз, два, три, четыре, пять -
Начинаем d искать.
Это разность, значит просто
Нужно вычесть. Только что
Нужно вычесть из чего?
Раз - проверим чисел ряд.
Два - известны два подряд?
Три - коль так, то из того,
Что последнее в той паре,
Вычтем предыдущее!
На четыре и на пять -
Уже нечего искать!
Приведите примеры арифметической прогрессии.
1. Вариант от обучающегося с гитарой - "звуковая" арифметическая прогрессия в виде последовательно сыгранных семи нот.
2. Вариант ответа по практической задаче,
возникшей при строительстве дачного дома:
вертикальные стержни фермы имеют такую длину:
наименьший = 5дм,
а каждый следующий на 2 дм длиннее. Найти длину
каждого из семи стержней.
На экране - рисунок 1.
Опорная ферма крыши дачного дома.
Готовое решение на ранее скрытой части доски показывает и комментирует обучающийся, представляющий практическую задачу.
3. Вариант представлен в виде последовательностей, связанных с геометрическими фигурами как последовательностей треугольных чисел, квадратных чисел и пятиугольных чисел. Обучающийся выполнил рисунок на ватмане.
Далее на экране аналогичный рисунок - рисунок 2.
Арифметические прогрессии в геометрических фигурах.
4. Объявление новой темы, ее мотивация.
Продолжая изучение темы "Прогрессии", сегодня мы займемся освоением формул суммы первых n членов арифметической прогрессии. Тема важна не только потому, что это еще один кирпичик в фундаменте знаний, а фундамент - основа всего. Мы не должны забывать и об итоговой аттестации. А еще: изучаемые формулы находят широкое применение в реальных задачах из нашей жизни. Вы уже познакомились с таким примером, и закрепление знаний сегодня проведем также на задачах прикладного характера. В тетрадях запишите дату урока, тему.
5. Объяснение материала по новой теме.
Объяснение нового материала у доски проводят обучающиеся.
5.1. Рассказ из биографии известного математика.
Создание формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии связано с именем известного немецкого математика, астронома и физика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855).
Карл рос в бедной семье. Математические вычисления заменили Гауссу игрушки. Его отец, садовник и фонтанный мастер, помогал купцу в торговле, в расчетах, а маленький мальчик часто присутствовал при этом. Однажды он сделал замечание взрослым о том, что они неверно выполнили подсчет. Те очень удивились, когда при проверке оказалось, что малыш прав, ведь ребенку было всего пять лет.
На деньги общины Карла отдали учиться в школу. Его способности не остались не замеченными. Однажды учитель, чтобы занять детей, дал задание: найти сумму натуральных чисел от 1 до 100. Он был поражен, когда самый маленький ученик, а Карлу было тогда 9 лет, очень быстро нашел искомую величину. Эту формулу в общем виде Карл Гаусс вывел позже. Название этой формулы совпадает с темой нашего урока.
На экране - рисунок 3.
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)
Известный немецкий математик, астроном, физик и геодезист.
5.2. Вывод формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии в случае, если известны первый и n-ный члены арифметической прогрессии.
5.3. Вывод формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии в случае, если заданы только первый член арифметической прогрессии и ее разность.
6. Обобщение теории.
Запись в тетрадях формул "Характеристики арифметической прогрессии" по рисунку 4 (на экране).
Характеристики арифметической прогрессии.
Формула n-го члена прогрессии
Формула разности прогрессии
Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии:
7. Закрепление знаний по новой теме.
Первичное закрепление знаний по новой теме -
применение разных формул по вычислению суммы
первых n членов арифметической прогрессии при
разных исходных данных проведем на задачах,
которые представлены на экране на рисунке 5
"Задачи прикладного характера". Решение каждой
задачи комментируют работающие у доски, все
записывают решение в тетрадь.
Задачи прикладного характера.
1. Предположим, что родители поручили вам подсчитать бревна, которые привезли на строительство бани. Сложили их так, что в нижнем ряду их 20, во втором -19, в третьем -18 и так далее до 1 бревна. Определите, сколько всего бревен привезли.
2.
Частный предприниматель организовал артель
стеклодувов и заключил договор с торговой сетью
сроком на 12 недель на поставку стеклянных
игрушек к Новому году. В первую неделю артель
изготовила и поставила 10 коробок игрушек. По
договору каждую следующую неделю, необходимо,
наращивая производство, поставлять в торговлю на
4 коробки игрушек больше, чем в предыдущую.
Сколько коробок игрушек будет произведено по
договору на шестой неделе? Сколько коробок
игрушек за 12 недель всего должна изготовить
артель стеклодувов, чтобы выполнить договор?
8. Итог урока. Объявление оценок. Рефлексия.
Каждый обучающийся отвечает на вопросы карточки.
| Номер карточки_______ (количество номеров
по количеству обучающихся в классе, кроме номера
1) 1. С именем какого великого математика связана формула суммы первых n членов арифметической прогрессии? __________ 2. В задаче известно, что в арифметической
прогрессии 3. Дана арифметическая прогрессия, в которой |
= 7,8.
Какой формулой удобнее пользоваться, если
требуется найти сумму двадцати первых членов
прогрессии?______________9. Постановка домашнего задания.
На экране - домашнее задание с иллюстрацией (Рисунок 6), задание продублировано на карточках на столах. До того, как все карточки будут собраны, впишите номер своей карточки по итогу урока в карточку домашнего задания для выполнения дополнительного задания. Спасибо за урок! До свидания!
Домашнее задание.
Продолжаем работать над творческими заданиями.
- Теория - п.26
- Практика: № 603(а), №604(б).
- Дополнительное индивидуальное задание: была куплена коврижка, которую разделили так, что первому дегустатору досталось 90 граммов, второму и всем последующим каждый раз порцию уменьшали на 3 грамма. Сколько куплено коврижки, если по одному кусочку ее попробовали 30 человек? А сколько окажется в вашей порции, если ее номер в этой прогрессии - это номер карточки по итогу урока? Номер _______.