Понятие "вероятность". Случайные события

Как узнать вероятность события? Зачем нужно знать вероятность события?
Как понимать вероятность?

Практическая работа № 1

О, сколько нам открытий чудных
Готовят просвещенья дух
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг,
И случай, бог-изобретатель...
А.С.Пушкин

Цель урока:

• Подготовить учащихся к решению практических задач в условиях информационного общества,  научить учащихся пользоваться компьютерной технологией по обработке и анализу информации, уметь пользоваться схемой проектно-исследовательской деятельности.
• Дать определение частоты и вероятности случайного события, познакомить с формулой вероятности события.
• Научить понимать вероятностный характер случайного события.
• Развивать умения решать задачи.
• Способствовать удовлетворению потребностей и запросов учащихся, проявляющих интерес и способности к изучению математики.

Задачи урока:

• Обучающая: на статистике - обобщение и закрепление понятия "случайные события", введение понятия "вероятность и частоты"; на информатике- построение диаграмм на основе таблицы, составленной из 100 проведенных опытов по бросанию кубика, опровержение, изменение или подтверждение рабочей гипотезы.
• Развивающие: анализировать информацию 100, 1000 опытов и делать выводы, читать графики, смотреть на проблему со всех сторон.
• Воспитательные: воспитание толерантности и уважения чужого мнения, умение работать в команде.
• Понимать, что вероятность - числовая мера правдоподобия события, что вероятность - число, заключенное в пределах от 0 до 1;
• Верно, понимать фразы вида "вероятность события равна 0,3";
• Знать, что такое частота события, что при увеличении числа опытов частота приближается к вероятности;

Оборудование: 4 презентации, видеопроектор, компьютер, главы электронной книги, материал для практической работы, задачи для домашней работы

Ход урока

1. Организационный момент.

Идя на занятие, я не теряла надежды, что и вы ждете этой встречи, также как жду ее я. Но у каждого из вас сейчас разный настрой. Добрый день! Сегодня у нас очередное занятие учебного курса по теории вероятностей и статистике. Надеюсь, что оно у нас пройдет благотворно, творчески, с хорошим настроением. Мы подходим к завершению изучения нового, неизведанного, интересного по данному курсу, постепенно переходим к повторению изученного. О новой теме немного позже.

2. Проверка домашнего задания. А сейчас совершим экскурсию в прошлое, в то время, когда вы только начали изучение учебного курса. Три ученика покажут нам свои домашние работы, посвященные диаграммам, и напомнят виды диаграмм.

1 ученик: диаграммы бывают разных видов. Они используются для наглядного представления данных. При этом диаграмма может не обеспечивать высокую точность, зато она позволяет быстро на глаз сравнить величины между собой. Диаграмма лучше запоминается, чем таблица. Считаю, что таблица помогает построению диаграммы. Рассмотрим диаграммы. Они бывают трех видов. Я представляю столбиковую диаграмму. (Приложение №1) Таблица-средство упорядоченных данных. Возьмем и на основании таблицы некоторые данные приведем в порядок, но для большей наглядности по этим данным можно построить диаграмму. По ней определить: а) в какой день недели продано больше всего шоколадок?; б) в какой день недели продали меньше всего шоколадок? в) в какие дни недели продавали примерно одинаковое число шоколадок? 2. Определить, на сколько больше продано шоколадок в понедельник по сравнению со средой? Или с четвергом?

Вывод: Столбчатая или столбиковая диаграмма отображает табличные величины в виде столбиков соответствующей высоты.

2 ученик: Я хочу напомнить некоторые сведения о круговой диаграмме (Приложение №2). Чтобы построить круговую диаграмму надо знать, как найти часть от 100%, что градусная мера угла круга 360 градусов и тогда, проведя соответствующие вычисления можно построить очень наглядную круговую диаграмму. На данном слайде видно в 1897 году сельское население преобладало, вот в 2010 году мы видим противоположную картину. Сейчас мы живем в то время, когда растет численность городского населения. Но я не думаю, что это хорошо. Ведь село кормит город, так говорит мой дедушка. Думаю, что руководителям нашего государства надо задуматься над этим вопросом.

Вывод: Круговая диаграмма - показывает, как целое делится на части в виде секторов круга. Углы секторов пропорциональны долям.

3 ученик: Третий вид диаграммы рассеивания. (Приложение №3). Диаграмма рассеивания - показывает, есть ли некоторая связь между изучаемыми величинами. Например, есть ли связь между ростом и весом человека?

1) Вес примерно одинаков - рост разный.

Вывод: между весом и ростом нет жёсткой связи.

2) В целом: чем больше рост - тем больше вес.

Есть ли связь между числом выигранных этапов в Гран-при "Формулы-1" и количеством очков, набранных гонщиком по итогам всех этапов?

Прямая связь между числом выигранных этапов и количеством набранных очков - не прослеживается.

Вывод: Диаграмма рассеивания - показывает, есть ли некоторая связь между изучаемыми величинами

Спасибо, ребята!

3. Мотивация. Актуализация знаний. (Приложение №4). 2 слайд

О, сколько нам открытий чудных
Готовят просвещенья дух
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг,
И случай, бог-изобретатель...
А.С.Пушкин

Учитель: Какие слова в стихотворении Пушкина относятся к теме, которую мы изучали на прошлом занятии Ученик: два слова: опыт и случай. Учитель: Действительно при изучении темы Предмет теории вероятностей. События. Вероятность случайного события. Вы познакомились с понятиями опыт или испытание в теории вероятностей, с видами событий. У вас на столах листок с 4 заданиями. Прочтите и ответьте на вопросы. А я покажу эти же задания на экране.

№1. Объясните, что такое достоверное, невозможное и случайное событие. Приведите примеры.

№2. Укажите, какое из следующих событий достоверное, какое - невозможное и какое случайное:

а) летних каникул не будет;

б) бутерброд упадет маслом вниз;

в) учебный год когда-нибудь закончится.

№3. Петя и Толя сравнивают свои дни рождения. Укажите, какое из следующих событий достоверное, какое - невозможное и какое случайное. Событие состоит в следующем:

а) их дни рождения не совпадают;

б) их дни рождения совпадают;

в) Петя родился 29 февраля, а Толя - 30 февраля;

г) дни рождения обоих приходятся на праздники - Новый год (1 января) и День независимости России (12 июня);

д) дни рождения в этом году.

№4.Случайный опыт состоит в выяснении пола детей в семьях с тремя детьми. Сколько возможных исходов у этого опыта? Какие? (Приложение №4). 3-5 слайды

4. Изучение новой темы

Сегодня на занятии мы снова окунемся в загадочный мир Случая. Случай, случайность - с ними мы встречаемся повседневно: случайная ошибка, случайный выигрыш, случайная поломка. Случайности распоряжаются нами, подталкивают к каким-то действиям, подсказывают идеи.
Казалось бы в царстве Случая нет места для математики - какие уж тут законы. Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности, которые позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями. (Приложение №4). 6-7 слайд

А вот французский философ Жан Буридан еще в ХIV веке придумал свой ставший знаменитым парадокс о голодном осле, оказавшемся на равном расстоянии от двух совершенно одинаковых охапок сена. История закончилась для осла трагически - он так и не смог сделать выбор, к какой из охапок направиться и, в конце концов, умер от голода. Выражением "буриданов осел" характеризуют и людей, потому что нам тоже случается попадать в ситуации, в которых нужно выбрать один из имеющихся равновозможных вариантов. (Приложение №4). 8 слайд

Попадали ли вы в такие ситуации? Что мы обычно делаем, если нужно выбрать один из двух вариантов? (бросаем монету, загадываем и смотрим, какой стороной она упадет)

Как вы думаете, каким будет результат? (отвечают)

На этом примере наглядно видно, что все события или результаты опытов (наблюдений, испытаний) можно рассматривать как достоверные, невозможные и случайные. Наряду с тем, что вы уже знаете, сегодня вы научитесь находить вероятности событий и выведите самостоятельно свойства вероятности. Это и есть тема занятия.

Запишите новую тему урока: Вероятность событий. Свойства вероятности. (Приложение №4). 9 слайд Давайте вернемся к опытам, которые вы проводили на предыдущем уроке. Сидя в парах и подбрасывая монету100 раз, вы заполнили таблицу количества выпадения орла и решки, но последний столбец таблицы №1 остался еще пустым. Сегодня перейдем к 3 и 4 этапам практической работы.

Частота и вероятность событий.
Экспериментальное определение частоты

Практическая работа № 2

"Определение частоты выпадения орла при подбрасывании монеты"

1 этап.

Приготовьте монету. Чтобы определить, как часто при бросании монеты выпадает орел, будем подбрасывать монету и фиксировать число выпадений орла. Если выпал орел - ставьте черточку в первой строке, если решка - во второй строке. Бросьте монету 100 раз и заполните таблицу 1 (воспользуйтесь символом |||| ).

Таблица 1

2 этап.

а) Заполните последний столбец таблицы 1, определив частоту выпадения орла по формуле (все числа округлите до сотых):

.

В данном эксперименте знаменатель во всех вычислениях равен 100 - общему числу бросков, а в числитель подставьте числа, полученные в опыте.

б) Предположите, какая теоретически должна быть частота выпадения орла при бросании монеты? ____________ Почему? ________________

в) Сравните свои экспериментально полученные результаты с предполагаемым: __________________________

г) Как можно найти частоту появления решки в данном эксперименте? (Укажите два способа!) _____________________

3 этап.

Обсудим результаты работы всего класса.

а) Сколько пар учащихся получили в результате частоту ровно 0,5? ______________

б) Сколько пар учащихся получили частоту большую 0,5? ______________________

в) Сколько пар учащихся получили частоту меньшую 0,5? ______________________

г) Сравните число ответов на два предыдущих вопроса б) и в)___________________

д) Объясните результат, полученный в пункте г)_______________________________

4 этап.

Обобщим полученные результаты.

Каждый ученик в паре бросил монету лишь 100 раз. Если мы объединим результаты бросков всего класса, то получим во много раз большее число опытов (в классе 6 пар и они сделали 600 бросков).

Поочередно сообщая свои результаты, заполните таблицу 2 (кроме последнего столбца). Найдите и впишите в ячейку последнего столбца общее количество выпавших орлов, сложив числа, названные отдельными парами.

Найдите общее число бросков и найдите частоту выпадения орла при общем числе бросков.

Таблица 2

В целом по классу частота выпадения орла получилась равной ___________________

а) Зависит ли полученный результат от длины серии эксперимента (количества бросков)? _____________ Стал ли "общий" результат ближе к 0,5, по сравнению с результатами отдельных учащихся? ___________________

б) Предположите, сколько раз мы можем ожидать выпадение орла, если сделать 10000 бросков монеты? ________________ А если сделать 24 000 бросков? ___________ При 4040 бросках монеты? ___________

в) Познакомьтесь с результатами опытов Керриха, Пирсона и Бюффона (параграф 60).

(Приложение №4) 10 слайд Вывод.

Экспериментальный способ определения вероятности основан на наблюдениях. И при многократных повторениях опыта частоты случайных событий оказываются близки к их вероятностям. Поэтому если опыт можно повторять достаточно много раз, то вероятность случайного события можно приближенно найти, вычисляя его частоту. Пусть n - общее число всех равновозможных несовместных исходов испытания,

m - число исходов, благоприятных событию А,

Р(А) - вероятность события А.

Какую формулу можно написать для вероятности события А? Подскажите, пожалуйста.

Это классическое определение вероятности события. (Приложение №4). 12 слайд. А теперь решим задачу, которую еще в ХVIII веке решал французский математик Д'Аламбер.

Бросаются одновременно 2 монеты. Какова вероятность, что обе монеты упадут гербом кверху? (решают задачу)

При решении задачи Д'Аламбер ошибся, так как считал, что равновозможны 3 события. Какие? Давайте перечислим: "выпали 2 герба", "выпали 2 цифры", "выпали герб и цифра". Но он не учел, что эти события неравновозможны, так как последнее событие происходит чаще двух других.

А на самом деле их 4: ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ. И событие А - "при бросании 2 монет выпадут два герба" произойдет с вероятностью не 1/3, а 1/4. Видите, какие могут быть нюансы.

И следующая задача тоже с подвохом. За решение этой задачи можно сразу ставить "5".

В доме 100 квартир. Наугад выбирается одна из них. Какова вероятность того, что на двери выбранной квартиры вы увидите цифру 5? (самостоятельно) 13 слайд
Пусть А - "номер наугад выбранной квартиры содержит цифру 5".

Тогда Р(А)=19/100. Приложение №4. 18 слайд

Задачи по теории вероятностей и статистике из экзаменационных вариантов ГИА в 2011 году

Прорешав задачи, можно вывести свойства вероятности:

1) 0 Р(А) 1, т.к. 0 m n.

2) Р(U)=1, т.к. m=n.

3) Р(V)=0, т.к. m=0

Приложение №4. Слайд14

Итог занятия

Итак, мы научились находить вероятность в тех случаях, когда достоверное событие состоит из равновероятных возможностей. Однако часто возможности не равновероятны. Так, например, вы, наверное, замечали, что на уроках чаще спрашивают не совсем то, что вы учили, и не тогда, когда вы готовы к ответу.

Вашему вниманию предлагается следующая задача.

Со стола случайно упал бутерброд. Чему равна вероятность того, что он упадет маслом вниз? А маслом вверх? Приложение №4. 20 слайд

Давайте, подсчитаем, используя классическое определение вероятности. Р=1/2.

А как на самом деле? Бутерброд падает маслом вниз чаще. Это так называемый закон бутерброда, по которому из двух возможных вариантов чаще реализуется наименее приятный (статья из журнала "Юный техник", №11,2001г.). Умение не ошибиться и сделать правильный выбор - это качество, которому человек учится всю жизнь, приобретая жизненный опыт. Предлагаю вашему вниманию небольшую статью "В чем секрет успеха?"

Как-то раз молодой человек беседовал с успешным и состоятельным бизнесменом.

Скажите, как вам удалось сколотить такое состояние? Раскройте свой секрет успеха.

- Мой секрет прост, - ответил собеседник, - всего два слова: правильные решения.

- Интересно, и что же помогает принимать вам эти решения?

- Тоже просто. Одно слово - опыт.

- Да, но как вы получаете этот опыт, - не унимался молодой человек.

- Проще простого, - улыбнулся успешный, - два слова: неправильные решения.

О теории вероятностей - с юмором

1. "Доктор, - спрашивает пациент - пойдут ли у меня дела на поправку?"

"Несомненно, - отвечает врач - потому что теория вероятностей говорит, что один пациент из 10 выздоравливает при этой болезни".

"Но почему же при этом именно я должен выздороветь?"

"Потому что вы как раз и есть мой десятый больной". (Приложение №4). 21 слайд

Спасибо за работу на занятии.