Цель урока:
- повторение и обобщение ключевых задач о равновеликих фигурах;
- обучение учащихся поиску решения задач в ходе создания проблемно-познавательной ситуации;
- развитие грамотной устной и письменной математической речи учащихся.
Оборудование: доска, с заготовленными чертежами или слайды; раздаточный материал: учебное пособие Атанасян Л.С. и др. Геометрия: дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса.
Ход урока
Заканчивая изучение темы «Площади», сегодня мы повторяем и развиваем наши знания о равновеликих фигурах.
1. Чтобы вспомнить понятие «равновеликие фигуры», поиграем в «Да» и «Нет».
Я составила диктант-попурри, выбрав вопросы из ваших диктантов, связанных с этим понятием. Я читаю вопрос, его автор комментирует правильный ответ.
Учащимся к семинару по теме «Площади» было предложено домашнее задание: составить диктант из пяти вопросов по данной теме, ответы на которые предполагали либо «да», либо «нет». Данную работу можно было выполнять группами по два человека, увеличив количество вопросов. Для быстрой проверки умения оперировать с понятиями при проведении диктантов используются сигнальные карточки: треугольники белого цвета и цветные треугольники, вырезанные из бумаги, при ответе «Да» учащиеся поднимают карточку белого цвета, при ответе «Нет» - цветной треугольник.
Диктант.
- Верно ли, что фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими?
- Верно ли, что равные многоугольники равновелики?
- Верно ли, что если площади фигур равны, то и фигуры равны?
- Могут ли равновеликие фигуры быть равными?
- Верно ли, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника?
2. Какие ключевые (базовые) задачи о равновеликих треугольниках мы рассматривали?
№1. Медиана треугольника разделяет его на два равновеликих треугольника.
Обоснуйте это утверждение (открыть заготовленный рис. №1 и по ходу обоснования сделать запись, рисунок не стирать).
№2. Все треугольники с общим основанием, вершины которых лежат на прямой, параллельной основанию, равновелики.
Обоснуйте это утверждение (открыть рис. №2 и по ходу обоснования сделать запись, рисунок не стирать).
1) На рисунке 3 я начертила ломаную ADB. Сравните площади четырёхугольников ADBС и ADBХ, ответ обоснуйте.
Вывод: 
Сколько четырёхугольников равновеликих четырёхугольнику ADBC можно построить на рисунке 3?
Ответ: бесконечно много.
Что для этого надо сделать?
Ответ: отметить точку на прямойm и соединить её с точками A и B.
Полученный четырёхугольник будет равновелик четырёхугольнику ADBC.
Какой результат я могла бы получить, если бы дополнила рисунок 3 ломаной из
3-х звеньев? 4-х звеньев?
Ответ: бесконечно много равновеликих пятиугольников, шестиугольников и т.д.
Показать рисунок 4.
2) Начертите выпуклый четырёхугольник ABCD. Проведите диагональ AC. (рис.5)
Как построить четырёхугольник, равновеликий четырёхугольнику ABCD, диагональ которого есть отрезок AC?
Ответ: провести прямую а такую, что а ll АС, и D
.
Пусть E
, четырёхугольник ABCD равновелик четырёхугольнику ABCE.
Докажите последнее утверждение.
3) Есть ли на Рис. 6 равновеликие треугольники?
Какое утверждение позволяет нам это доказать?
Пусть 
.
Можно ли выразить площадь четырёхугольника ABCO через 
и 
?
Ответ: да, 
Можно ли выразить площадь четырёхугольника ABCO через 
?
Ответ: да, 
Как связаны 
?
Ответ: 
4) Решим задачу о разбиении данного выпуклого четырёхугольника на две равновеликие части.
Прочитаем условие задачи № 130 [1]
№ 130. В выпуклом четырёхугольнике ABCD через середину O диагонали BD проведена прямая, параллельная диагонали AC. Она пересекает сторону AD в точке E.
Докажите, что 
.
Сделаем чертёж (рис.7).
На рисунке отметим, что точка О – середина BD и укажем, что EO ll AC. Итак, что мы должны доказать? 
. Обозначим 
. Какую часть должна составлять площадь каждой фигуры от S? Проанализируем условие, подумаем: по условию точка О – середина BD, какое утверждение, связанное с равносильностью фигур, мы могли бы использовать?
Ответ: медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Что нам надо провести на чертеже, чтобы можно было это утверждение применить?
Ответ: медианы АО и СО.
Решение
- Проведём АО и СО.
по свойству медианы.
, по свойству 2 площадей.
Какое условие мы не использовали?
Ответ: EO ll AC.
Можем ли мы сравнить площади четырёхугольников ABCE и ABCO?
т.к. EO ll AC, то 
, 
, 
. 
, 
, значит, по свойству 2 площадей 
, ч.т.д.
Итог урока
Сегодня мы посвятили урок равновеликим многоугольникам. А где это может нам понадобиться, где практически можно применить полученные знания?
Пусть пройдёт какое-то время и кому-то из вас доведётся стать землеустроителем. Всем известно, что земледельцу не важно, какой формы участок, важна его площадь.
Допустим, что надо решить задачу: разделить участок на две части, равные по площади, если участок имеет форму: а) треугольника; б) четырёхугольника, при условии, что граница должна проходить через вершину многоугольника (столб на участке, например, стоит в этой вершине, и никому не хочется иметь его на своей земле).
Как выгоднее проводить границу: в виде ломаной или в виде отрезка прямой?
Ответ: длина отрезка меньше длины ломаной, соединяющей его концы, значит, если граница пройдёт по отрезку, то меньше материала уйдёт на ограждение.
Сформулируйте поставленную задачу на языке геометрии.
Ответ: а) Разделить треугольник на две равновеликие части прямой, проходящей через его вершину.
Как это сделать?
Ответ: Провести медиану из этой вершины.
Ответ: б) Разделить четырёхугольник на две равновеликие части прямой, проходящей через его вершину.
Как это сделать?
Решить задачу №130.
- Провести АС.
- Провести ВD.
- Отметить точку О середину ВD.
- Провести прямую mтакую, чтоm ll AC,
- m пересекает CD в точке М
- АМ – искомая граница.
Как разделить на две равновеликие части участок, имеющий форму пятиугольника?
Я не знаю. А вы?
Литература
- Атанасян Л.С. и др. Геометрия: дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. М.: Просвещение, 1996.