Цели урока:
- образовательные: ввести понятие правильного многогранника; познакомить учащихся с историей возникновения и развития теории многогранников; содействовать в ходе исследовательской работы выводу соотношения между числами вершин, граней и ребер выпуклого многогранника;
- развивающие: формировать пространственные представления учащихся; развивать познавательную деятельность; развивать умения наблюдать, умения рассуждать по аналогии; делать выводы; развивать умения оперировать основными понятиями;
- воспитательные: воспитание чувства ответственности, культуры диалога; воспитание интереса к математике; создание условий для целостного восприятия общей картины мира; показать связь изучения темы с другими науками, с жизнью, практическую значимость.
Оборудование: мультимедийный проектор, интерактивная доска, листы изучения новой темы (Приложение 1), модели многогранников (призмы, пирамиды, правильные многогранники), модели тел вращения, образцы минералов пирита, апатита, магнетита.
План урока:
- Организационный момент.
- Целеполагание.
- Актуализация опорных знаний.
- Изучение нового материала:
а) работа по формированию понятия о правильных многогранниках;
б) частично–поисковая работа (определение видов правильных многогранников). - Сообщения учащихся:
а) «Платоновы тела»
б) «Правильные многогранники в живой и неживой природе»
- Исследовательская работа «Выявление зависимости между количеством граней, ребер и вершин многогранника»
- Итог урока. Оценивание учащихся.
- Задание на дом.
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Целеполагание.
Есть в геометрии особые темы, которых ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести тему "Правильные многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много интересного, нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например: Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? Что такое Эйлерова характеристика? И многие- многие другие… И, наконец: где, зачем и для чего нам нужны многогранники? Может быть, в жизни можно обойтись и без них? (СЛАЙД №2) Эпиграфом к нашему уроку я взяла слова английского писателя, математика и философа Льюиса Кэрола «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук». И к концу нашего занятия мы постараемся убедить вас в этих словах. В течение всего урока мы будем работать с листами изучения новой темы, которые лежат у вас на столах. Пожалуйста, запишите сегодняшнее число. (затем эти листы вклеиваются в рабочие тетради).
3. Актуализация опорных знаний.
Выполнение практического задания.
Цель: проверка умений работать с понятиями о многогранниках, выпуклых многогранниках; развитие пространственного мышления.
Работа с моделями геометрических тел. В набор входят модели следующих тел: тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра, додекаэдра, цилиндра, конуса, четырехугольной пирамиды, усеченной пирамиды, шестиугольной призмы, наклонного параллелепипеда, невыпуклого многогранника.
Сегодня мы с вами подошли к завершающему этапу изучения очень важного раздела геометрии «Многогранники». Мы изучили призмы и пирамиды, узнали некоторые их свойства, учились решать задачи, выполняли практические работы. С помощью данного практического задания мы сейчас выясним, насколько хорошо вы усвоили основные понятия изученного раздела.
Задание: Перед вами на столе модели геометрических тел. Отложите в сторону те модели, которые не являются многогранниками. Что называется многогранником? (Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело).
Уберите модели невыпуклых многогранников. Какие многогранники называют выпуклыми? (Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани).
Как можно классифицировать оставшиеся многогранники? (на призмы и пирамиды).
Выберите из призм и пирамид только те, которые являются правильными. Какая призма называется правильной? (Прямая призма называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник; призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны к основаниям; многоугольник называется правильным, если у него все углы и стороны равны).
Какая пирамида называется правильной? (Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а высота соединяет вершину пирамиды с центром основания; высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания).
4. Изучение нового материала.
а) Работа по формированию понятия о правильных многогранниках.
Мне хотелось бы начать со слов Бертрана Рассела: “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства”.
Название “правильные” идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке. Так вот, оказывается, среди всех многогранников существуют особые многогранники, которые называются правильными. (Показываю учащимся эти многогранники, но не называю их). Давайте попробуем вместе сформулировать определение правильного многогранника, сравнивая их с другими многогранниками. (Правильные многогранники – это многогранники, у которых все грани являются правильными многоугольниками и они равны).
(СЛАЙД №3) ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК- выпуклый многогранник, все грани которого – равные правильные многоугольники и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер. (Определение записывается на листе изучения новой темы.
б) Частично–поисковая работа (определение видов правильных многогранников).
Много ли существует видов правильных многогранников? Как установить количество видов правильных многогранников? (Все грани – правильные многоугольники; все многогранные углы должны быть равны, в каждую вершину должно сходиться одинаковое число ребер, граней, значит нужно установить, сколько граней может сходиться в одну вершину; должен существовать многогранный угол правильного многогранника, условие существования – сумма всех его плоских углов nα меньше 360°).
Оформляется работа: “Лист изучения новой темы”- Задание №1. Для правильного треугольника учитель разбирает и объясняет, что и как нужно делать. (СЛАЙД №4)
Задание 1 . После заполнения таблицы делаются соответствующие выводы (устно) для каждого случая (СЛАЙД №5, СЛАЙД №6).
Вывод: существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр (записывают на листах изучения новой темы).
5. Сообщения учащихся.
Почему правильные многогранники получили такие имена? (СЛАЙД №7)
Это связано с числом их граней. В переводе с греческого языка: эдрон – грань, тетра – четыре, гекса – шесть, окто – восемь, додека – двенадцать, икоси – двадцать.
Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, 13-я книга знаменитых “Начал” Евклида. Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами. А почему, это мы узнаем из рассказа учащегося.
Выступление учащегося: «Платоновы тела» (СЛАЙД №8)
(СЛАЙД №9) Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.
(СЛАЙД №10) Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал все мироздание и почитался главнейшим– его по-латыни стали называть quinta essentia (квинта эссенция), означающее все самое главное, основное, истинную сущность чего-либо. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.
Учитель: Спасибо. В книге по геологии Волошина А., Майстермана С. «Минералы Кольского полуострова» описываются свойства кристаллов широко известных всем нам минералов. Кристаллами восхищаются поэты, художники, свойства кристаллов изучают различные науки, например, химия, физика, кристаллография. А что в кристаллах, в первую очередь, может привлечь внимание математиков? Правильная геометрическая форма; кристаллы принимают форму многогранников. Предлагаем вашему вниманию небольшое сообщение: «Правильные многогранники в живой и неживой природе». (СЛАЙД №11)
Выступление учащихся.
(СЛАЙД №12) Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите. Из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.
(СЛАЙД №13) Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр. Головка вируса-бактериофага также имеет форму икосаэдра. Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра. Он может жить и размножаться только в клетках человека и приматов.
(СЛАЙД №14) Природа широко пользуется тем, что правильные многогранники – самые выгодные фигуры. Это подтверждают формы некоторых кристаллов, о которых мы вам расскажем. Кристаллическая решётка метана имеет форму тетраэдра. Метан горит бесцветным пламенем. С воздухом образует взрывоопасные смеси. Используется как топливо.
(СЛАЙД №15) Кристаллическая решетка поваренной соли. Маленькие шарики – ионы натрия, большие – ионы хлора. Все кристаллы поваренной соли имеют одинаковую кубическую форму.
(СЛАЙД №16) Пирит. Пирит обычно образует зернистые массы среди других сульфидных минералов. Часто представлен кристаллами в виде кубов, на гранях которых почти всегда наблюдается характерная штриховка. Окрас – желтый с разными оттенками. Окраска и определила название – «пирос» (по-гречески значит «огонь»). Сырье для получения серной кислоты; руда золота, меди, кобальта.
(СЛАЙД №17) Магнетит. Обычно встречается в виде мелких зерен, но может образовывать октаэдрические кристаллы. Железо-черные кристаллы, зернистые массы. Встречается в кварцитах и кристаллических сланцах. Главная руда железо.
(СЛАЙД №18) Алмаз. Кристаллы алмаза обычно имеют форму октаэдра. Алмаз (от греческого adamas – несокрушимый) – бесцветный или окрашенный кристалл с сильным блеском в виде октаэдра. Кристаллы алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно имеют форму октаэдров, реже — кубов или тетраэдров. Широко используется в ювелирном деле.
6. Исследовательская работа.
а) Мотивация деятельности. Привлекательная цель.
С незапамятных времен тянется история драгоценных кристаллов. Пример тому – история одного из самых замечательных алмазов – алмаза «Кохинор». (СЛАЙД №19)
Первые известия об этом алмазе приходят к нам из Древней Индии. Многие века он был родовой ценностью раджей. Но в 1526 году бесценный камень оказался в руках могущественных Моголов. И с тех пор стал камнем раздора. И вот в 1739 году персидский хан Надир обманом узнал, что владелец камня Великий Могол Мухаммед носит алмаз в тюрбане. При прощальном визите шах Надир предложил в знак вечной дружбы обменяться тюрбанами. Когда новый хозяин размотал тюрбан и увидел алмаз, он воскликнул «Кох и нур!», что означает «гора света». В 1848 году алмаз попал как военный трофей в сокровищницу английской короны. Английская королева дала указание сделать огранку вдоль ребер алмаза золотой нитью. Но огранка не была сделана, так как ювелир не сумел рассчитать максимальную длину золотой нити, а сам алмаз ему не показали. Ювелиру были сообщены следующие данные: число вершин В=54, число граней Г=48, длина ребра L= 4мм. А вы сумеете найти максимальную длину золотой нити? Что нужно знать для нахождения общей длины золотой нити?
б) Исследовательская работа. “Лист изучения новой темы” задание №2. Проблема:
Цель: Выявить зависимость между числами вершин, граней и ребер выпуклого многогранника.
Гипотеза: Если существует зависимость между числами вершин, граней и ребер, то ее можно выразить формулой и по ней найти число ребер выпуклого многогранника.
Эксперимент: Заполняется таблица. Учащиеся выполняют задание по группам, каждой группе дается по 2 правильных многогранника. Они подсчитывают число вершин, ребер, граней и заполняют таблицу. Затем результаты сверяются с помощью экрана (на доску проецируется заполненная таблица) (СЛАЙД №20). Учащимся предлагается выявить зависимость между количеством вершин, граней и ребер правильных многогранников. Если учащиеся затрудняются в установлении зависимости, то учитель руководит их действиями. Делается вывод.
(СЛАЙД №21) Теорема носит название Декарта-Эйлера. Эйлер нашел и проверил эту зависимость. За сто лет до Эйлера эта теорема была сформулирована Декартом, но не доказана. Теорема верна не только для правильных многогранников, но и для любых выпуклых многогранников и даже для некоторых невыпуклых.
ТЕОРЕМА ДЕКАРТА-ЭЙЛЕРА: В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер на 2. (записывают на листах изучения темы) В+Г – Р = 2.
Итак, теперь, зная эту зависимость, можно вычислить количество ребер алмаза (В=54, Г=48; Р=В+Г-2=54+48-2=100; l=4·100=400(мм)=40(см).
7. Итог урока. Оценивание учащихся.
А теперь подведем некоторый итог. Неужели столь необычные и удивительные формы есть объект изучения только такой науки как геометрия?.. Были ли найдены точки соприкосновения с другими предметами? (физика, химия, биология, география).
Итак, многогранники – это не выдумка учёных, не абстракция, они окружают нас в жизни, в природе, в искусстве. Их изучали учёные и древности, и средних веков, но идеи Пифагора и Платона оказались удивительного современными – это были первые попытки систематизации окружающего нас мира. Гениальное предвидение Пифагора о том, что математика откроет человечеству двери к тайне Мироздания, сбылись, хотя ждать пришлось более 2-х тысячелетий. Таким образом, на каком же уроке мы с вами побывали? Алгебры? Геометрии? А мы нашли точки соприкосновения со множеством предметов и явлений, и в этом великая сила и тайна математики.
8. Задание на дом:
1) п.п.35-37; №№271-275 (одну по выбору) – изготовить модель правильного многогранника.