Решение текстовых задач (ЕГЭ, раздел В12)

Введение

Текстовые задачи традиционно представлены на экзаменах по математике в школе. Следует подчеркнуть, что эти задания, как правило, носят практико-ориентированный характер и прогноз на будущее состоит в том, что значение таких заданий ЕГЭ со временем, скорее всего, вырастет.

При решении текстовых задач первый и основной этап всегда состоит в переводе условия с русского "языка" на " математический", т. е. в составлении математической модели.

Главное - постараться относиться к условию задачи с максимально возможной долей "персональной ответственности". Другими словами надо представить, что описанное в условии задачи происходит персонально с вами, а не с абстрактным пешеходом или, допустим, предприятием.

Наиболее показательными в этом смысле являются задания, связанные с денежными вкладами и с ценами вообще. Одно дело, если вы будете рассуждать о неком "вкладчике" или "предпринимателе". И совсем другой эффект можно получить, если с самого начала предположить, что каждый будет считать свои собственные деньги.

В процессе решения текстовых задач может быть частично решен вопрос о более глубоком понимании учеником логики математического мышления. Очень важно показать, что ученику при решении разного рода "нематематических" проблем может помочь следование этой логике.

Например, в рассуждениях, касающихся философии, политики и даже обыденной жизни, в развитии и логическом построении речи, в способности к критическому пониманию чужой речи, чужих логических построений и вообще к критическому восприятию действительности.

Решение текстовых задач обычно осуществляется в несколько этапов:

• введение неизвестной величины,
• составление с помощью введенных неизвестных и известных из условия задачи величин уравнений (или одного уравнения), неравенств;
• решение полученных уравнений (неравенств);
• отбор решений по смыслу задачи.

Классификация текстовых задач хорошо известна, это задачи:

• "на проценты и смеси",
• "на движение",
• "на работу и производительность",
• задачи с целыми числами,
• геометрические задачи,
• другие виды задач.

Теоретического обоснование:

Одна из причин повышенного внимания к использованию текстовых задач заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей математике было освоение ими определенным кругом вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия математики - линия числа - еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи.

Вторая причина - заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ, проверкой полученного результата.

К середине XX века в СССР сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков.

Практическая часть

Задача 1. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист и одновременно из В в А выехал автомобилист. Мотоциклист прибыл в В через 3 часа после встречи, а автомобилист в А через 45 минут после встречи. Сколько часов был в пути автомобилист?

Решение. Пусть скорость мотоциклиста равна V₁ км/ч, а скорость автомобилиста равна V₂ км/ч. Из условия задачи получаем, что расстояние от точки их встречи до А равно 0,75 V₂ (так как 45 минут - это 0,75 часа), а расстояние от точки их встречи до В равно 3 V₁. Так как до момента встречи автомобилист и мотоциклист ехали одинаковое время, то можно составить уравнение: , из которого получаем соотношение , из которого имеем V₂=2 V₁.

Время, затраченное автомобилистом на весь путь равно

Ответ: 2,25.

Задача 2. Цена некоторого товара была сначала повышена на 10% , затем еще на 120 рублей, и, наконец, еще на 5%. Какова первоначальная цена товара, если в результате повышение составило 31,25%?

Решение. Пусть S рублей - первоначальная цена товара. После первого повышения она стала равной рублей, затем стала равной рублей, и, наконец, после последнего повышения стала равной

рублей.

Составим уравнение:

Получим:

Таким образом, первоначальная цена товара составляла 800 рублей.

Ответ: 800.

Задача 3 Объемы ежегодной добычи угля первой, второй и третьей шахтами относятся как 1:2:4. Первая шахта планирует уменьшить годовую добычу угля на 8%, а вторая - на 2%. На сколько процентов должна увеличить годовую добычу угля третья шахта, чтобы суммарный объем добываемого за год угля не изменился?

Решение. Примем объем ежегодной добычи угля первой шахтой за a, тогда объемы ежегодной добычи угля второй и третьей шахтами равны соответственно 2а и 4а, а суммарный объем ежегодной добычи угля равен 7а. После уменьшения годовой добычи первой шахтой на 8%,а второй на 2% объем добываемого ими угля будет равен 0,92 * а + 0,98 *2а = 2,88а и на "долю" третьей шахты останется 7а - 2,88а = 4,12а.

Пусть n - то количество процентов, на которое нужно увеличить годовую добычу угля третьей шахтой, чтобы суммарный объем добываемого за год угля не изменился.

Тогда имеем ( 1+ 0,01n) * 4а = 4,12а, откуда 1+0,01n = 1,03 и, окончательно, n= 3.

Ответ: 3.

Задача 4. Две бригады, работая вместе, ремонтировали дорогу в течение 6 дней, а затем одна вторая бригада закончила ремонт еще за 10 дней. За сколько дней могла бы отремонтировать дорогу одна первая бригада, если она может выполнить эту работу на 6 дней быстрее, чем одна вторая бригада?

Решение. Пусть х - количество дней, необходимое первой бригаде для ремонта дороги, тогда, согласно условию, второй бригаде требуется на ремонт х+6 дней.

Примем за 1 объем всей работы по ремонту дороги. Тогда первая бригада выполняет за день часть всей работы, а вторая - часть всей работы. Поскольку первая бригада работала 6 дней, а вторая - 16 дней и за это время они выполнили всю работу, получаем уравнение , где по смыслу задачи х 0. Далее имеем:

Ответ: 18.

Задача 5. Банк начисляет 5% годового дохода. Первоначальный вклад равнялся 10 000 р. После начисления годового дохода вклад можно дополнить некоторой суммой. Найдите ее величину, если общий вклад через 2 года должен равняться 21 000 р.

Решение. Через один год вклад увеличится на 5% от 10 000 р., т. е. на 500 р. Поэтому после первого года вклад будет равен 10 500 р. Пусть S - дополнительный взнос. Тогда в начале второго года хранения вклад будет равен 10 500 + S рублей. После второго года он увеличится на 5% от этой суммы, т. е. на 0,05(10 500 + S) =525 + 0,05S рублей. Поэтому после второго года вклад будет равен (10 500 + S) +(525 + 0,05S) рублей. По условию этот вклад равен 21 000 р. Значит,

10 500 + S + (525 + 0,05S) = 21 000,

1, 05S = 9975,

S = 9500.

Ответ: 9500.

Задача 6. Латунь - сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 20 кг больше, чем цинка. Его сплавили с 24 кг меди и получили латунь, в которой 90% меди. Каков первоначальный вес куска латуни?

Решение. Пусть х - вес цинка в сплаве. Тогда в первоначальном куске латуни было ( х + 20) кг меди, а после сплава стало х + 20 + 24 = х + 44 кг.

Значит, новый кусок состоит из ( х + 44) кг меди и х кг цинка и имеет массу ( 2х + 44) кг.

По условию (х + 44) составляет 90% от (2х + 44), т. е. х + 44 = 0,9(2х + 44),

х + 44 = 1,8х + 0,9*44,

0,8х = 44 (1- 0,9),

0,8х = 4,4 ,

х = 5,5.

Значит, первоначальный вес куска латуни равен 31 кг (5,5 + 5,5 + 20).

Ответ: 31.

Задача 7. У каждого из 105 туристов имеются доллары или евро. Евро имеются у 70 туристов. Число туристов, имеющих только доллары, составляют 70% числа туристов, имеющих только евро. Сколько туристов имеют и доллары, и евро?

Решение. Пусть х - число туристов, имеющих только евро. Тогда 0,7х туристов имеют только доллары, а 105 - 0,7х туристов имеют евро. Значит , 105 - 0,7х = 70,

0,7х = 35, х = 50 , т. е. и доллары, и евро имеют 70 - 50 =20 туристов.

Ответ: 20.

При решении текстовых задач чрезвычайно полезны и удобны таблицы (схемы или просто картинки), в которых можно шаг за шагом собирать всю получаемую в процессе решения информацию. Вот такая таблица, составленная по условию задачи 6.

Составляем пропорцию:

2х + 44 ---- 100%

х + 44 ---- 90%.

Значит, х + 44 = 0,9 (2х + 44),

х + 44 = 1,8 + 0,9 * 44,

0,8х = 4,4,

х = 5,5.

Ответ: 5,5.

При таком расположении все данные "как на ладони" и легко можно отследить все происходящие с ними изменения. Получается своего рода "бухгалтерская книга учета" всех условий задачи. Так как экзамен - это своего рода ревизия, то аккуратные "бухгалтерские книги" только помогут быстрее и успешнее завершить такую проверку.

К составлению таблиц при решении текстовых задач, конечно же, следует привыкать.

Жестких правил и законов составления таблиц не существует. Самое главное ---- чтобы ученик понимал, что такие таблицы просто, компактно и наглядно представляют имеющуюся информацию и что всегда можно попробовать сделать такой "дизайн" самостоятельно.

Вот, например, как может выглядеть таблица для задачи 8: По плану завод должен был к определенному сроку изготовить 180 станков. Ежедневно, перевыполняя план на 2 станка, завод выполнил все задание на один день раньше срока. Каков был первоначальный план изготовления станков в день?

После этого решается обычная система из двух уравнений:

nх = 180 и (n - 1)(х + 2) = 180 с двумя неизвестными n и х.

Ответ: 18.

Цели:

- Познакомить учащихся с разными методами решения задач;

- Ознакомление учащихся с методом поиска подхода к решению задач и умелое применение данного метода в решении любых задач;

- Умение ставить вопросы, работать по алгоритму;

- Развитие математической речи учащихся в ходе комментирования, объяснения, смысла вопросов;

- Развитие навыков сотрудничества и взаимопомощи при работе в группе.

Задачи:

- Формирование с помощью задач важных общеучебных умений, связанных с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса;

- Умению составлять план решений;

- Умению поиска условий;

- Развитие логического, образного мышления, развитие речи школьников.

План урока:

Цели: повторение, закрепление материала, совершенствование навыков решения задач; подготовить учащихся к предстоящему ЕГЭ.

Ход урока

1. Организационный момент.
   Сообщить учащимся тему урока и сформулировать цели урока.
2. Актуализация знаний учащихся.
3. Индивидуальная работа с отдельными учащимися.
4. Физиологическая пауза.
5. Решение задач.

При решении каждой задачи один из учащихся работает у доски, остальные - в тетрадях.

Задача 1: Расстояние по реке между пунктами А и В равно 45 км. Одновременно из них навстречу друг другу вышли две моторные лодки, собственные скорости которых равны. Через 1,5 ч они встретились. Найдите собственную скорость лодок, если скорость течения реки равно 3 км/ч.

Решение. Пусть х км/ч - собственная скорость лодки,

х - 3 км/ч - скорость одной лодки,

х + 3 км/ч - скорость другой лодки,

х - 3 + х + 3 км/ч - скорость сближения лодок,

2х * 1,5 км - расстояние, которое лодки прошли навстречу друг другу. По условию задачи расстояние равно 45 км. Следовательно, 2х * 1,5 = 45, 2х = 30, х = 15.

Ответ: 15.

Задача 2: У каждого из 105 туристов имеются доллары или евро. Евро имеются у 70 туристов. Число туристов, имеющих только доллары, составляют 70% числа туристов, имеющих только евро. Сколько туристов имеют и доллары, и евро?

Решение. Пусть х - число туристов, имеющих только евро. Тогда 0,7х туристов имеют только доллары, а 105 - 0,7х туристов имеют евро. Значит , 105 - 0,7х = 70,

0,7х = 35, х = 50 , т. е. и доллары, и евро имеют 70 - 50 =20 туристов.

Ответ: 20.

6. Тестирование

7. Подведение итогов урока.

Оценить работу учащихся.

Методическая схема использования технологического подхода в обучении учащихся в решении текстовых задач.

- Восприятие задачи и ее первичный анализ;

- Поиск решения, составление плана решения;

- Выполнение решения, формулировка ответа на вопрос задачи;

- Проверка решения, его корректировка, формулировка окончательного ответа на вопрос задачи;

1. Подготовительный этап.

- постановка целей;

- разработка системы диагностических задач и критериев оценки.

2. Этап непосредственного обучения понятию.

3. Этап диагностики.

Виды работы над задачами:

- Составить аналогичную задачу;

- Вставить недостающие данные;

- Придумать вопросы к задаче;

- Проверить умение решать задачи;

- Не решая задачи, выбрать ответ из предложенных;

- Составить презентацию к заданному тексту задачи, использую Интернет-ресурсы и другие.