Урок алгебры по теме "Решение квадратных неравенств". 8-й класс

Цели:

• ввести понятие квадратного неравенства;
• познакомить учащихся с алгоритмом квадратного неравенства;
• формировать умение решать квадратные неравенства.

Оборудование: учебный комплект “Алгебра-8” А. Г. Мордковича, тетрадь, карандаш, авторучка, линейка, компьютер, медиапроектор, интерактивная доска Interwrite Board.

Программное обеспечение: Windows XP, MS PowerPoint-2003 (2007), программа для работы с интерактивной доской Interwrite^TM Workspace.

Учитель: (слайд №1) перед вами несколько математических выражений. Скажите, какие из них вам знакомы, как они называются и выделите те, которые вам пока не знакомы.

(Линейные уравнения и неравенства и квадратное уравнение знакомы; незнакомы - квадратные неравенства. На интерактивной доске перетаскиваем знакомые уравнения и неравенства на книжную полку (уже “прочитанные книги”), а незнакомые – на раскрытую книгу (предстоит “прочитать”). Рисунок книжной полки появляется после щелчка).

Итак, ребята, как вы думаете, что перед нами, “какую книгу нам предстоит прочитать”?

Учащиеся: квадратные неравенства.

Учитель: тема сегодняшнего урока “Решение квадратных неравенств”. (Cлайд №2)

Учитель: Назовите общий вид квадратных неравенств ( по аналогии с квадратными уравнениями).

Учащиеся:

Учитель: вместо знака “>”, можно использовать любой другой знак неравенства.

Как же решить квадратное неравенство (Слайд №3)?

Учащиеся: перечисляют варианты.

Учитель подводит их к мысли, что надо попробовать решить графически, т. е. построить график функции y = x² + 2x – 3 (параболу). После чего надо будет ответить на вопрос: для каких значений хy>0?

Построение параболы: (Слайд №4)

• вершина параболы x₀ = -1, y₀ = -4
• точки пересечения с осью OX: для этого решаем квадратное уравнение

x² + 2x – 3 = 0

х₁ = -3, х₂ = 1

Здесь надо обратить внимание на главные точки (точки пересечения параболы с осью ОХ) и главные числа -3 и 1 (абсциссы точек пересечения параболы с осью ОХ).

Учитель: Ответить на вопрос нам помогут знаки “+” и “-”, которые мы поставим на координатной плоскости (“+”: y>0 парабола выше оси ОХ; “-”: y<0 парабола ниже оси ОХ).

Итак, решением неравенства

Является объединение промежутков

Далее с помощью данного рисунка решим оставшиеся 3 неравенства. (Слайд №4)

(Здесь надо обратить внимание на промежутки, которые выбираем в качестве ответа и скобки, которые надо поставить в зависимости от того, строгое неравенство или нестрогое).

После этого учитель вместе с учащимися формулирует алгоритм решения квадратного неравенства (с записью в тетради). (Слайд №5)

(Здесь надо обратить внимание учащихся на то, что находить вершину параболы необязательно, достаточно найти точки пересечения о осью ОХ и знать куда направлены ветви параболы. Т. е. строим параболу почти схематически (за исключением точек пересечения с осью ОХ), используя при этом только ось ОХ (см. рисунок ниже).

На данном этапе решим 4 неравенства, проговаривая и объясняя каждый шаг алгоритма.

а) -2x² + 3x + 9 < 0

б) 4x² - 4x + 1 <0

в) 2x² – x + 4 > 0

г) -x² + 3x – 8 > 0

                                          (-)

Решение: а) -2x² + 3x + 9 < 0

1) -2x² + 3x + 9 = 0

х₁ = 3, х₂ = -1,5 - ветви параболы направлены вниз.

2) Cтроим схематически параболу.

3) Ответ: (-оо; -1,5) (3; + оо)

Примечание: над знаком неравенства полезно поставить знак “+” или “-” и взять его, в зависимости от знака неравенства, либо в круглые, либо в квадратные скобки. Также на рисунке можно использовать штриховку.

б) 4x² - 4x + 1 < 0

Особенность этого неравенства в том, что квадратное уравнение имеет один корень х = 0,5, значит парабола с осью ОХ имеет только одну общую точку. Надо изобразить схематически параболу и обсудить то, что решением неравенства будет одно число.

Ответ: х = 0,5

в) 2x² – x + 4 > 0

Квадратное уравнение корней не имеет. Парабола с осью ОХ не имеет точек пересечения, она расположена целиком выше оси ОХ.

Ответ: (-оо;+ оо).

г) -x² + 3x – 8 > 0

Квадратное уравнение корней не имеет. Парабола с осью ОХ не имеет точек пересечения, она расположена целиком ниже оси ОХ.

Ответ: решений нет.

На этом этапе формируем навык решения квадратных уравнений. Работаем с задачником № 34.3 – 34.10 (по одному неравенству).

№34.23 (а, б)

№34.24 (а, б)

V. Итог урока: проговорить алгоритм решения квадратного неравенства. Оценки за урок тем учащимся, которые активно участвовали в обсуждении новой темы.

VI. Домашнее задание:

• учебник § 34 (стр. 200-204);
• задачник № 34.12 – 34.18 (из каждого номера под буквой “а”).

1. Мордкович А.Г. и др. Учебный комплект “Алгебра – 8”, 2008 г.
2. Комисарова И.В., Ключникова Е.М. Поурочное планирование по алгебре, 2008
3. Волович М Б. Математика без перегрузок.