Урок-путешествие по теме "Решение простейших тригонометрических уравнений". 10-й класс

• Образовательные: обобщить знания по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений», создать разноуровневые условия контроля (взаимоконтроля) усвоения знаний и умений, проверить практические навыки и умения учащихся при решении уравнений, научить применять знания, умения и навыки в новой ситуации;
• Развивающие: развивать логическое мышление, вычислительные навыки, расширить кругозор учащихся, развивать любознательность, самостоятельность мышления;
• Воспитательные: воспитывать стремление к овладению знаниями, интерес к предмету, потребность в самостоятельном приобретении знаний, культуру мышления, культуру речи, познакомить учащихся с практическим применением тригонометрии в различных областях деятельности человека, умение выполнять взаимоконтроль, воспитывать чувство ответственности, уверенности в себе.

Оборудование: мультимедийный проектор, интерактивная доска, карточки для домашней работы (Приложение 1); презентация к уроку «Решение простейших тригонометрических уравнений» (Приложение 2).

1. Организационный момент – вводное слово учителя.
2. Из истории математики – сообщения учащихся.
3. Устная работа.
4. Решение упражнений.
5. Дифференцированная самостоятельная работа со взаимопроверкой.
6. Сообщение учащегося: «Практическое применение тригонометрии».
7. Выполнение задания на применение знаний, умений и навыков в новой ситуации.
8. Итог урока.
9. Домашнее задание.

1. Организационный момент – вступительное слово учителя (слайд 2).

Учитель. Добрый день, ребята! Сегодня мы заканчиваем изучение простейших тригонометрических уравнений и проведем необычный урок – совершим путешествие по очень важному разделу курса алгебры и начал анализа – тригонометрии. На протяжении всего времени, пока мы изучали тригонометрические формулы, свойства тригонометрических функций вы спрашивали: кто только ее придумал? для чего она нужна? Вот сегодня мы и постараемся узнать ответы на все ваши вопросы. Отправляясь в путешествие, каждый из нас возьмет с собой багаж, а состоять он будет из знаний, умений и навыков, накопленных вами за время изучения данной темы. Как и в любом путешествии, сегодня нас ждет не только много интересного и неизвестного, на пути всегда встречаются какие-то препятствия, трудности, которые нужно преодолевать. Сегодня мы обобщим, закрепим и проверим умения и навыки решения простейших тригонометрических уравнений, попробуем выполнить задание на применение знаний, умений и навыков в новой ситуации, пока еще для вас незнакомой, рассмотрим примеры практического применения тригонометрии. И к концу урока постараемся ответить на вопрос «А нужно ли продолжать изучать тригонометрию?» и «Так ли она важна в жизни каждого из нас?»

Эпиграфом к нашему уроку послужат слова «Результат учения равен произведению способности на старательность. Если старательность равна нулю, то и все произведение равно нулю. А способности есть у каждого». Желаю вам, чтобы к концу этого урока результат вашего учения не оказался равным нулю.

I. Станция «Историческая» (слайд 3).

Учитель. Собираясь в путешествие, необходимо хотя бы немного знать о той стране, куда вы отправляетесь. Поэтому начнем мы свое путешествие со станции «Исторической». Здесь мы посетим музей любознательных, где экскурсоводы расскажут вам много интересного, и вы узнаете, как зарождалась тригонометрия.

Сообщение 1 учащегося. Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Еще задолго до новой эры вавилонские ученые умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Это позволяет сделать вывод о том, что им были известны простейшие сведения из тригонометрии. Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее «измерение треугольников». Одним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во 2 веке до нашей эры. Гиппарх является автором первых тригонометрических таблиц.

Важный вклад в развитие тригонометрии был внесен индийской математикой в период 5–12 веков нашей эры. Индийские математики стали вычислять не полную хорду, как это делали греки, а ее половину (то есть «линию синусов»). Линия синусов именовалась ими «архаджива», буквально означало «половина тетивы лука». Индийцы составили таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд, измеренных частями окружности для всех углов от 0 до 90 градусов.

Сообщение 2 учащегося. Дальнейшее развитие тригонометрии шло по пути накопления и систематизации формул, уточнения основных понятий, становления терминологии и обозначений. Многие европейские математики работали в области тригонометрии. Среди них такие великие ученые, как Николай Коперник (слайд 4), Тихо Браге и Иоганн Кеплер (слайд 5). Франсуа Виет (слайд 6) дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических треугольников, открыл «плоскую» теорему косинусов и формулы для тригонометрических функций от кратных углов. Исаак Ньютон разложил эти функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе. Современный вид тригонометрия получила в трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (слайд 7). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа, ввел единичную окружностью. Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, в том числе и формулы корней тригонометрических уравнений, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразное обозначение: sin а, cos а, tg а, ctg а. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии. Дальнейшее развитие тригонометрия нашла в трудах Николая Ивановича Лобачевского.

II. Станция «Внимательная» (слайд 8).

Учитель. Во время путешествия нужно быть предельно внимательными, чтобы багаж ваших знаний не достался случайному попутчику и все путешествие не стало для вас разочарованием. Продолжаем наше путешествие и следующая наша станция «Внимательная». Давайте проверим насколько вы внимательны, выполнив следующие упражнения. Посмотрите внимательно на доску.

Задание 1. (слайд 9).
Задание 2. (слайд 10).

Ответы: а) неправильно добавлен период (πn); б) неверно найден арккосинус; в) нет ошибок; г) arccos 2 не существует; д) ответ записан по формуле для косинусов

III. Станция «Эрудит» (слайд 11).

Учитель. Время не ждет. Нужно отправляться дальше. Много трудностей и опасностей подстерегает нас в этом путешествии. На данной станции нам предстоит справиться с достаточно сложными испытаниями – простейшими тригонометрическими уравнениями. Посмотрите внимательно на доску (слайд 12). Выполнение этого задания потребует от вас применения знаний, умений и навыков изученного материала, а также поможет развить вычислительные способности. Откройте тетради, запишите число, тему урока и приступайте к выполнению задания.

Учитель. Внимание! Контроль! В поезд вошли ревизоры, которые проверяют в своих ли вагонах едут пассажиры? Согласно приобретенным билетам, нам достались места в общем, плацкартном и купейных вагонах. Следующее задание, с которым вам предстоит справиться на этой станции – это выполнить дифференцированную самостоятельную работу (слайд 13). Данное задание направлено на то, чтобы выяснить степень усвоения вами материала по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений». Идея заключается в том, что каждый из вас сам выберет уровень сложности задания. За верное выполнение задания вы получаете соответствующую данному уровню оценку. Вам предлагается 2 варианта. Билеты желтого цвета – это места в общем вагоне (соответствуют оценке «3»), зеленого – в плацкартном вагоне (оценке «4»), розового – в купейных вагонах (оценке «5»). Но если вы выполняете задание неверно, то получаете оценку «2»и вам придется заплатить штраф контролеру (выполнить индивидуальное задание по карточке). Если вы хотите подстраховаться и не получить «двойку», то можете выполнить задание из своего варианта, но уровнем ниже того, что выбрали первоначально. Ребятам, выбравшим задание розового цвета, необходимо быть предельно внимательными, так как в этом задании заложена маленькая хитрость. Поскольку каждому из вас нужно решить только одно уравнение, то отводимое время на выполнение задания – 5 минут. Желаю всем удачи.

Учитель. А сейчас я предлагаю соседу еще раз перепроверить билеты, чтобы избежать недоразумений. Ребята, обменяйтесь тетрадями выполните проверку работ соседа (слайд 14). Сверьте ответы с предложенными на доске и выставьте соответствующую уровню сложности оценку за верное выполнение задания. Если же ответ получен неправильный, то выставляете оценку «2». Обратите внимание, у тех учащихся, которые выполняли задание розового цвета, ответ может быть записан двумя способами. Если ответ записан первым способом, то есть ученики решили уравнение по общей формуле, то выставляете оценку «3». Если же ответ соответствует нижней строке, то есть уравнение решено как частный случай, то ставите оценку «5». А теперь давайте подведем итоги. А теперь давайте посмотрим, сколько человек из нас едут в общем вагоне? (поднимают руки учащиеся, получившие оценку «3»), в плацкартном вагоне (оценку «4»), в купейных вагонах (оценку «5»). А есть ли среди нас пассажиры, которые перепутали свои места и которым необходимо заплатить штраф? (оценку «2», им дается небольшое дополнительное задание).

IV. Станция «Практического применения» (слайд 15).

Учитель. А сейчас мы проезжаем станцию «Практического применения» и предлагаем вам окунуться в мир практической стороны тригонометрии и познакомиться с применением тригонометрии в различных областях деятельности человека

Сообщение учащегося. Нам часто кажется, что тригонометрия – это скучный набор формул и графиков. И мы не догадываемся, что многое из того что нас окружает: восход и заход Солнца, затмения и движения планет, вращение колеса и биение сердца, звучание музыки и разработка компьютерных игр – это периодические процессы и явления, которые можно описать тригонометрическими функциями.

Большое значение имеет теория тригонометрии, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография. Некоторые примеры мы сейчас предлагаем вашему вниманию:

(слайд 16) Поскольку почти всякую фигуру можно разбить на множество треугольников, тригонометрия дает мощный метод решения геометрических задач.

Чтобы воспользоваться им, строители туннелей намечают геодезический пункт, откуда видны концы туннеля. Затем они визируют направления и определяют углы между ними. Математический принцип предельно прост.

(слайд 17) На сфере, как и на поверхности Земли, о расстояниях можно судить по углам под которыми они видны из центра сферы. Положению точки на поверхности Земли определяются ее широтой (углом отсчитываемым от экватора) и долготой. Это дает мореплавателю расстояние и курсовой угол. Астрономы определяют положение звезд при помощи таких сферических небесных треугольников.

Применения тригонометрии разнообразны. (слайд 18) Принцип действия самозахватывающего ключа основан на измерении косинуса угла между захватами. При уменьшении угла косинус возрастает – захваты смыкаются. При смыкании небольшое перемещение захватов обеспечивает плотное сцепление с отвинчиваемой деталью.

(слайд 19) В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными, например, колебания тока в электрической цепи. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям, которые можно описать по закону синуса или косинуса.

Осцилло́граф – прибор, предназначенный для исследования электрических сигналов путем визуального наблюдения графика сигнала на экране либо записанного на фотоленте, а также для измерения параметров сигнала (амплитуды, периоду) по форме графика

V. Станция «Новая» (слайд 20).

Учитель. Мы подъезжаем к станции «Новая». Путешествуя, человек узнает всегда что-то новое. И наш урок сегодня – не исключение. Порой сама задача решения уравнений бывает менее важна, чем нахождение частных уравнений, удовлетворяющих некоторому условию. Эта проблема стала наиболее актуальной в связи с введением ЕГЭ. В заданиях базового и повышенного уровня сложности этого экзамена все чаще встречаются задания, требующие более глубокого анализа условия: найти корни, принадлежащие заданному отрезку, найти сумму или произведение корней уравнения из заданного промежутка и пр., которых почти не встретишь в учебнике. И на этой станции вам предстоит применить все имеющиеся у вас знания, умения и навыки в новой для вас ситуации. Я предлагаю вам такое задание. Но прежде, чем приступить к его выполнению, мне бы хотелось услышать от вас алгоритм выполнения, все логические шаги. Пожалуйста, вдумайтесь внимательно в условие и постарайтесь понять, что от вас требуется.

(слайд 21). Найти сумму корней уравнения, принадлежащих указанному промежутку

• Решить уравнение.
• Отобрать корни, которые принадлежат указанному промежутку
• Найти сумму всех этих чисел
• Записать ответ

(слайд 22) 1 учащийся выполняет на доске задание под руководством учителя.

VI. Станция «Итоговая» (слайд 23).

Учитель. Ну вот и подошёл к концу наш урок. Мы с вами обобщили решение простейших тригонометрических уравнений, но путешествие по разделу «Тригонометрия» можно еще продолжать бесконечно. Нам еще неведомы многие темы этого раздела: решение тригонометрических неравенств, более сложных уравнений, систем уравнений и неравенств.

И мне хочется узнать ответ на вопрос: убедили мы вас сегодня в необходимости и актуальности изучения тригонометрии или нет? Что вы узнали нового? А закончить наш урок мне бы хотелось словами великого педагога Я.А. Каменского (слайд 24) «Считай несчастным тот день или час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию». Очень надеюсь, что во время нашего урока каждый из вас пополнил свои знания.

Учитель. Спасибо большое всем за урок. Домашнее задание вы получите по карточкам, которое также вам предлагаю выполнить дифференцированно. Приложение 1.