Элементы теории вероятностей и их приложение к генетике

Цель: Дать некоторые основные определения теории вероятностей. Показать практическое применение рассматриваемых элементов в генетике, тем самым повысить мотивацию обучения математике в медицинском колледже.

Студент должен знать: Определение основных элементов теории вероятностей.

Студент должен уметь: Применять теоретические знания для решения задач.

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Материально-техническое оснащение урока: Интерактивная доска, компьютер. Карточки – инструкции к теме “ Элементы теории вероятностей”.

1. Организационный момент – 3 мин. Сообщение темы и цели занятия.
2. Проверка домашнего задания. Показ презентаций на тему «История возникновения теории вероятностей» – 25 мин
3. Объяснение нового материала – 40 мин.
4. Решение задач по генетике. Закрепление нового материала – 20 мин.(2-3 человека).
5. Домашнее задание – 2 мин.

Студенты показывают подготовленные дома презентации на заданную тему.

Всякий результат или исход испытаний называется событием.

Множество U , элементами которого являются предполагаемые исходы данного опыта, взаимоисключающие друг друга наз. пространством элементарных исходов ПЭИ, а его элементы элементарными исходами.

Задача 1. Дважды бросается монета.

U = {ГГ, ГЦ,ЦГ,ЦЦ} .Здесь, например, “ ГЦ” означает, что при первом бросании выпал герб, при втором цифра.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. (Примеры)

Если событие должно непременно произойти, его называется достоверным, это событие совпадает со всем множеством U. (Примеры)

Если событие заведомо не может произойти, его называют невозможным, это событие совпадает с пустым множеством V. (Примеры)

События называется совместными, если в данных условиях появление одного не исключает появление другого в одних и тех же условиях.

Если возможно появление только одного события, то события называются несовместными.

Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению события А, к числу n всех исходов (несовместных, единственновозможных, равновозможных), т.е.

Р(А) = m/n

причем 0 £ Р(А) £ 1,
если событие невозможно, то Р(А) = 0,
если событие достоверно, то Р(А) = 1.

Задача 2. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что вынутый билет выигрышный.

Р(А) = m/n = 200/1000 = 1/5 = 0,2

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+В) = Р(А) + Р(В);

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Задача 3. Найти вероятность того, что наудачу взятое число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Пусть А – событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратно 3, а В – в том что оно кратно 5. найдем Р(А+В). Так как А и В совместные события, то воспользуемся второй теоремой.

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Всего имеется 90 двузначных чисел: 10,11,...,98,99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события А); 18 – кратными 5 (благоприятствуют наступлению события В) и 6 – кратными одновременно и 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события АВ). Таким образом, Р(А) = 30/90 = 1/3; Р(В) = 18/90 = 1/5; Р(АВ) = 6/90 = 1/15.

Р(А+В) = 1/3 + 1/5 – 1/15 = 7/15 = 0,467.

Вероятность появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Р(АВ) = Р(А) × Р(В)

Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению одного из их на условную вероятность другого.

Р(АВ) = Р(А) × АР(В) = Р(В) × ВР(А)

Задача 4 . В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Пусть А – появление белого шара из первой урны; В – появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события А и В независимы. Найдем Р(А) = 4/12 = 1/3; Р(В) = 3/12 = 1/4.

По первой теореме получаем Р(АВ) = Р(А) × Р(В) =1/3 × 1/4= 1/12 = 0, 083.

Пусть события В₁, В₂, ..., В_n образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них, например Вi, событие А может наступить с некоторой условной вероятностью Р Вi(А). Тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую вероятность события А:

Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2) Р в2(А) + ... + Р(Вi) Рвi(А), где Р(В1) + Р(В2) +... +Р(Вi)= 1

Данная формула называется формулой полной вероятности.

Задача 5. Известно, что в партии из 1000 ампул с новокаином 400 ампул изготовлено на одном заводе, 350 – на втором, 250 – на третьем. Известны также вероятности 0,75; 0,8; 0,85 того, что ампула окажется без дефекта при ее изготовлении соответственно на первом, втором, третьем заводе. Какова вероятность того, что выбранная наугад ампула окажется без дефекта?

Введем обозначения: В₁ – ампула, изготовленная на первом заводе, В₂ – ампула, изготовленная на втором и В₃ – на третьем; событие А – ампула оказалась без дефекта. Из условия следует, что Р(В₁) = 0,4, Р(В₂) =0,35, Р(В₃) = 0,25, Рв1(А) = 0,75, Рв2(А) = 0,8, и Рв3(А) = 0,85. Следовательно,

Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2) Рв2Р(А) + Р(В3) Рв3(А) =

= 0,4× 0,75 + 0,35× 0,8 + 0.25 × 0,85 = 0,7925

Случайной величиной называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных исходов. Функция, ставящая в соответствие каждому значению Х вероятность Р(Х), с которой она принимает это значение называется законом распределения случайной величины.

Можно предложить следующую схему закона распределения случайной величины:

1. Построить для данного эксперимента пространство элементарных исходов ПЭИ и задать в нем вероятности.

2. Выписать значение случайной величины, соответствующее каждому элементарному исходу.

3. Выписать возможные различные значения Х₁, Х₂, ...Х_n случайной величины и соответствующие им вероятности Р(Х₁), Р(Х₂),... Р(Х_n). Вероятность Р(Х_i) находится сложением вероятностей всех элементарных исходов, отвечающих значению Х_i.

Задача 6. Стрелок, имея 4 патрона, стреляет до первого попадания в цель. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Построить закон распределения числа использованных патронов.

ПЭИ этого опыта U = { П;НП;ННП;НННП;НННН }

Так как результат каждого выстрела естественно считать независимым от предыдущего, то вероятности элементарных исходов соответственно равны Р(П) = 0.6; Р(НП)=0,4 0.6 =0,24; Р(ННП) = 0,4 0,6 = 0,096; Р(НННП) = 0,4 0,6 = 0,0384; Р(НННН) = 0,4 = 0,0256. Элементарным исходам соответствуют следующие значения случайной величины – числа использованных патронов 1,2,3,4.

Итак, закон распределения имеет вид

(0,064 = 0,0384 + 0,0256).

Знание закона распределения вероятностей позволит решать некоторые задачи и по дисциплине «Управление и организация здравоохранения».

1. Селекционер скрещивает две породы, каждая из которых обладает парой генов (а, А). Каждая из родительских особей передает потомку один из этих генов (либо а, либо А). Два гена – один отцовский и один материнский – составляют пару аллельных генов потомка. Опишите ПЭИ, элементами которого являются пары генов возможных потомков.

2. У человека ген (А) полидактилии (шестипалость) доминирует над нормальным строением кости.

1) Определите вероятность рождения шестипалых детей в семье, где оба родителя гетерозиготные (Аа).

2) В семье, где один из родителей имеет нормальное строение кисти (аа), а второй – шестипалый (Аа), родился ребенок с нормальным строением кисти. Какова вероятность того, что следующий ребенок родится без аномалий?

3. Известно, что “трехшерстные” кошки – всегда самки. Это обусловлено тем, что гены черного (а) и рыжего (А) цвета шерсти аллельны и находятся в Х хромосоме, но ни один из них не доминирует, а при сочетании рыжего и черного цвета формируются “трехшерстные” особи (Аа).

1) Какова вероятность получения в потомстве “трехшерстных” котят от скрещивания трехшерстной кошки с черным котом?

2) Какое потомство можно ожидать от скрещивания черного кота с рыжей кошкой?

4. Среди 1000 новорожденных 517 мальчиков. Какова вероятность рождения мальчиков?

Подготовить доклад – сообщение, на основании ранее полученных знаний по биологии, генетике, связывая эти знания с изученными понятиями теории вероятностей на одну из предлагаемых тем:

1. Работы Ж.Б.Ламарка. Понятие фенотипа и генотипа.
2. Работы Ч. Дарвина. Естественный отбор.
3. Работы Менделя. Понятие доминантных и рецессивных признаков.
4. Закон расщепления. Решетка Пиннета. Наследование группы крови.
5. Мутации. Причины мутаций. Польза и вред мутаций.