Обобщающий урок алгебры в 11-м классе по теме "Производная. Геометрический смысл производной"

Разделы: Математика


Цель:

  • мобилизовать учащихся на серьезную работу;
  • провести глубокий анализ знаний учащихся;
  • наметить пути ликвидации пробелов в усвоении предмета.

Оборудование:

  • четыре сигнальные карточки с цифрами «1», «2», «3», «4»;
  • две сигнальные карточки (белого и зеленого цвета);
  • «задачи – картинки» (графики),
  • задание устной работы (карточки).

Ход урока

I. Организационный момент:

Учитель объявляет тему урока.

Устные упражнения:

1. Вычислить:

a1/4: a­ 3/4· a2;
b1/6· b1/6 · b°;
42/3· 44/3;
(m1/4)?· m5/4;

2. Найти производную функции:

y = (7x+4)5
y = (-3х+8)7
y = (9 – 4х)3
y = eх+9х2
y = 4eх– 12

3. Найти область определения функции:

y = sin x
y = cos x
y = √x
y = logax

4. Найти множество значений функции:

y = sin x – 4
y = 12 + cos x
y = 5 +cos2 x
y = 2х

II. Математический диктант (на листочках)

  1. Записать определение производной с помощью математических символов.
  2. Когда функция дифференцируема в точке?
  3. Записать правила дифференцирования.
  4. Чему равна производная показательной функции?
  5. Чему равна производная логарифмической функции?
  6. В чем заключается геометрический смысл производной?
  7. Написать уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х0 .
  8. Найти производную функции y = tg х.
  9. Найти производную функции y = ctg х.

(Один учащийся выполняет на обратной стороне доски для самопроверки. Листочки собраны, математический диктант проверен.)

III. «Задачи – картинки».

(С использованием сигнальных карточек с цифрами «1», «2», «3», «4». Учащиеся поднимают сигнальные карточки с номером верного ответа.)

1. а). График какой функции изображен на рисунке 1?

Рисунок 1

б) Чему равна производная этой функции?

1) – cos х 2) cos х 3)  – sin х 4) 1/ cos2 х

а). График какой функции изображен на рисунке 2?

Рисунок 2

б). Чему равна производная этой функции?

1) cos х 2) – 1/sin2x 3) sin х 4) – cos х

а). График какой функции изображен на рисунке 3?

Рисунок 3

б). Чему равна производная этой функции?

1) x 2) x2 3) 2x 4) 2x2

4. а) График какой функции изображен на рисунке 4?

Рисунок 4

б) Чему равна производная этой функции?

1) ax 2) 1oga x 3) ax 1na 4) 1/x

5. а) График какой функции изображен на рисунке 5?

Рисунок 5

б) Чему равна производная этой функции?

1) x? 2) √x 3) 1/x 4) 1/2√x

IV. Верно – не верно!

(У учащихся две карточки: белого и зеленого цвета. При утвердительном ответе учащиеся поднимают белую карточку, при отрицательном – зеленую)

  1. Верно ли, что производная суммы равна сумме производных?
  2. Верно ли, что производная постоянной равна единице?
  3. Верно ли, что производная функции ex равна ex1ne?
  4. Верно ли, что 1/cos2x есть производная для функции cosx?
  5. Верно ли, что производная 1nx равна 1/x??
  6. Верно ли, что y = sinx – четная функция?
  7. Верно ли, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке?

V. Решение заданий

1. Написать уравнение касательной к графику функции y = 3x? − x, в точке x0=1.

Решение.

y' = 6x − 1
y'(1) = 6 −1= 5
y(1) = 3·1? −1= 2
y = f(x0) + f '(x0)(x − x0)
y = 2 + 5(x−1) = 2 + 5x −5
y = 5x −3 – уравнение касательной

Ответ: y = 5x −3

2. Написать уравнение касательной к графику функции y = sinx − 3x + 2, x0= 0.

Решение.

y' = cosx −3
y'(0) = cos0 −3 = 1− 3 = −2,
y'(0) = sin0 − 0 + 2 = 2
y = 2 −2(x −0)
y = −2x + 2 – уравнение касательной

Ответ: y = −2x + 2

3. Найти производную функции:

а) f(x) = sin(2x + π/4)
    f '(x) = 2cos(2x + π/4)

Ответ: 2cos(2x + π/4)

б) f(x) = ex ·x?
    f '(x) = (ex)'x? + ex(x?) = ex ·x? + 2xex = xex (x+2)

Ответ: xex (x+2)

4. Найти производную функции:

y = ex/ cosx
y'=( ex/ cosx)'= ((ex)' cosx – ex(cosx)')/ cos2 x = (ex cosx+ ex sin x)/ cos2 x = (ex(cosx+ sin x))/ cos2 x

Ответ: (ex(cosx+ sin x))/ cos2 x

VI. Подведение итогов

VII. Домашнее задание

Индивидуальная карточка каждому учащемуся.

– Урок окончен! Спасибо за внимание!

Список литературы:

  1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др./ Учебник для 10–11 классов общеобразовательных учреждений/ – М.: Просвещение, 2008.
  2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа/ А.Г. Мордкович, П.В. Семенов/ Учебник для общеобразовательных учреждений. 11 класс. – М.: Мнемозина, 2007.
  3. Ковалева Г.И. Тренажеры. Тесты. Самоучители. «Математика. Для учащихся 11 класса и поступающих в вузы», составители: Г.И. Ковалева, Т.И. Бузулина и др.