Здесь представлены конспекты двух уроков для студентов педагогического колледжа по теме “Правильные многогранники”. Уроки сопровождаются презентацией (Приложение ).
Тема: Правильные многогранники.
Цель: Изучить тему “Правильные многогранники”, обнаружить связи геометрии в целом и данной темы в частности с другими науками и с окружающей действительностью.
Правильных многогранников вызывающе мало,
но этот весьма скромный по численности отряд
сумел пробраться в самые глубины различных наук.
Л.Кэролл.
Подготовительная работа.
За месяц до проведения данного урока студентам дается задание:
1) Исследовать различные источники, и найти информацию, так или иначе связанную с темой данного урока. (Студентам выдаются темы сообщений, список литературы, возможно, ссылки на Интернет ресурсы.)
2( Выполнить модели правильных многогранников. (Студентам выдаются развертки многогранников, проводится инструктаж.)
Собранная студентами информация изучается учителем, систематизируется. Учитель выясняет, какая тема больше всего интересна каждому студенту, окончательно утверждает темы сообщений.
Ход урока
Здесь целесообразно использовать компьютер с мультимедийным проектором и материалы главной презентации (ГП), а также модели правильных многогранников на диске “Стереометрия”.
Вспомним определение правильного многогранника:
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.
Правильных многогранников всего 5. Почему? Сейчас мы ответим на этот вопрос.
Далее урок строится в форме диалога. Учащиеся отвечают на вопросы педагога. Ответы фиксируются на доске и в тетрадях студентов.
По определению каждая грань правильного многогранника – правильный многоугольник.
Сумма углов правильного многоугольника вычисляется по формуле
å = 180° × (п – 2)
1) Пусть гранью правильного многогранника является треугольник. То есть п = 3, å = 180° , a = 60° . Составим вместе:
– Три треугольника. Тогда величина трехгранного угла будет: 3
× 60° = 180°
– получим тетраэдр.
– Четыре треугольника – 4 × 60°
= 240° – октаэдр.
– Пять треугольников – 5 × 60°
= 300° – икосаэдр.
– 6 треугольников – 6 × 60°
= 360° . Многогранный угол
превратился в круг. Значит, многогранника в данном случае уже не получится.
2) Теперь пусть гранью многогранника станет квадрат. п = 4, å = 360° , a = 90° . Составим вместе:
– 3 квадрата: 3 × 90 = 270°
– куб.
– 4 квадрата: 4 × 90 = 360°
– нет многогранника.
3) п = 5, å = 180° × (5-2) = 540° , a = 540: 5= 108° .
– 3 × 108° = 324°
– додекаэдр.
– 4 × 108°
> 360° – нет
многогранника.
4) п = 6, å = 720° , a = 120° .
– 3 × 120° = 360° . Что это означает? Да, других правильных многогранников не существует. Мы перебрали все возможные варианты.
Итак, их всего 5 – 5 красивых тел. Ученые, особенно древние ученые во всем стремились найти гармонию. Правильные многогранники казались им необычайно гармоничными. Один из этих ученых даже положил правильные многогранники в основу своей философии.
Сообщение студента: Гипотеза Платона
Правильные многогранники иногда называют платоновыми телами, поскольку они занимали видное место в философской картине мира, разрабатываемой великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н. э.).
Платон считал, что мир строится из четырех “стихий” – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих стихий имеют форму четырех правильных многогранников. Итак, тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твердым, жидким, газообразным и плазменным. Пятый многогранник – додекаэдр – воплощал в себе “все сущее”, символизировал весь мир и считался главнейшим.
Это была одна из первых попыток ввести в науку саму идею систематизации, которая оказалась очень плодотворной. Она помогла отделить одни области знания от других, сделав научные исследования более целенаправленными. Термин “атом”, употреблявшийся в древней Греции, пережил тысячелетия, почти не изменив своего значения, а представления о геометрических формах мельчайших частиц возродились в теории кристаллов.
Учение о гармонии и в частности о телах Платона перешло в средневековье. А в Европе в 16–7 веках один замечательный ученый создал еще одну интересную теорию, связанную с астрономией.
Сообщение студента: Гипотеза Кеплера.
Ученые древности во всех сферах деятельности и в окружающей действительности искали гармонию. Пять красивых тел – правильных многогранников казались им удивительно гармоничными.
Замечательный немецкий астроном, математик и великий фантазер Иоганн Кеплер (1571–1630) выдвинул очень интересную гипотезу. Кеплера соблазнила мысль о том, что существует всего пять правильных многогранников и всего шесть (как казалось тогда) планет солнечной системы: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн. Показалось, что гармония и любовь природы к повторениям сделали правильные многогранники связующими звеньями между шестью небесными телами. Кеплер предположил, что сферы планет связаны между собой вписанными в них платоновыми телами. Так как для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором располагается Солнце.
Согласно предположениям Кеплера в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В нее, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.
Кеплер выполнил огромную вычислительную работу, чтобы подтвердить свои предположения. Космическая теория платоновых тел оказалась неверна.
Однако на основе обобщения данных, полученных в результате наблюдений, он установил три закона движения планет относительно Солнца.
Первый закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Второй закон: каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем площадь сектора орбиты, описанная радиусом – вектором планеты, изменяется пропорционально времени.
Третий закон: квадраты времени обращения планеты вокруг Солнца относятся, как кубы их средних расстояний от Солнца.
Это были только гипотезы, пока их не обосновал на основе закона всемирного тяготения Исаак Ньютон (1643–1727).
Но и в наши дни правильные многогранники не дают ученым покоя Они выдвигают новые гипотезы, создают свои научные фантазии.
Сообщение студента: Гипотеза Макарова и Морозова.
Идеи Пифагора, Платона, Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х годов высказали московские инженеры В.Макаров и В.Морозов.
Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины ребер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.
Изучая любой многогранник, естественней всего подсчитать, сколько у него граней, ребер и вершин. Это мы сейчас и сделаем.
Практическая работа.
Студенты делятся на малые группы или пары, достают выполненные дома модели, выполняют подсчеты и заполняют таблицу. (В каждой группе студентов должны быть модели всех правильных многогранников).
Результат практической работы представлен в таблице:
| Вид многогранника | В | Р | Г | В – Р + Г |
| Куб | 8 | 12 | 6 | 2 |
| Призма с 6-уг. Основанием. | 12 | 18 | 8 | 2 |
| Пирамида с 4-уг. Основанием | 5 | 8 | 5 | 2 |
| Усеченная пирамида с 3-уг. основанием | 6 | 9 | 5 | 2 |
Итак мы эмпирическим, то есть опытным путем обнаружили, что В – Р + Г = 2. Случайно ли это?
Эйлер доказал, что для любого правильного многогранника
В – Р + Г = 2.
Это свойство получило название теоремы Эйлера о многогранниках.
Давайте вспомним, кто же это – Леонард Эйлер.
Сообщение студента: Леонард Эйлер – великий математик Санкт – Петербурга.
Леонард Эйлер (1707–1783) – выдающийся математик, механик и физик, член Петербургской академии наук и многих других академий.
Родился в Базеле в семье пастора Пауля Эйлера, увлекающегося математикой.
Учился в Базельском университете на философском и богословском факультетах. Одновременно посещал лекции Иоганна Бернулли, что и определило его дальнейшую судьбу.
Творческая деятельность Эйлера тесно связана с Петербургской академии наук, где он попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и издания своих трудов.
Эйлер прибыл в Петербург в декабре 1726 года.
Петербургская Академия с самого начала своего существования была государственным учреждением, научные достижения ее членов публиковались в издании Академии.
Академия снаряжала экспедиции, изучала растительный и животный мир, вела астрономические и метеорологические наблюдения, составляла карты; Одной из важнейших ее функций был обмен информацией и издание научных трудов.
Эйлер за несколько месяцев научился говорить по-русски и в августе 1727 года уже читал в Академии свой первый доклад.
Со следующего года ни один том Академии не выходил без сочинений Эйлера.
Он выполнял поручения по практическим проблемам; читал лекции студентам; принимал экзамены в Кадетском корпусе, занимался вопросом устройства пожарных насосов, работал в Комиссии мер и весов, в Географическом департаменте.
Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.
Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 850 научных работ, 473 из них впервые напечатаны в Петербурге. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома.
Среди его работ – работы по математике, баллистике, механике твердого тела, гидродинамике, теории упругости, оптике, теории движения Луны, теории турбин, астрономии, картографии, биологической физике и др.
Изучая математику, в школе и в колледже мы встречаемся с Эйлером, когда пользуемся постоянной p , когда изучаем различные функции, когда занимаемся тригонометрией и когда решаем задачи по теории множеств.
Великие ученые говорили о Леонарде Эйлере:
“ Деятельность Леонарда Эйлера многогранна и разностороння. Он занимался
почти всем, что интересовало в то время математиков.”
С.И. Вавилов.
“ Леонард Эйлер – учитель всех математиков восемнадцатого века.”
Д.Я. Стройк.
“ Эйлер принадлежит к числу гениев, чье творчество стало
достоянием всего человечества.”
М.А. Лаврентьев.
Есть еще один интересный вопрос. Можно ли заполнить пространство правильными многогранниками так, чтобы не было просветов?
Сообщение студента: Заполнение пространства.
Вот еще один
интересный вопрос, появившийся в связи с правильными многогранниками: можно ли
ими заполнить пространство так, чтобы не было просветов? Оказывается, есть
только один способ заполнить пространство, используя правильные многогранники
только одного вида. Для этого надо выбрать куб. Каждый в детстве играл в кубики,
много раз проделывал опыт такого “заполнения пространства”.
Но оказывается, что если использовать платоновы тела двух видов – тетраэдры и октаэдры, то ими тоже можно заполнить пространство, если расположить их так, как показано на рисунке. Изящная решетка, состоящая из каркасных моделей этих тел, нашла широкое применение в строительных конструкциях, созданных архитектором Р.Б. Фуллером. Система Фуллера состоит из алюминиевых трубок, образующих ребра своеобразных сот, ячейки которых имеют форму правильных тетраэдров и октаэдров. Знаменитые сетчатые перекрытия Фуллера по существу представляют собой решетчатые конструкции, в которых максимальная жесткость достигается при минимальной массе и стоимости.
Оказывается, правильные многогранники встречаются и в живой природе.
Сообщение студента: Правильные многогранники в живой природе.
Правильные многогранники встречаются и в живой природе.
Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите. Чем же вызвана природная геометризация феодарий? Тем, по-видимому, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.
Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того, чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень, как вирус. Это – икосаэдр.
Сообщение студента: Правильные многогранники и кристаллы.
Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа широко этим пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она хорошо растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl ) имеют форму куба.
При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми квасцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.
Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS ). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.
В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учеными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.
Последний правильный многогранник – икосаэдр передает форму кристаллов бора (В ). В свое время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.
Итак, благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических тел, но и пути познания природной гармонии.
Существует семь основных кристаллографических, или изометрических систем, называемых сингониями. Алмаз, например, принадлежит к кубической системе, рубин к гексагональной, бирюза – к триклинной. Каждую систему можно описать в соответствии со спецификой ее симметрии – свойства, которое при вращении кристалла вокруг оси позволяет ему появиться в тождественном виде два или больше раз за один оборот. Кристалл можно определить по количеству осей симметрии. Вращаясь вокруг оси, проведенной через центры диагонально противоположных граней, кубический кристалл обычной соли дважды занимает одно и то же положение за один поворот на 360° . Это двойная ось симметрии. В кубе шесть таких осей. На оси, проведенной через противоположные углы, куб повторяется трижды за полный оборот, показывая четыре тройные оси. Четыре оси симметрии проходят через центры граней куба.
Сегодня на уроке мы узнали много нового и интересного о Платоновых телах. В отжившем учении Платона есть своя мудрость. Стремление свести сложные природные явления к простым неразложимым компонентам остается основным содержанием современного естествознания. Сейчас известно чуть более ста атомов элементов, из которых состоят все встречающиеся в природе вещества.
Сверхзадачей современной физики является выявление “кирпичиков мироздания” – элементарных частиц – первичных, неразложимых далее частиц, из которых состоит вся материя. Еще в начале ХХ века считалось, что таких частиц три: электрон, протон и нейтрон. Однако катастрофический рост числа открываемых элементарных частиц привел к пересмотру научных воззрений.
Сегодня есть основания считать, что протоны, нейтроны, мезоны, гипероны и др. состоят из различных комбинаций трех типов кварков (либо пар кварк-антикварк) – новых кирпичиков мироздания.
Итак, со времен Платона принцип простоты является той нитью Ариадны, которая ведет сегодня ученых по темным лабиринтам микромира.
Урок заканчивается рефлексией. Подводятся итоги. Что нового, интересного узнали, какие сделали выводы.
Список литературы.
- Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии. М., 1998.
- Винниджер М. Модели многогранников. М., 1975.
- Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М., 1994.
- Гросман С., Тернер Дж. Математика для биологов. М., 1983.
- Квант. 1979. № 6.
- Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М., 1967.
- Кованцов Н.И. Математика и романтика. Киев, 1976.
- Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М., 1966.
- Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990.
- Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1992.
- Шафрановский И.И. Симметрия в природе. Л., 1988.
- Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. М., 1981.
- Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.
- Левитин К.Е. Геометрическая рапсодия. М., 1984.