В настоящее время установленные Федеральными государственными образовательными стандартами втогого поколения новые требования к результатам обучающихся вызывают необходимость в изменении содержания обучения на основе принципов метапредметности как условия достижения высокого качества образования. Сегодня в психологии и педагогике школьного образования проводится разработка проблем содержания, методов и форм обучения, приоритетом которых является умственное развитие учащихся. Показано, в частности, что включение в содержание образования знаний методологического характера существенно повышают творческие возможности учащихся.
Методология в равной степени определяет эффективность познавательной и преобразующей деятельности в различных видах активности человека: естественнонаучном и гуманитарном знании, в техническом творчестве, в разработке технологий, и даже в решении сложных бытовых вопросов. Вот почему эти знания в современной педагогической литературе принято называть метазнаниями. К примеру, такие понятия, как абстракция, анализ, аналогия, качество, количество, константность, определение, противоречие, свойство, связь, система, структура, факт и т.п. используют различные науки. То же можно сказать и об общенаучных методах познания: аналогии, классификации, индукции, системном методе и т.д. Такие общенаучные принципы, как обратимость, дополнительность, симметрия, сохранение входят в состав языка многих наук.
Полноправное представительство понятия, названные выше, имеют и в системе математических знаний. Вместе с тем, с этими понятиями учащиеся знакомятся на уроках и в рамках других учебных предметов. Однако, смысл одного и того же общенаучного понятия может существенно отличаться при ознакомлении с ним в рамках различных учебных предметов. Задача учителей разных предметов состоит в том, чтобы отобрать содержание методологических знаний, усвоение которых целесообразно и посильно для учащихся каждой возрастной группы; распределить это содержание между учебными предметами, в рамках которых будет осуществляться усвоение этого содержания и найти эффективные способы и приемы усвоения этого содержания. Углубляя собственную предметную специализацию, мы сами порой очень плохо ориентируемся в устройстве другой научной дисциплины и учебного предмета. Как правило, мы считаем, что главное – это хорошо знать свою область предметного знания и поменьше вторгаться в чужую. Даже преподаватели, казалось бы, не столь далеких друг от друга предметов, например, химии и физики, истории и литературы, математики и физики очень часто не понимают, какие конкретно способы работы со знаниями они передают учащимся; как эти способы связаны друг с другом и на развитие каких именно способностей они направлены. Ответ на эти вопросы требует скоординированной метапредметной работы и введения метапредметной составляющей в программы традиционных учебных предметов.
Остановимся подробнее методе индукции. Как известно, метод индуктивных рассуждений свои истоки черпает из философских представлений, относящихся к уровню общенаучных методов познаний. Важность изучения общенаучных методов состоит в том, что изучив его в рамках одного предмета, ученик может перенести его для решения задач других предметов. В этом и состоит творческое, интеллектуальное развитие ученика.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение метода математической индукции. Вообще, доказательство методом математической индукции состоит из следующих двух частей:
1°. Проверки, что высказанное утверждение справедливо для наименьшего значения п, для которого оно имеет смысл (разумеется, этим значением п не обязательно является единица);
2°. Доказательства, что если это утверждение справедливо для какого-то натурального числа п=k, то оно справедливо и для непосредственно следующего числа п=k+1.
Пример 1. Вычислить сумму 
.
Решение. Заметим, что 
.
Рассмотрение сумм S1, S2, S3 и S4
позволяет высказать гипотезу, что 
при всяком натуральном n.
Для проверки гипотезы воспользуемся методом
математической индукции.
Шаг 1. Для n = 1 гипотеза верна, так как 
Шаг 2. Предположим, что гипотеза верна и для n =
k, т.е. что
.
Докажем, что тогда гипотеза обязана быть верной и
для n = k+1, т.е. что 
Следовательно, по условию теоремы,
.
Оба шага доказаны. Теперь на основании принципа
математической индукции мы утверждаем, что.
Пример 2. На сколько треугольников n-угольник (не обязательно выпуклый) может быть разбит своими непересекающимися диагоналями?
Решение.
Шаг 1. Для треугольника это число равно единице (в треугольнике нельзя провести ни одной диагонали); для четырехугольника это число равно, очевидно, двум (см. рисунок 2, а и б).
Шаг 2. Предположим, что мы уже знаем, что каждый n-угольник, где k<n, разбивается непересекающимися диагоналями на k - 2 треугольника (независимо от способа разбиения). Рассмотрим одно из разбиений n-угольника А1А2 …,Ап на треугольники. Пусть A1Ak - одна из диагоналей этого разбиения; она делит n-угольник А1А2... Ап на k-угольник А1А2…Аk и (n - k+2)-утольник A1AkAk+1…Ап. В силу сделанного предположения общее число треугольников разбиения будет равно (k - 2) + [(n - k + 2) - 2] = п - 2, тем самым наше утверждение доказано для всех п.
 |
 |
Рисунок 2 |
Рисунок 2 |
Пример 3. Доказать тождество
cos (
)cos (2) cos(4)…cos(2n ) = sin(2n+1)/2n+1sin.
Решение.
Шаг 1. При n = 0 тождество справедливо, так как
cos() = sin (2)/2sin()
Шаг 2. Пусть тождество справедливо при n = k, т.е.
cos ()cos (2) … cos(2k ) = sin(2k+1 )/2k+1sina
.Тогда оно справедливо и при n = k +1. Действительно,
cos()cos(2) … cos(2k)cos(2k+1) = sin(2k+1)cos(2k+1 )/2k+1sin = =sin(2k+2)/2k+2sin.
Очевидно, что применение метода математической индукции очень широко в разных разделах математики школьного курса. В частности, его применяют:
1) в задачах на суммирование и для доказательства тождеств;
2) к доказательству неравенств;
3) к задачам на делимость;
4) для изучения свойств числовых последовательностей;
5) в геометрии:
- для вычисления по индукции;
- для доказательства по индукции;
- для построения по индукции;
- для нахождения геометрических мест по индукции;
- для определения по индукции;
- для индукции по числу измерений.
Поэтому учителям, работающим в классах с углублённым изучением математики и изучением математики на профильном уровне, стоит обратить особое внимание на изучение этого метода на уроках, элективных курсах, факультативах. Надо постоянно и терпеливо приучать своих учащихся к самостоятельной деятельности по использованию этого метода, постепенно усложняя задачи. Начинать надо с самого простого, отработать алгоритм в несложных случаях, когда требуется доказать какое-либо утверждение (формулу), а затем переходить к решению таких заданий, прежде всего, надо построить гипотезу. Чтобы выдвинуть гипотезу надо придать n последовательно значения от самого маленького и до тех пор, пока у нас не накопится достаточно материала, чтобы на основе его построить более или менее надежную гипотезу. После этого останется только эту гипотезу проверить методом математической индукции.
Приведем пример использования индукции в школьном курсе информатике при решении задач обработки линейных таблиц. В учебнике "Основы информатики и вычислительной техники", А.Г. Кушниренко и др. приводится несколько примеров алгоритмов обработки табличных величин. При этом каждый алгоритм рассматривается как отдельная задача и не акцентируется внимание на том общем, что связывает эти задачи, кроме способа представления данных. Если же обратить внимание на функции, значения которых мы вычисляем, используя таблицы, то можно увидеть, что это - либо индуктивные функции, либо расширения индуктивных функций. А в таком случае можно провести параллели между методами вычисления индуктивных функций и алгоритмами обработки таблиц.
Излагая учебный материал с точки зрения индукции, в самом начале надо подвести учащихся к построению общей схемы алгоритма.
Еще один немаловажный момент, на который надо обратить внимание, - это эффективность программы. Здесь следует отметить, что использование индуктивных функций дает оптимальную программу.
При решении конкретных задач, связанных с последовательностями (таблицу можно рассматривать как последовательность элементов), возможны разные стратегии. Например, задачу “найти число максимальных элементов последовательности” можно решать так: сначала перебрать все элементы последовательности и найти максимум, потом перебрать элементы последовательности еще раз и подсчитать число элементов, равных найденному максимуму. Каждый перебор всех элементов последовательности принято называть проходом. Общие стратегии (алгоритмы) работы с последовательностями принято классифицировать по числу проходов и называть однопроходными, двухпроходными и т.д. Одну и ту же задачу можно решать за разное число проходов. Схема индуктивного вычисления функций на пространстве последовательностей всегда приводит к однопроходному алгоритму, т.е. алгоритму, который читает элементы последовательности от начала к концу по одному разу каждый. Обычно однопроходные алгоритмы выполняются быстрее, чем многопроходные. Таким образом, индуктивное вычисление является оптимальным по скорости.
Минимальность индуктивного расширения означает минимальность по памяти, т.е. по объему информации, которая хранится в процессе вычисления. Метод индуктивного вычисления значения функций применим и к функциям, заданным на других программных структурах. Правильно подобранный материал поддерживает устойчивый интерес всех учащихся, расширяет используемые учениками системные средства. Рассматривая задачи с реальным смыслом, можно попутно знакомить учащихся с разными видами профессиональной деятельности.
Изучая индукцию в школе не только при изучении математики и информатики, ученики могут широко использовать этот метод в ходе написания научно- исследовательских работ. Поэтому актуально изучить полную и неполную индукцию ученикам различных профилей на элективном курсе “Основы исследовательской деятельности”. Начинается индукция обычно с анализа и сравнения данных наблюдения или эксперимента. При этом, по мере расширения множества этих данных, может выявиться регулярная повторяемость какого-либо свойства или отношения. Наблюдаемая в опыте многократность повторения при отсутствии исключений внушает уверенность в её универсальности и естественно приводит к индуктивному обобщению - предположению, что именно так будет обстоять дело во всех сходных случаях. Если все эти случаи исчерпываются уже рассмотренными в опыте, то индуктивное обобщение полное. Если нет, то не стоит торопиться с выводами.
Также известно, что многие из индуктивных обобщений имеют основу не только в наблюдениях, но и в чисто умозрительных принципах, вроде принципа инерции или обобщённого принципа относительности, которые входят в формулировки теорий и принимаются как аксиомы нашей научной картины мира, и с помощью которых уже чисто логическим путём выводятся как индуктивные обобщения, так и утверждения об их следствиях - наблюдаемых явлениях.
Я абсолютно уверена, что применяется метод индукции и при изучении других предметов школьного курса (в частности гуманитарного цикла). Дополняя друг друга, изучение наших предметов поможет формировать у учащихся общенаучные понятия, принципы, методы и умения применять их в рамках различных предметов. Только активно взаимодействуя друг с другом, мы добьемся повышения творческих возможностей учащихся.