Решение квадратных уравнений. 8-й класс

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний

Цели урока:

обучающие:

• повторение и систематизация знаний школьников по теме «Решение квадратных уравнений по формуле»;
• закрепление у школьников навыков решения квадратных уравнений ;

развивающие:

• формирование у школьников таких приемов мышления и мыслительных операций как сравнение и аналогия, обобщение и конкретизация, умение делать логические выводы и заключения;
• развитие у школьников математической речи;
• расширение общего кругозора учащихся и их интереса к математике.

воспитательные:

• воспитание самостоятельности и ответственности, чувства коллективизма и умения работать самостоятельно..

Оборудование: компьютерный класс, мультимедийный проектор с экраном, доска, мел.

Вид используемых на уроке средств образовательных информационных технологий:

• Презентация с использованием программы Microsoft Office Power Point;
• Дидактические материалы, к уроку подготовленные в текстовом процессоре Microsoft Word (Приложение 1, Приложение 2).

План урока:

1. Организационный момент: настрой на рабочий лад; сообщение темы урока; сообщение плана урока.
2. Презентация по теме: “Решение квадратных уравнений”.
3. Отработка алгоритма решения квадратных уравнений в тетрадях.
4. Исторические факты. Решение нестандартной задачи.
5. Самостоятельная работа/самопроверка/.
6. Подведение итогов урока, домашнее задание.

Ход урока

I. Организационный момент:

Сегодняшний наш урок мне хотелось бы следующим высказыванием:

…Посредством уравнений, теорем, я уйму всяких разрешал проблем
И засуху предсказывал и ливни, поистине его познанья дивны…

Это слова английского поэта средних веков. Запишем тему сегодняшнего урока: «Решение квадратных уравнений по формуле».

II. Урок наш будет состоять из нескольких этапов:

• Повторим теоретический материал с использованием презентации по теме: “Квадратные уравнения ”
• Проведем работу по решению квадратных уравнений в тетрадях; рассмотрим некоторые исторические факты.
• Напишем самостоятельную работу обучающего характера в качестве самопроверки.

III. Прежде, чем мы приступим к работе, повторим, что вы знаете по этой теме?

/работа с презентацией/

• Какие уравнения называются квадратными?
• Является ли квадратным каждое из следующих уравнений?
• Какие виды квадратных уравнений вам известны?
• Заполните таблицу, распределив уравнения по видам.

• Может ли уравнение вида ах²+с=0 не иметь действительных корней.
• Решите уравнения: -2х²-18=0, 5х²+20=0, 5х²-80=0, -х²+9=0.
• Какое выражение называют дискриминантом?
• Как по дискриминанту определить, сколько корней имеет уравнение?
• Заполнить таблицу и сделать вывод о количестве корней квадратного уравнения.

IV. Исторические сведения

Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты.

Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения. Одним из тех, кто внес большой вклад в развитие математики, был французский математик Виет. С ним мы еще познакомимся позднее.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Одним из тех, кто внес большой вклад в развитие математики, был французский математик Виет. Имя этого математика нам скоро встретится.

Вот задача Бхаскары:

Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась.
А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая.
Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Решение задачи Бхаскары:

Пусть было x обезьянок, тогда на поляне забавлялось – .
Составим уравнение: + 12 = х

На данном этапе учащимся сообщается материал из истории возникновения квадратных уравнений, сведения об известном французском математике Франсуа Виете. (Сообщения готовили учащиеся)
Затем учащимся предлагается решить самостоятельно еще одну задачу Бхаскары.

Решение задачи Бхаскары:

Сколько обезьян в стае, если квадрат пятой части, уменьшенной тремя, спрятался в пещере, и только одна осталась на виду, взобравшись на дерево?

Решение: задача сводиться к решению квадратного уравнения

 и

В заключении Бхаскара делает такое замечание: «Так как  есть число отрицательное, то годится только первое решение».

Но комментатор Бхаскары Кришна Бхатта говорил, что если бы по условию вопроса было сказано: одна пятая часть стаи вычитается из трех, то второе решение, а не первое удовлетворяло бы условию.

V. Самостоятельная работа/самопроверка/.

Хорошо. Вместе мы поработали. Теперь посмотрим, как вы умеете работать самостоятельно. Вам предлагается трехуровневая работа. Если вы еще не уверены в своих силах и желаете закрепить решение уравнение, то выбираете уровень А (1 балл за задание). Если считаете, что материал усвоен хорошо – В (2 балла за задание). Ну, а если желаете испробовать свои силы на более сложных заданиях – уровень С (3 балла за задание) для вас. В процессе решения я проверяю ваши работы и проставляю заработанные баллы.

Вариант 1.

Уровень А

№1. Для каждого уравнения вида ax² + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.

а) 3х² + 6х – 6 = 0, б) х² - 4х + 4 = 0

№2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 по формуле D = b² - 4ac.

5х² - 7х + 2 = 0, D = b² - 4ac = (-7)² – 4· 5 · 2 = …;

№3. Закончите решение уравнения 3х² - 5х – 2 = 0.

D = b² - 4ac = (-5)²- 4· 3·(-2) = 49; х₁ = … х₂=…

Уровень В Решите уравнение: а) 6х² – 4х + 32 = 0; б) х² + 5х - 6 = 0.

Уровень С

Решите уравнение: а) -5х² – 4х + 28 = 0; б) 2х²–8х–2=0. x₁=2+, x₂=2–

Доп. задание. При каком значении а уравнение х² - 2ах + 3 = 0 имеет один корень?

Вариант 2.

Уровень А

№1. Для каждого уравнения вида ax² + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.

а) 4х² - 8х + 6 = 0, б) х² + 2х - 4 = 0

№2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 по формуле D = b² - 4ac.

5х² + 8х - 4 = 0, D = b² - 4ac = 82 – 4· 5 · (- 4) = …;

№3. Закончите решение уравнения х² - 6х + 5 = 0.

D = b² - 4ac = (-6 )² - 4· 1·5 = 16; х₁ = … х₂=…

Уровень В Решите уравнение: а) 3х² – 2х + 16 = 0; б) 3х² - 5х + 2 = 0.

Уровень С

Решите уравнение: а) 5х² + 4х - 28 = 0; б) х² – 6х + 7 = 0; x₁=3+, x₂=3–.

Доп. задание. При каком значении а уравнение х² - 2ах + 3 = 0 имеет один корень?

VI. Итоги урока.

Подводится итог игры. Победителем считается команда, у которой в таблице больше своих знаков. Учитель отмечает самых активных участников игры.

Домашнее задание.

В качестве домашнего задания предлагается дорешать оставшиеся задачи (если таковые остались). Можно предложить домашнюю контрольную работу с включением подобных заданий проблемного творческого характера.

Рефлексия.

В конце урока предлагаем учащимся обсудить урок: что понравилось, что хотелось бы изменить, оценить свое участие в уроке.