На сегодняшний день многие учителя сталкиваются с проблемой как подготовить всех учащихся класса к успешной сдаче ЕГЭ. Изучение курса геометрии должно базироваться на сочетании наглядности и логической строгости. Опора на наглядность – непременное условие успешного усвоения материала. Известно, что задача может служить не только целью, но и средством обучения. Учиться решать задачи с помощью ключевых (опорных) – идея древняя. Я постаралась подобрать задачи разного уровня сложности: категории “В” и “С”. Первые задачи довольно простые. Решение следующих требует проработки предыдущего материала и хорошо развитого пространственного представления.
Задачи части “В”
1. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Ответ: 340
2. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Ответ: 240
3. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?
Ответ: 4
4. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.
Ответ: 8
5. Найдите объем правильной треугольной
пирамиды, стороны основания которой равны 1, а
высота равна 
.
Ответ: 0,25
6. Найдите высоту правильной треугольной
пирамиды, стороны основания которой равны 2, а
объем равен .
Ответ: 3
7. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?
Ответ: 4
8. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
Ответ: 64
9. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.
Ответ: 48
10. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.
Ответ: 4,5
11. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.
Ответ: 3
12. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
Ответ: 3
13. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1: 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.
Ответ: 10
14. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?
Ответ: 4
15. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.
Ответ: 0,25
16. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4.
Ответ: 24
17. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды
Ответ: 13
18. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.
Ответ: 36
19. Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.
Ответ: 7
20. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45°. Найдите объем пирамиды.
Ответ: 144
Задачи части “C”
21. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 4 и наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите объём пирамиды.
Ответ: 
22. Найдите объём пирамиды, основанием которой прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6, если каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45°.
Ответ: 40
23. Полная поверхность правильной четырёхугольной пирамиды равна 144. Угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°. Найти объём пирамиды.
Ответ: 96
24. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде, стороны основания которой 6 и 4. Найти площадь боковой поверхности пирамиды, если её боковые грани наклонены к плоскости большего основания под углом 60°.
Ответ: 
25. В правильной шестиугольной пирамиде SA…F, боковые рёбра которой равны 2, а стороны основания 1, найдите косинус угла между прямой АС и плоскостью SAF.
Ответ: 
31. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все боковые рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой АВ и плоскостью SAD.
Ответ: 
26. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с
основанием АВС известны рёбра АВ=
и SC =17. Найдите угол
образованный плоскостью основания и прямой АМ,
где М – точка пересечения медиан грани SВС.
Ответ: 
27. Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды объёмом 36, если её высота вдвое больше радиуса окружности, описанной около основания.
Ответ: 6
28. Найдите двугранный угол при ребре основания правильной треугольной пирамиды, если угол между её боковыми рёбрами равен ?.
Ответ: 
29. На высоте правильной треугольной \пирамиды
взята точка, удалённая от бокового ребра
пирамиды на расстояние 
и делящая высоту в отношении 1: 2, считая
от вершины. Найдите объём пирамиды, если её
боковые грани наклонены к основанию под углом 
.
Ответ: 216
30. Найдите высоту пирамиды, основанием которой
служит треугольник со сторонами 7,8 и 9, если её
боковые рёбра наклонены к основанию под углом 
Ответ: 
31. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S боковое ребро равно a, а двугранный угол при этом ребре равен ?. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B,D и середину ребра SC.
Ответ: 
32. На каком расстоянии от ребра SA
правильной пирамиды SABCD с вершиной S, должна проходить плоскость, параллельная рёбрам BC=a и AS=b, чтобы площадь сечения пирамиды этой плоскостью была максимальной?
Ответ: 
33. Основанием пирамиды служит трапеция, в которой каждая из боковых сторон и меньшая из параллельных сторон равна a, а острые углы равны ?. Найдите объём пирамиды, если её боковые рёбра образуют с плоскостью основания угол ?.
Ответ: 
34. Найти объём правильной шестиугольной усечённой пирамиды, стороны основания которой a и b, (a > b), а боковые грани наклонены к плоскости большего основания под углом?
Ответ: 