Урок геометрии по теме "Многогранники". 10-й класс

Цель урока:

• ввести понятие многогранника, призмы и их элементов.
• повторить, углубить, обобщить приобретенные знания.
• развивать интерес к урокам геометрии.

Задачи урока:

• развитие у учащихся умения самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой;
• создание актива, способного оказать учителю математики помощь в организации урока.

Ход урока

1. Итоги контрольной работы

2. Актуализация опорных знаний

Фронтальный опрос.

1. Сумма углов треугольника.
2. Свойства углов при основании равнобедренного треугольника.
3. Чему раны острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника?
4. Свойства катета, лежащего против угла в 30^0.
5. Что называется углом между прямой и плоскостью?
6. Что называется линейным углом двугранного угла?
7. Найдите АС и ВС.

Решение (рис. 1). Приложение

Вопрос учащимся: а) Какой треугольник? б) Какую теорему можно применить? АС = ВС = х, 2х² = (72)², х² = 49, х = 7 => АС = 7 и ВС = 7.

Найдите AF, если ABCD – равнобедренная трапеция. ВС = 14 см, АD = 42 см (рис. 2).

Вопрос учащимся: а) Какое дополнительное построение нужно выполнить? (CKAD); б) Рассмотреть треугольники AFB и CKD (доказать равенство); в) На основании того, что AFB = CKD, сделать вывод равенства AF = KD; г) AF = (AD – BC):2 = (42 – 18):2 = 12 см.

3. Мотивация и сообщения темы урока.

Напомнить известные учащимся понятия тетраэдра и параллелепипеда. Заранее предложить двум учащимся выступить с небольшими сообщениями, на темы: “Параллелепипед и его основные элементы” и “Тетраэдр и его основные элементы”.

Слово учителя: Обратите внимание, что каждые из этих поверхностей ограничивает некоторое геометрическое тело, отделяет это тело от остальной части пространства. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.

Многие строения в окружающем нас мире, в частности, пирамида Хеопса, имеет форму многогранников. Поэтому для лучшей эксплуатации и моделирования зданий нужно изучить свойства многогранников.

Многие многогранники изобрел не человек, а создала природа в виде кристаллов, соли – куб, льда, хрусталя – “заточенная” с двух сторон призма.

(При объяснении и разговоре с учащимися использовать как можно больше разнообразных моделей, рисунков, чертежей).

Кристаллы граната, кварца, каменной соли.

4. Объяснение темы.

1) Вводятся элементы многогранников: ребра, грани, вершины, диагонали граней, диагонали многогранника (в соответствии с п.25).

Вопрос: из чего состоит поверхность многогранника? (Ответ: из многоугольников.)

Вывод: многоугольники – это грани.

Вопрос: что такое многоугольник? (Ответ: это плоская фигура, образованная замкнутым рядом прямоугольных отрезков.)

Вывод: прямолинейные отрезки – это ребра, а концы ребер – это вершины.

Отрезок, соединяющий две несоседние вершины одной грани, называется диагональю грани, а отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, – это диагональ многогранника.

2) В школе изучаются многогранники, Эйлерова характеристика которых равна 2, то есть В – Р + Г, где В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней.

Для закрепления понятий элементов многогранников следует с учащимися заполнить таблицу уже известных многогранников.

3) Вводится понятие призма, что это тоже многогранник, а также ее элементов: высота призмы, боковые грани, боковые ребра (в соответствие с п.27).

Раздать на парту модели пирамиды или призмы и дать возможность самостоятельно подсчитать Эйлерову характеристику.

Затем сделать вывод на основании вычислений, как подсчитать число вершин, ребер и граней для любой пирамиды и любой призмы и продолжить заполнение таблицы.

Равенство, которое выражает Эйлерову характеристику, было им доказано в 1752 году.

И оно верно для произвольного выпуклого многогранника. Наряду с ними существует невыпуклые многогранники.

Дается определение в соответствии с п.25 и рис. 67, 68, 69.

4) В любом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360⁰.

Доказать это можно с помощью разверток, например, тетраэдр. Очевидно, что

Параллелепипед (прямоугольный).

Вопрос: Сколько углов имеют общую вершину? (Ответ: три, причем все по 90⁰)

Вывод: 90⁰ + 90⁰ + 90⁰ = 270⁰ < 360⁰

5. Закрепление изученного материала

Контрольные вопросы.

1. Объясните, что такое: а) многогранник; б) поверхность многогранника.
2. – Какой многогранник называется выпуклым?
3. Дан куб – выпуклый многогранник (проверьте). Как, имея пилу, получить из деревянного куба модель невыпуклого многогранника?
4. Дан выпуклый многогранник. Что называют: а) его гранью; б) его ребром; в) его вершиной?
5. Назовите известные вам многогранники. а) Выпуклым или не выпуклым является каждый из них? б) Сколько граней, ребер и вершин у каждого?
6. Дан квадрат. На нем как на основании построены куб и пирамида. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым?
7. В = 9; Г = 9; Р = 16; 9 – 16 + 9 = 2. Да.
8. Два тетраэдра имеют общую грань и расположены по разные стороны от нее. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым? В = 5; Г = 6; Р = 9; 5 – 9 + 6 = 2. Да.
9. Сколько трехгранных, двугранных и плоских углов: а) у тетраэдра; б) у параллепипеда;

6. Решение задач (применение знаний в стандартной ситуации)

№ 219. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллепипед, АВ = 12 см, ВС = 5 см, угол между АС₁ и (АВС) 45⁰ (рис. 3).

Найти: ВВ₁

Решение: Проекций АС₁ на плоскость (АВС) является АС (СС₁ + (АВС), значит, АС СС₁). Значит, < CАС₁ = 45⁰. Имеем: АСС₁ прямоугольный и равнобедренный АС=СС₁=ВВ₁. Найдем АС:

АС = АВ² – ВС² = 144 + 25 = 13 см. Значит, СС₁ = ВВ₁ = 13 см. (Ответ: 13 см.)

№ 220. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед, АВ = ВС, АС = 24 см, BD = 10 см, АА₁ = 10 см (рис. 4).

Найти: большую диагональ.

Решение: Большая диагональ АС₁ (так как большая диагональ ромба АС является проекцией диагонали АС₁, чем больше ее проекция, тем больше ее наклонная).

АСС₁ – прямоугольный треугольник. (Почему?)

АС₁ = АС² + СС₁² = 24² + 10² = 676 = 26 см. (Ответ: 6 см.)

№ 223. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб, ABC₁D₁ – сечение. S_ABC1D1 = 64√2 см² (рис.5).

Найти: АВ; АС₁.

Решение: ВС₁ = х2 см. S_BC1D1 = АВ * ВС₁ = х*х*2, х²v2 = 642, х = 8, АВ = 8см.

АС₁ = АВ² + ВС₁² 8² +(8 2)² = 64 * 3 = 83 см. (Ответ: АВ = 8 см, АС₁ = 83 см.)

Домашнее задание. П. 25, 26, 27.

Вопросы: 1, 2, к гл. III. № 220 (решение на стр. 6); № 295 (а, б); № 295 (в, г) – по желанию, для более подготовленных учеников.