Полученные методические рекомендации полученные в результате нашего исследования могут быть полезны учителям математики, особенно начинающим свою педагогическую карьеру.
Учителя математики должны вести систематическую работу по формированию математических способностей у всех школьников, по воспитанию у них интересов и склонностей к математике и наряду с этим должны уделять особое внимание школьникам, проявляющим повышенные способности к математике. 1) умения проводить содержательный анализ, 2) умения выполнять содержательное планирование, 3) умения выбирать оптимальный путь решения, 4) умения выполнять проверку правильности решения задачи. Одним из основных средств формирования математических способностей и основным критерием их сформированности является умение решать математические задачи. При этом формированию способностей в большей мере служит отбор посильных, но достаточно трудных задач
Методические рекомендации учителю для успешного формирования умения проводить содержательный анализ
Начинайте изучение условия задачи с тщательно выполненных наглядных рисунков, чертежей, таблиц или иллюстрированных схем, помогающих осмыслить задачу. Помните, что правильное графическое представление условия задачи означает четкое, ясное и конкретное представление о задачной ситуации в целом.
- Ясно представьте себе элементы задачной ситуации; обстоятельно выясните, какие из них заданы, известны, а какие искомые, неизвестные.
- Вдумайтесь в смысл каждого слова в тексте задачи (каждого символа, термина); постарайтесь выявить существенные элементы задачи, выделить на рисунке данные и искомые наглядными условными обозначениями. Попытайтесь видоизменить расположение элементов задачи на рисунке или схеме (возможно, это поможет выявить существенное в задаче).
- Попытайтесь охватить условие задачи в целом, отметить ее особенности. Вспомните, не встречались ли вы раньше с задачей, в чем-либо аналогичной данной.
- Продумайте, однозначно ли сформулирована задача, не содержит ли условие задачи избыточных, недостающих, противоречащих друг другу данных.
- Внимательно изучите цель, поставленную задачей. Ориентируясь на поставленную задачей цель, выявите, какие теоретические положения связаны с данной задачей в целом или с некоторыми ее элементами .
- Предполагая возможность использовать при решении задачи какой-либо из известных вам общих математических методов (метод уравнений, геометрических преобразований, координатный или векторный метод и т. д.), постарайтесь выразить элементы задачи на языке соответствующего метода (составить уравнение, выразить данные и искомые соотношения в координатной или векторной форме и т. д.).
Формирования у учащихся умения планировать деятельность по решению задачи
На втором этапе решения задачи, а именно поиск пути решения и составление плана ее решения, учитель организует деятельность учащихся разными приемами в зависимости от целей, которые он ставит при работе над задачей. Назначение этапа завершить установление связей между данными и искомыми величинами и указать последовательность использования этих связей. Проведя анализ задачи, не всегда просто найти путь ее решения. Поиск пути решения задачи является довольно трудным процессом, для которого нет точного предписания. Укажем некоторые приемы, помогающие осуществлять этот этап.
Одним из приемов поиска пути решения задачи является анализ задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Поиск пути решения задачи можно осуществлять от вопроса задачи к данным (аналитический путь) или от данных к вопросу (синтетический путь). В первом случае (аналитический путь) на основе анализа задачи необходимо уточнить, что требуется найти в задаче и определить, что достаточно знать для ответа на этот вопрос. Для этого следует выяснить, какие из нужных данных есть в условии задачи. Если они (или одно из них) отсутствуют, надо определить, что нужно знать, чтобы найти недостающие данные (или одно недостающее данное), и т.д., пока для определения очередного неизвестного оба данных будут известны.
Поиск пути решения заканчивается составлением плана решения задачи. Под планом решения будем понимать объяснение того, что узнаем, выполнив то или иное действие, и указание по порядку выполнения арифметических действий. Именно умение планировать и реализация, полученного плана является проявлением математических способностей. Поэтому мы должны научить учащихся составлению и реализации соответствующих планов по решению задачи.
Вообще план решения задачи получают из анализа. Запись решения зависит от того, какой способ решения указан. Если арифметический, то формы записи могут быть:
- вопрос с последующим действием;
- действие с последующим объяснением;
- запись решения с предшествующим пояснением;
- числовое решение без всякого текста.
При решении задачи алгебраическим способом существенное значение имеет выбор величины за неизвестное, с помощью которого можно выразить остальные (или часть остальных) величины, входящие в задачу, и установить зависимость между данными задачи, которая даст возможность составить уравнение. Для многих задач за неизвестное можно принимать величину, которую требуется найти; тогда ответ на вопрос задачи получается без дополнительных вычислений. При решении сюжетной задачи часто используют сочетание арифметического и алгебраического способов решения. В силу этого форма записи решения каждой части будет разной.
Методические рекомендации для успешного формирования и развития у учащихся умения планировать свою деятельность по решению задач
- Попытайтесь соотнести данную задачу к какому-либо типу (виду) задач, способ решения которых вам известен. Если это не удается, постарайтесь выбрать один из известных вам методов решения, наиболее приемлемый в данных условиях.
- Помните, что цель задачи является главным ориентиром направления поиска решения. Проанализируйте цель задачи и попытайтесь применить для решения задачи тот или иной знакомый вам прием или метод.
- Постоянно контролируйте разумность ваших попыток решить задачу, соотнося получаемые частные результаты с условием и целью задачи. Старайтесь ограничивать число пробных действий (мысленных или практических).
- Попытайтесь видоизменить задачу, переформулировать ее условие, намеренно упростить условие (т. е. составить и попытаться решить задачу, аналогичную данной, но более простую), попробуйте обобщить условие задачи (составьте задачу более общую, чем данная) и заменить понятия, связанные с задачей, их определениями.
- Расчлените условие задачи на отдельные элементы; постарайтесь составить новую комбинацию этих элементов (быть может, в каком-либо сочетании с другими, не рассматриваемыми в задаче элементами).
- Попробуйте расчленить данную задачу на серию вспомогательных задач, последовательное решение которых может составить решение данной задачи; составьте частные задачи к отдельным элементам данной задачной ситуации, руководствуясь при этом целью основной задачи.
- Рассмотрите предельные случаи отдельных элементов задачи, просмотрите, как это отражается на основной цели задачи.
- Измените какой-нибудь из элементов задачи, просмотрите, как отражается это изменение на остальных элементах задачи; попытайтесь высказать гипотезу, относящуюся к цели задачи на основе наблюдаемых результатов изменения ее элементов.
Формирование у учащихся умения определять оптимальный путь решения
Умение увидеть и применить рациональное решение есть не что иное, как проявление математических способностей. Поэтому очень важно формирование и развитие у учащихся умения определять оптимальный путь решения текстовых задач. На этапе практической реализации плана решения задачи во всех его деталях важно обратить внимание учащихся на необходимость выбрать такой способ решения, чтобы решение было записано в краткой и ясной форме. Для начала опишем основные методы решения текстовых задач, которые используются в основной школе.
Арифметический метод способствует развитию логического мышления, его гибкости и оригинальности, формированию таких умственных действий, как анализ и синтез. Начиная с 5-го, а по большинству учебных пособий только с 6-го класса учащихся учат решать текстовые задачи алгебраическим методом. Решить задачу алгебраическим методом это, значит, найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств).
Алгебраический метод самый сильный. Но не всегда решение текстовой задачи алгебраическим методом рационально и красиво, когда решение этой, же задачи арифметическим методом может быть и короче, и красивее.
Геометрический метод (изучается с седьмого класса) решения задач базируется на основных понятиях планиметрии (точка, отрезок, длина, площадь, треугольник, прямоугольник и др.) [3], а также свойствах плоских фигур и графиков элементарных функций. Математическая модель в этом случае представляет собой либо диаграмму, либо график. Одним из достоинств геометрического решения задачи является его наглядность. Как самостоятельный для решения текстовых задач геометрический метод используется довольно редко, хотя некоторые задачи значительно проще решаются именно им.
Решения текстовых задач логическим методом обычно не содержат вычислений, а основываются на строгих математических рассуждениях.
Методические рекомендации для успешного формирования у учащихся умения определять оптимальный путь решения задач:
- для начала внимательно ознакомьтесь с условием задачи, проведите тщательный анализ условия;
- запишите краткую запись задачи, составьте, если возможно чертеж к ней, таблицу или иллюстрированную схему;
- если из чертежа сразу видно графическое решение, то задачу проще решить графическим методом;
- если из рисунка решение сразу не видно, то составьте математическую модель задачи;
- если в результате анализа математическая модель сводится к линейной зависимости, то задачу можно решить арифметическим или алгебраическим методом;
- если в результате анализа математическая модель сводится к квадратному или степенному уравнению более высоких порядков, то такую задачу решить арифметическим методом нельзя. В этом случае применяется алгебраический метод.
Задачи, которые не получается решить с помощью чертежа (графика) или уравнения попробуйте решить логическим методом.
Формирование у учащихся умения проверять правильность решения задачи
Назначение умения проверять правильность решения задачи установить, правильно ли понята задача, и выяснить, не противоречит ли полученный ответ условиям задачи..
I. Установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи и данными в условии задачи.
II. Составление и решение задачи, обратной данной.
II. Решение задачи различными способами.
ІV. Решение задачи различными методами.
V. Прикидка (грубая проверка).
Остановимся на каждом из них подробнее, а методику работу с каждым из них рассмотрим на конкретных примерах.
I. Проверка решения задачи способом установления соответствия между числами, полученными в результате решения задачи данными в условии задачи заключается в следующем: числовые значения искомой величины, полученные в ответе на вопросы задачи, вводятся в текст задачи и устанавливается, не возникают ли при этом противоречия, а затем выполняются арифметические действия с числовыми значениями величин согласно их связям между собой, которые заданы в условии задачи.
II. Проверка решения задачи способом составления и решения задачи, обратной данной, заключается в том, что после решения задачи составляется обратная по отношению к данной задача. Если при ее решении в ответе получится значение величины, которое было задано в условии данной задачи, то можно считать, что она решена правильно. Если бы в результате решения предыдущей задачи была бы допущена вычислительная ошибка, то она была бы обнаружена в ходе решения обратной задачи.
III. Проверить решение задачи можно, решив ее различными способами. Напомним, что задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей. Получив при решении задачи различными способами один и тот же результат, делают вывод о том, что задача решена верно.
IV. Проверку решения задачи можно выполнить, решив задачу различными методами (арифметическим, алгебраическим, геометрическим и др.). В этом случае, получив один и тот же результат, сделают вывод о том, что задача была решена верно.
V. Проверка решения задачи прикидкой правильного ответа. Суть этого способа состоит в установлении границ для искомого числа. Он позволяет грубо оценить правильность решения задачи, и если в результате прикидки мы не выясним, что некоторые значения искомых не удовлетворяют условию задачи, то необходимо провести проверку каким-либо другим способом.
Методические рекомендации для успешного формирования у учащихся умения проверять правильность решения задач:
- в процессе решения задач необходимо проверять полученный ответ на требование задачи, выбрав наиболее рациональный способ, учитывающий специфику задачи;
- а) задачу на встречное движение удобно проверять, решив ее различными способами;
- б) задачу на нахождение неизвестных по двум разностям способом установления соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и числами, данными в условии задачи.
После того как задача решена и проведена проверка, записывайте ответ.
Список используемой литературы
- Борискова О.М.