Нахождение расстояния от точки до плоскости. 11-й класс

Цели:

• обобщение и систематизация знаний и умений учащихся;
• развитие умений анализировать, сравнивать, делать выводы.

Оборудование:

• мультимедийный проектор;
• компьютер;
• листы с текстами задач

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Организационный момент

II. Этап актуализации знаний (слайд 2)

Повторяем как определяется расстояние от точки до плоскости

III. Лекция (cлайды 3-15)

На занятии мы рассмотрим различные способы нахождения расстояния от точки до плоскости.

Первый метод: поэтапно-вычислительный

Расстояние от точки М до плоскости α:
– равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на прямой a, которая проходит через точку М и параллельна плоскости α;
– равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на плоскости β, которая проходит через точку М и параллельна плоскости α.

Решим следующие задачи:

№1. В кубе  А…D₁  найти расстояние от точки С₁ до плоскости АВ₁С.

Решение.

Осталось вычислить значение длины отрезка О₁Н.

№2. В правильной шестиугольной призме А…F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости DEA₁.

Решение:

Следующий метод: метод объемов.

Если объем пирамиды АВСМ  равен V, то расстояние от точки М до плоскости α, содержащей ∆АВС вычисляется по формуле ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При решении задач мы используем равенство объемов одной фигуры, выраженные двумя различными способами.

Решим следующую задачу:

№3. Ребро AD пирамиды DABC  перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если .

Ответ: 2

При решении задач координатным методом расстояние от точки М до плоскости α  можно вычислить по формуле  ρ(М; α) = , где М(х₀; у₀; z₀), а плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0

Решим следующую задачу:

№4. В единичном кубе A…D₁ найдите расстояние от точки А₁ до плоскости ВDC₁.

Решение.

Введем систему координат с началом в точке А , ось у пройдет по ребру АВ, ось х – по ребру АD, ось z – по ребру АА₁. Тогда координаты  точек В (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C₁(1; 1; 1)
Составим уравнение плоскости, проходящей через точки  В, D, C₁. 

Тогда – dx – dy + dz + d = 0     x + y – z – 1= 0.  Следовательно, ρ =

Ответ:

Следующий метод, который можно использовать при решении задач данного типа – метод опорных задач.

Применение данного метода состоит в применении известных опорных задач, которые формулируются как теоремы.

Решим следующую задачу:

№5. В единичном кубе   А…D₁  найдите расстояние от точки D₁ до плоскости АВ₁С.

Рассмотрим применение векторного метода.

№6.  В единичном кубе   А…D₁  найдите расстояние от точки А₁ до плоскости ВDС₁.

Итак, мы рассмотрели различные способы, которые можно использовать при решении данного типа задач. Выбор того или иного метода зависит от конкретной задачи и ваших предпочтений.

IV. Работа в группах

Попробуйте решить задачу разными способами.

№1. Ребро куба  А…D₁ равно . Найдите расстояние от вершины С до плоскости BDC₁.

№2. В правильном тетраэдре  АВСD с ребром  найдите расстояние от точки А до плоскости BDC

№3. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁  все ребра которой равны 1, найдите расстояние от  А до плоскости ВСА₁.

№4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от  А  до плоскости SCD.

V. Итог урока, домашнее задание, рефлексия