Последовательности. Геометрическая прогрессия

Цель урока: совершенствовать умения и навыки учащихся, необходимые при исследовании последовательностей на характер монотонности и ограниченности; познакомить учащихся с понятием геометрическая прогрессия, и формулой n-го члена геометрической прогрессии. Урок включает несколько этапов.

Этап I. Устная работа.

Ученикам предлагаются некоторые вопросы и задания, связанные с понятием последовательность.

1. Какие способы задания последовательностей вы знаете? Приведите примеры.
2. Дайте определение возрастающей последовательности; убывающей последовательности. Приведите примеры.
3. Какая последовательность называется ограниченной сверху, ограниченной снизу, ограниченной? Приведите пример ограниченной последовательности, пример последовательности, не ограниченной ни сверху, ни снизу.
4. Как выяснить монотонна ли последовательность?

Этап II. Проверка домашнего задания.

(Индивидуальный проект)

Учащимся нужно было исследовать последовательность на характер монотонности и ограниченности. (Одни ученик защищает свой проект, спроецировав исследование на экране).

Задание

(С_п) — последовательность

Исследовать на монотонность и ограниченность последовательность.

Решение.

1) Оценим разность C_n+i+C_n

Так как (n + 9) • (n + 8) > 0, 

последовательность возрастающая.

2) Найдем наименьший и наибольший члены последовательности, если это возможно.

Докажем это. Выделим из С_n= целую часть.

Значит при n

Т.е.

Последовательность С_п = ограничена.

На координатной прямой члены последовательности изображаются точками на отрезке

На координатной плоскости же точками, расположенными в полосе: у = – и у=1.

Этап III. Демонстрируется фрагмент.

Присутствующих знакомят с исследовательской работой “Экономическая модель кредитной системы банков”. Ученица, работающая над вышеуказанной экономической задачей, демонстрирует полученные результаты через таблицу данных. Выводы наталкивают ее на мысль, что последовательность чисел в таблице обладает какими-то особыми свойствами.

Этап IV. Объяснение нового материала.

Внимание учащихся обращается на последовательность чисел в таблице. Вводится определение геометрической прогрессии. Класс записывает в тетрадях тему урока. Работа в тетрадях начинается с записи математической модели определения геометрической прогрессии.

b_n = 0; b_n = b_п-1 · q, при п 2

С помощью диалога учитель — ученик, рассматриваются особенности характера монотонности геометрической прогрессии, знаки членов геометрической прогрессии.

Пользуясь определением геометрической прогрессии, учащиеся выводят формулу n-го члена геометрической прогрессии, знакомятся с характеристическим свойством.

Этап V. Закрепление.

Работа по учебнику учащимся предлагаются номера заданий, направленных на отработку формулы n-го члена геометрической прогрессии, характеристического свойства геометрической прогрессии.

Этап VI. Самостоятельная работа.

В конце урока учащиеся получают листочки с заданием. В трех вариантах.

1 вариант: в геометрической прогрессии Ь_п = 2 • 5ⁿ. Найдите b_1; b₂, q.

З вариант: является ли геометрической прогрессией последовательность (с_n), заданная формулой с_n = 3ⁿ.

Проверка выполнения заданий осуществляется проектированием их решений на экране.

Итог урока: Учащиеся получают домашнее задание. Учитель отмечает наиболее активных учащихся, выставляет оценки за урок с учетом результатов самостоятельной работы.