Занятие "Решение уравнений и неравенств с модулем" к факультативному курсу "Уравнения и неравенства с модулем"

Буровникова Виктория Юрьевна, учитель математики, социальный педагог

Пояснительная записка

Курс направлен на углубление программного материала, расширение знаний учащихся, повышения уровня их математической культуры.

Программа предусматривает подготовку к углубленному изучению математики в старших классах и продолжению образования в Вузе.

Материал курса выходит за рамки базового уровня обучения, но задачи с модулем включены в задания ЕГЭ и вступительные экзамены, поэтому учащиеся должны быть знакомы с методами решения уравнений и неравенств данного типа.

Значимость заданий данного типа не ограничивается лишь их диагностической ценностью, но деятельность школьников по их решению способствует повышению качества знаний и умений учащихся, их интеллектуальному развитию, позволяет формировать у них представления об особенностях реальной исследовательской деятельности математиков.

Данный курс выполняет развивающую функцию, так как имеет огромный потенциал для развития логического мышления учащихся, формирования исследовательских умений.

Цель: овладеть методами решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, а именно линейных, квадратных, дробных рациональных уравнений и линейных неравенств.

Задачи:

овладение знаниями, умениями и навыками решения квадратных уравнений, содержащих модуль;
овладение навыками решения линейных неравенств, содержащих модуль;
формирование познавательных, коммуникативных, информационных компетенций;
развитие мотивации к собственной учебной деятельности;
развитие способностей к самопроверке.

Основные требования к уровню подготовки учащихся.

В результате изучения курса учащиеся должны:

1. Усвоить свойства модуля.
2. Усвоить решение уравнений, содержащих модуль с использованием следующих методов:

а) последовательного раскрытия модуля;
б) перебора;
в) метода интервалов;
г) метода схем равносильности;
д) возведения в квадрат.

3. Усвоить решение линейных уравнений, содержащих модуль.
4. Усвоить построение графиков линейных функций, содержащих модуль.

Решение уравнений с модулями с одним неизвестным
(1-й урок по теме)

Цели:

познакомить учащихся с решением уравнений с модулями как аналитическим способом, основанном на определении модуля, так и геометрическим методом решения;
развивать самостоятельность, используя для этого проблемные ситуации;
воспитывать организованность.

План урока:

Организационный момент;
Устные упражнения;
Теоретическая часть урока;
Практическая часть урока;
Домашнее задание.

I. Организационный момент

II. Устные упражнения

По ходу выполнения устных упражнений необходимо вспомнить:

определение модуля, изученного в 6 классе;
обозначение модуля;
геометрический смысл абсолютной величины действительного числа;
расстояние между двумя точками.

Запишем основные понятия, определения и свойства модуля.

1. Определение

Модулем действительного числа называется само это число, если оно не отрицательное, и противоположное ему число, если данное число отрицательное.

Обозначение модуля: (прямые скобки).

Из определения модуля следует:

1.1.

1.2. Модуль есть число неотрицательное ( ).

1.3.

1.4. Модули противоположных чисел равны ( ), действительно:

откуда

2. Геометрический смысл модуля

2.1. Известно, что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой существует взаимооднозначное соответствие. Это дает возможность рассматривать точки числовой прямой как модели действительных чисел, иными словами, отождествлять точки числовой прямой с действительными числами, которые будем называть в дальнейшем просто “точками”.

Учитывая, что положение точки на числовой прямой определяется расстоянием ее от начала отсчета и направлением, и учитывая 1.4, естественно отождествлять понятие “модуля” с расстоянием точки до начала отсчета.

– расстояние точки –а до начала отсчета 0,

– расстояние точки а до начала отсчета 0.

2.2. Расстояние между двумя точками. Здесь возможны три случая:

Обозначим r(а; b) – расстояние между точками а и b.

а)

б)

в)

Таким образом расстояние между двумя точками числовой прямой

то есть длина любого отрезка числовой прямой равна модулю разности его концов.

Примеры:

1) можно рассматривать как r(1;2)

2) можно рассматривать как r(3;-2)

3) = r(х;-5)

Устные упражнения:

Найдите модуль каждого из чисел: 81; 1,2; -3,6; -74; 0.

Найдите расстояние (в единичных отрезках) от начала отсчета до каждой из точек:

А(2,3); В(-4,2); С(312,7); Д(-);Е(0).

Найдите значение выражения:

а)

б)

в)

г)

д) .

4. Точка А лежит от начала отсчета влево на 5,8 единицы, а точка В – вправо на 9,8 единицы. Чему равна координата каждой точки? Чему равен модуль каждой координаты?

Известно, что =7. Чему равен ?

Из двух чисел выберите то, у которого модуль больше?

а) -700,1 и 0,24

б) - и 3

в) - и -

7. Найти расстояние между двумя точками:

а) -5,2 и 3,1

б) 8 и -2,6.

8. Решить уравнение:

а) =5

б) =0

в) =-2

По ходу выполнения устных упражнений по учебному пособию Е.В. Смыкаловой учащиеся, с помощью учителя, изучают основные свойства модуля.

III. Теоретическая часть урока

Рассмотрим решение уравнений, содержащих знак модуля аналитическим и геометрическим способами.

1) Решить уравнение: = 4

Решение:

I cпособ (аналитический).

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ: 5; -3.

II cпособ (геометрический): существуют две точки х, удаленные от точки 1 на расстояние, равное 4.

следовательно,

х₁=1+4=5
х₂ =1-4=-3

Ответ: 5; -3.

IV. Практическая часть урока

Решить уравнение: =9

Решение:

I cпособ (аналитический).

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ: 5; -1.

II cпособ (геометрический):

а) обозначим 3х=у, тогда

, откуда

б) = 9

Ответ: 5; -1.

Решить уравнение:

Решение:

I cпособ (аналитический).

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ: -3; -1; 1; 3.

II cпособ (геометрический):

Как и в задаче №2 можно решить способом подстановки (х²=у), но можно решить данное уравнение как линейное, относительно х².

Ответ: -3; -1; 1; 3.

Решить уравнение: ОДЗ: х

Решение:

I cпособ (аналитический).

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Решим 1 уравнение: Решим 2 уравнение:

()²=5² ()²=1

х-1=25 х-1=1

х=26 х=2

Проверка:

если х=26, то если х=2, то

2=2 верно

2=2 верно

Ответ: 2; 26.

II cпособ (геометрический):

ОДЗ: х

Решим относительно

Ответ: 2; 26.

Решить уравнение:

Решение:

I cпособ (аналитический).

Найдем точки перемены знака.

х-1=0 х+2=0

х=1 х= -2

II решений нет

III

Ответ: -3,5; 2,5.

II cпособ (геометрический):

Обозначим: (ЛЧ) – левая часть;

(ПЧ) – правая часть;

r(-2;1) – расстояние или длина отрезка между точками -2 и 1.

(ЛЧ) представляет собой сумму расстояний точки х до данных точек -2 и 1, расстояние между которыми равно 3, а (ПЧ) – значение этой суммы, равное 6, что больше длины отрезка между данными точками (r(-2;1)=3<6). Поэтому точки х не могут находиться на отрезке , ибо для любой точки отрезка сумма расстояний ее до концов отрезка будет равна его длине, то есть 3.

Из сказанного вытекает, что точки х находятся вне отрезка . Причем расстояние до одного из концов больше расстояния до другого на величину отрезка (3). Поэтому расстояния точки х до ближайшего конца r==1,5. Следовательно, Х₁=1+1,5=2,5, а

Х₂= -2-1,5 = -3,5.

Ответ: -3,5; 2,5.

Решить уравнение:

Решение:

Расстояние между точками -1 и 2: r(-1;2)=3 – длина отрезка равна сумме расстояний точек х до данных концов отрезка (ПЧ=3). Следовательно, на основании вышесказанного, при решении уравнения 5): х

Ответ:

Решить уравнение:

Решение:

r(-5;4)=9

Так как сумма расстояний точек х, расположенных на отрезке до его концов равна длине отрезка , а за его пределами – больше его длины, то принимать меньшее значение (8<9) не может ни при каких х.

Ответ: решений нет.

Из уравнений 5, 6, 7 следует вывод:

если сумма расстояний искомых точек до двух данных точек (ПЧ) больше расстояния между данными точками (длины отрезка), то искомые точки находятся вне данного отрезка на расстоянии до ближайших точек, равном полуразности между суммой расстояний (ПЧ) и длиной отрезка; их две;
если (ПЧ) равна длине отрезка, то решениями уравнения будут все точки отрезка;
если (ПЧ) меньше длины отрезка, то уравнение решений не имеет.
Для иллюстрации приведенного выше вывода решим следующее уравнение с параметром:

Решить уравнение: