Подготовка к ГИА: задачи на "концентрацию" веществ

1. Все рассматриваемые смеси (сплавы, растворы) однородны.

2. Не делается  различия  между литром как единицей емкости и литром как единицей массы.

Если смесь (сплав, раствор) массы m состоит из веществ А, В, С  (которые имеют массы соответственно а, в, с) то величина  (соответственно , ) называется концентрацией  вещества  А (соответственно В, С ).
Величина  * 100% (соответственно  * 100%, * 100%) называется процентным содержанием вещества А (соответственно В, С).           +  +  = 1.

При составлении уравнения обычно прослеживают содержание какого-нибудь одного вещества из тех, которые смешиваются ( сплавляются и т. п. ).
В задачах на составление уравнений  и неравенств полезным оказываются всевозможные таблицы, диаграммы и схемы. Это необходимо, как чертеж при решении геометрической задачи. Оформление первого этапа математического моделирования задач на «смеси и сплавы» в виде таблиц способствует  более глубокому пониманию процесса решения такого типа задач. Практически для всех  рассмотренных задач удалось составить таблицу.  Рассмотрим примеры типовых задач ГИА.

Имеется 200г 30%-го раствора  уксусной кислоты. Сколько г воды нужно добавить к этому раствору,  чтобы получить 6%-ный раствор уксусной кислоты?

Решение.

х г воды надо добавить к раствору.

0,06(200 + х) = 60,
200 + х = 1000,
х = 800.  800г воды надо добавить.

Ответ: 800г.

Сколько г сахарного сиропа, концентрация которого 25%, надо добавить к 200 г воды, чтобы в полученном растворе содержание сахара составляло 5%.

Решение.

0,25х = 0,05(200 + х),
5х = 200  х,
4х = 200,
х = 50.  50г сиропа надо добавить.

Ответ: 50г.

Сколько  г  15%-ного раствора соли надо добавить к 50 г 60%-ного раствора соли, чтобы получить 40%-ный раствор соли.

Решение.

0,4(х + 50) = 0,15х + 30,
0,4х + 20 = 0,15х + 30,
0,25х = 10,
х = 40.                     40 г 15%-ного раствора соли надо добавить.

Ответ: 40г.

Имеются два сосуда, содержащих 4 кг и 6 кг раствора кислоты разных концентраций. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 35% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько кг кислоты содержится в каждом сосуде?

Решение.

Первая ситуация.

0,04х + 0,06у = 3,5.

Вторая ситуация.

0,01хm + 0,01уm = 0,72m,
0,01х + 0,01у = 0,72.
Решая систему из составленных уравнений, получаем
х = 41       и      у = 31.                     0,41 * 4 = 1,64(кг) в первом сосуде.
0,31 * 6 = 1,86(кг) во втором сосуде.

Ответ: 1,64 кг.   1,86 кг.

В первом сплаве содержится 25% меди, а во втором –  45%. В  каком  отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 30% меди?

Решение.

0,25х + 0,45у = 0,3(х + у),
– 0,05х = – 0,15у,
х = 3у.          х : у = 3 : 1.

Ответ:  3 : 1.

В куске сплава меди и цинка количество меди увеличили на 40%, а количество цинка уменьшили на 40%. В результате общая масса куска сплава увеличилась на 20%. Определите  процентное содержание меди и цинка в первоначальном куске сплава.

Решение.

1,4х + 0,6у = 1,2(х + у),
0,2х = 0,6у,
х = 3у,
х : у = 3 : 1.               
100 : 4 * 3 = 75(%),
100 – 75 = 25(%).

Ответ: 25%, 75%.

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавлен со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько серебра в сплаве?

Решение.

 –  = 20,
х = 120.

120 кг серебра в сплаве. 

Ответ: 120 кг.

Литература.

1. М.Н. Кочагина ,  В.В.Кочагин.   Математика: 9 класс: Подготовка к « малому ЕГЭ», Москва. Эксмо, 2008.
2. Л.В.Кузнецова и др.  Алгебра: сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации. Москва. «Просвещение». 2011.
3. Учебно-методическое  пособие под редакцией  Ф.Ф. Лысенко.  Алгебра 9 класс. Подготовка к итоговой аттестации.  Ростов-на-Дону, 2010.
4. В.Н.Литвиненко,  А.Г. Мордкович.  Практикум по элементарной математике. Москва. «Просвещение». 1991.

Приложение 1