Решение рациональных уравнений

Цели:

• Обобщить, углубить знания обучающихся по решению рациональных уравнений. Акцентирование внимания обучающихся на возможных ошибках при решении уравнений данного типа.
• Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы.
• Побуждать обучающихся к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.

Оборудование: магнитная доска, компьютер, экран.
Методический комментарий. Это завершающий урок в цепочке уроков, посвященных решению рациональных уравнений.

I. Вводная беседа учителя (1 мин)

Уравнение – это два выражения, соединенные между собой знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными. Решить уравнений – значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное равенство, или установить, что таких значений нет. Уравнение – одно из важнейших– понятий математики. Обычный путь решения уравнения состоит в том, что с помощью преобразований его сводят к более простым уравнениям, которые называются равносильными. Но при этом нужно быть очень осторожным, потому что при “избавлении от лишнего” можно допустить ошибки. Поэтому, чтобы не допустить подобных ошибок, сегодня на уроке будем повторять, обобщать, приводить в систему изученные ранее виды, методы и приемы решения рациональных уравнений.

II. Проверка домашнего задания (5–7 мин)

Домашнее задание состояло из 10 уравнений. Каждый ученик должен был решить столько уравнений, сколько сможет. Предусматривалась помощь консультантов.

Проверка решения данных уравнений проводится в форме самопроверки. Решение проецировано на экран. Предлагается выделить основные ошибки.

1) 7х⁵ + 3х⁴ = 0;
2) х⁴ + 3х² – 4 = 0;
3) х³ + х² + х + 1 = 0;
4) 16х³ – 32х² – х + 2 = 0;
5) х⁴ + 6х² – 27 = 0;

6) ;

7) (х² – 5)² + 2(х² – 5)² + 1 = 0;
8) (х² – 2х) (х² + 4 – 2х) = 3.
9) (х² + х + 6) (х² + х – 4) = 144.

10) = 3.

В ходе проверки домашнего задания выделилась основная ошибка: использование неравносильных преобразований, в результате чего появляются лишние корни или происходит потеря корня.

Оценивание домашней работы проводится в форме самооценки. В тетради выставляется:

• оценка “5” – решено 8 и более уравнений;
• оценка “4”-решено 6-7 уравнений;
• оценка “3”– решено 3-5 уравнений.

Тест (В течение 8 минут осуществляется проверка навыков решения простейших уравнений)

По истечении 8 минут, отведенного на выполнение теста, на экране появляется данная таблица с ответами. Оценивание осуществляется при помощи взаимопроверки.

• оценка “5” – решено 10 уравнений;
• оценка “4” – решено 8–9 уравнений;
• оценка “3”– решено 5–7 уравнений;
• оценка “2”– решено менее 4 уравнений.

IV. Обобщение случаев решения рациональных уравнений

Целым рациональным уравнением степени n стандартного вида называется уравнение вида:

Любое целое уравнение с помощью формул можно привести к стандартному виду. Всякое целое уравнение степени n имеет не более n корней.

Частные случаи рационального уравнения.

1. Если n=1, то уравнения вида ах+в=0 являются линейными:

2.если n=2, то получаем квадратное уравнение ах²+вх +с=0. Оно может быть полным (если все коэффициенты отличны от нуля) или неполным(если хотя бы один коэффициент не равен нулю).

Неполные:

Полные:

ах²+вх+с=0
D=в²-4ас
Если D>0, то х₁=(-в+VD)/2a х₂=(-в-VD)/2a
Если D<0, корней нет.
Если D=0,то х=-в/2а

По теореме Виета, если х²+х +с=0 имеет корни х₁ и х_2, то х₁ + х₂= -в/2а, х₁ х₂=с/а.

Если сумма коэффициентов приведенного квадратного уравнения равна нулю, т. е.1+p+q=0, то х₁=1,х₂=q.
Пример х+2х+q=0,то х=1, х=q
Т.к. 1+2+3=0, значит х=1,х=3.

3. Если n>2, то решение общего вида рационального уравнения представляет некоторые трудности. Для решения уравнений третьей и четвертой степени существует формулы вычислений корней. Но эти формулы сложные в применении и ими почти не пользуются. Для уравнений пятой степени и выше общих формул вообще не существует. Поэтому в математике разработаны различные методы, позволяющие находить с любой точностью приближенные значения корней. Также существует два основных аналитических метода, позволяющих найти точное значение корней рационального уравнения.

1 способ. Метод разложения на множители.

Принцип решения уравнений таким методом– разложение на множители его левой части (произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, а остальные при этом определены).

Способы разложения на множители:

• вынесение общего множителя за скобки;
• применение формул сокращенного умножения;
• группировка слагаемых:
• применение формулы разложения квадратного трехчлена на множители.

Нередко в таких заданиях теорема Безу, позволяющая находить целые корни уравнения: если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

2 способ. Метод введения новой переменной.

Этот метод используется при решении уравнения вида ах⁴+вх²+с=0, которое называется биквадратным. Для нахождения корней этого уравнения производится замена х=у.

Этот способ можно использовать при решении очень многих уравнений.

Получаем (х+5х+4)(х+5х+6)=24 заменяем х+5х=у и получаем уравнение

(у+4)(у+6)-24=0 у+10у=0
у=0 х+5х=0 х=0, х=-5	у=10 х+5х=10 х+5х+10=0 D=-15, значит корней нет.

Ответ: 0; -5

Этот прием можно обобщить для уравнения вида (х+а)(х+в)(х+с)(х+п)=А, если а+с=в+п или присутствует равенство сумм каких либо других пар этих чисел.

Но бывает и так, что трудно угадать, какую новую переменную нужно ввести, чтобы упростить уравнение. Поэтому нужно рассматривать различные виды целых рациональных уравнений, для упрощения которых известна подстановка. Например, возвратные уравнения ( Уравнение четвертой степени называется возвратным, если оно имеет вид ax⁴+ вx³+ сx² + вx + a =0, т.е. симметричные коэффициенты одинаковы.

Это уравнение решается подстановкой у=х+1/х

Например.

х⁴-7x³+ 14x²-7х + 1 =0, х² не является корнем уравнения, значит можно разделить обе части уравнения на х:
х²-7х+14-7/х+1/х²=0

группируем равноотстоящие от концов слагаемые (х²+1/ х²)-7(х+1)+14=0, решая данное уравнение получаем четыре корня.

3 способ.

Графический метод
Данный метод применим для решения очень многих уравнений. Его суть состоит в том, что уравнение сводится к виду q(x)=f(x), где q и f функции, графики которых известны. Например, уравнение х³-х+3=0 может быть решено графически, если его переписать в виде х³=х+3 и построить графики функций у= х³ и у=х+3.

V. Этап самореализации

Обучающимся предлагается решать уравнения по своему выбору. Уравнения различной сложности. Каждый ученик выбирает для решения те уравнения, которые ему по силам. Проверку осуществляет учитель. В конце урока подводятся итоги, выставляются оценки.

1) х⁴+х² -6=0
2) ( х²+х -1)( х²+х +1)=2
3) х(х+1)(х+2)(х+3)=-3/4
4) х³-х² -9х-6=0
5) х⁴-5х³ +6х² -5х+1=0

VII. Домашнее задание

Кто получил оценку “5”: х⁴-2 х³– х²-2х+1=0
Кто получил оценку “4”: х²+х+1/х+1/ х²=4
Кто получил оценку “3” и ниже: (х-1)(х-2)(х-3)(х-4)=15