Производная и ее применение (с заданиями для подготовки к ЕГЭ)

Разделы: Математика

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цели урока:

  • проверка теоретических знаний по теме: “Производная, физический и геометрический смысл производной, уравнение касательной”;
  • развитие умений применять знания в конкретной ситуации; развитие логического мышления;
  • воспитание культуры общения; товарищеского взаимоотношения, умения слушать и слышать, умений ориентироваться в необычных ситуациях.

План проведения урока:

  1. Оргмомент.
  2. Актуализация знаний.
  3. Решение задач из открытого банка заданий ЕГЭ (коллективное обсуждение способов решения).
  4. Самостоятельная работа с проверкой.
  5. Домашнее задание.
  6. Подведение итогов урока.

Ход урока

1. Оргмомент (приветствие, сообщение цели, плана урока) 2 минуты.

2. Актуализация знаний.

Блиц-опрос (два человека по желанию или по предложению учителя задают по очереди друг другу теоретические вопросы по теме и ответы записывают на боковой доске в виде опорного конспекта; остальные учащиеся слушают, оценивают и, если есть необходимость, помогают и исправляют, после дают оценку ответам). 10 минут.

  • Производная.
  • Правила вычисления производных.
  • Физический смысл производной.
  • Геометрический смысл производной.
  • Касательная к графику функции.
  • Уравнение касательной.
  • Условие параллельности прямых.
  • Тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
  • Применение производной к исследованию функций.
  • Производная и промежутки монотонности функции.
  • Стационарные и критические точки.
  • Точки экстремума.
  • Необходимое и достаточное условия для точек экстремума.
  • Применение производной в других науках (физике, химии).

Опорный конспект.

3. Решение задач 15 минут (Учащиеся решают задачу, сообщают ответ; один рассказывает решение. Если решить не смогли или все ответы ошибочные, учитель с помощью наводящих вопросов подводит к правильному решению.)

1. Маховик вращается вокруг оси по закону (t)=t4-1. Найдите угловую скорость (t) маховика в момент времени 2 секунды.(=32)

2. Две точки движутся по закону s1(t)=2,5t2-6t+1 s2(t)=0,5t2+2t-3. В какой момент времени их скорости будут равны? (t=2с)

3. В какой точке касательная к графику функции у=0,5х2+1 параллельна прямой у= -х-1 (-1;1,5)

4. На рисунке изображен график производной функции f(x) на интервале (-8;8)

  • Сколько промежутков возрастания имеет функция (3)
  • Укажите длину наибольшего из них (4)
  • Сколько точек экстремума имеет функция (5)
  • Укажите количество точек максимума (2) минимума (3)
  • Укажите количество точек, в которых касательная параллельна прямой у=2х+3 (2) у = -0,5х+1 (5)

5. На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 (f `(x0)=k=tg = -2)

4. Самостоятельная работа.

10-12 минут (Задачи из прототипов В8 учащиеся получают в распечатанном виде по вариантам. Ответы сдают учителю, а потом проверяют свои решения по представленным ответам)

1 вариант.

1) На рисунке изображен график функции, определенной на интервале (-6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

 

2) На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6 или совпадает с ней.

 

3) На рисунке изображен график  — производной функции f(x), определенной на интервале (-7;14). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку[-6;9].

 

4) На рисунке изображен график— производной функции y=f(x), определенной на интервале (-11;3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

 

 5) На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции в точке x0.

 

6) Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=6c.

2 вариант

1) На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции  отрицательна.

2) На рисунке изображен график  — производной функции f(x), определенной на интервале (-10;2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-2x-11 или совпадает с ней.

3) На рисунке изображен график  — производной функции f(x), определенной на интервале (-18;6). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-13;1].

4) На рисунке изображен график  — производной функции f(x), определенной на интервале (-2;12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

 

5) На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

 

6) Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t2 - 13t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Ответы:

  1 вар. 2 вар.
1) 4 8
2) 4 5
3) 1 1
4) 6 6
5) -2 -0,25
6) 18 8

5. Домашнее задание.

Решить задачи из открытого банка заданий ЕГЭ В8 №27485, 27492,27498,27504,40130, 119977, 119979,119974.

6. Подведение итогов урока.

Самоанализ:

  • с какими проблемами при решении заданий типа В8 я встретился;
  • что я должен сделать, чтобы ликвидировать пробелы в знаниях;
  • я все могу делать верно, но останавливаться на этом нельзя, надо постигать новые вершины.

Презентация