Статистические характеристики, элементы комбинаторики и теории вероятностей и их прикладное использование

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (2 МБ)

Цель урока: закрепить, обобщить и проконтролировать уровень усвоения материала по темам: «Статистические характеристики величин», «Элементы комбинаторики», «Простейшие задачи по теории вероятностей»

Задачи урока:

  • Образовательные:
    • продолжить формирование представлений о случайных событиях;
    • формировать представления о возможностях описания и обработки данных с помощью различных средних;
    • продолжить знакомить учащихся с вычислениями вероятности случайного события с помощью классической формулы вероятности;
    • продолжить изучение методов решения комбинаторных задач;
    • формировать умения решать комбинаторные задачи.
  • Развивающие:
    • вырабатывать умения анализировать, выделять главное, сравнивать, обобщать.
    • совершенствовать навыки самостоятельной работы;
    • развивать внимание, наблюдательность, память, логическое мышление.
  • Воспитательные:
    • воспитание познавательной активности, интереса к предмету;
    • воспитание дисциплинированности;
    • контроль за ТБ, правильностью посадки за ПК.

Тип урока: итоговый урок обобщения и закрепления знаний.

Оборудование:

  • Мультимедиа-проектор
  • Экран
  • Авторская презентация к уроку
  • Раздаточный материал (домашнее задание, оценочные листы, памятки)
  • Кроссворд в приложении MS Excel
  • Тест в приложении MS Excel

Литература:

  1. Учебник Алгебра 9 класс: учебн. для общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под редакцией С.А. Теляковского. – 16-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 271 с.
  2. Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учебн. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; под редакцией С.А. Теляковского. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2006. – 78 с.
  3. Мордкович А.Г., Семёнов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: доп. параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразоват. учреждений. – 3-е изд. – М.: Мнемозина, 2005. – 112 с.
  4. Алгебра: сборник для подготовки к ГИА в 9 кл./ Кузнецова Л.В., Суворова С.Б., Е.А.Бунимович и др. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 239 с.
  5. Алгебра. 9 класс. Подготовка к государственной итоговой аттестации – 2010. Учебно-тренировочные тесты. Под редакцией Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. – Ростов-на-Дону: Легион, 2010. – 112 с.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

– Здравствуйте, садитесь. Наш урок сегодня я хочу начать со слов знаменитого венгерского математика Д.Пойа:

«Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия».

Дьердь Пойа, венгерский математик

– Ребята, хочу пожелать вам сегодня каждому сделать своё маленькое открытие. Проверим, готовы ли мы к этому. Начнем урок с повторения материалов ГИА.
– У каждого из вас есть на столах оценочные листы. Подпишите их. На них будут выставляться отметки за проделанные виды работ на уроке. Оценки за домашнюю работу я выставлю каждому в ходе урока. После урока будет подсчитан средний балл и выставлена итоговая отметка.

II. Повторение. Диктант

(Диагностика и мониторинг подготовки к ГИА (1 часть). Выполнение теста, ограниченного временем ответа на каждый вопрос).

– Возьмите оценочные листы (Приложение 1). Приготовьтесь к диктанту. Аккуратно вписываем в клетки таблицы буквы, соответствующие на ваш взгляд, правильному варианту ответа.
Затем учащиеся меняются рабочими листами и сверяют ответы по представленным учителем на экране презентации решениям и выставляют отметку в соответствии с предложенными критериями.

№ вопроса

 1 2 3 4 5

Ответ

 В Б Б Г А

 

Баллы 5 4 3 0-2
Оценка 5 4 3 2

III. Актуализация знаний

1. Устная работа: на слайде появляется числовой ряд. Ребята должны ответить. Какие характеристики величины можно по нему определить (размах, мода, медиана, среднее арифметическое).
2. Объявление темы урока: «Статистические характеристики, элементы комбинаторики и теории вероятностей и их прикладное использование»

IV. Повторение и обобщение пройденного материала

1. Мотивация

– На протяжении нескольких уроков, мы с вами решали разнообразные задачи по теории вероятностей и математической статистике. Сегодня мы подведем итог нашей работы и посмотрим, а где же может нам пригодиться знание этих понятий в жизни.

2. Статистические характеристики

Статистика (от лат. Status – состояние) – наука, изучающая, обрабатывающая и анализирующая количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях в жизни.
Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения на товары, прогнозирует рост и падение производства и потребления.
Медицинская статистика изучает эффективность различных лекарств и методов лечения, вероятность возникновения некоторого заболевания в зависимости от возраста, пола, наследственности, условий жизни, вредных привычек, прогнозирует распространение эпидемий.
Демографическая статистика изучает рождаемость, численность населения, его состав (возрастной, национальный, профессиональный).
Есть еще статистика финансовая, налоговая, биологическая и т.д.
Математическая статистика – наука, основанная на законах теории вероятностей. Статистические методы обработки данных из самых разных областей жизни имеют много общего. Это позволило создать универсальные научно обоснованные методы статистических исследований и проверки статистических гипотез.

Статистические характеристики – это математические понятия, с помощью которых описываются отличительные особенности и свойства совокупности данных, полученных с помощью наблюдений или каким-то другим способом. Значение характеристик состоит еще и в том, что они «подсказывают», с каких позиций целесообразно анализировать имеющуюся совокупность данных.

К статистическим характеристикам относятся: среднее арифметическое, размах, мода, медиана.

Среднее арифметическое n чисел – это частное от деления на n суммы всех этих чисел.
Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим числом в ряде.
Мода ряда чисел – это число, наиболее часто встречающееся в ряду.
Медианой ряда, состоящего из нечетного количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить (по возрастанию или убыванию).
Медианой ряда, состоящего из четного количества чисел, называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел этого ряда, если этот ряд упорядочить (по возрастанию или убыванию).
Статистические характеристики: среднее арифметическое, мода, медиана называются средние результатов измерений.

(Пока ребята решают задачи на доске, несколько учащихся отгадывают кроссворд (Приложение 2), заняв рабочие места за компьютерами)

Задача 1. За четверть Оля получила по геометрии пять «двоек», четыре «четверки» и две «пятерки». Ее мама считает, что за четверть Оле надо ставить «двойку», папа считает, что надо ставить «тройку», а сама Оля считает, что надо ставить «четверку». Попробуйте привести аргументы в пользу каждой точки зрения (какие статистические характеристики вычисляет каждый член семьи?). Какую бы оценку вы поставили Оле?

Решение: числовой ряд отметок Оли содержит 11 членов. Мама вычисляет моду этого ряда – отметка «2», папа – среднее арифметическое – это «3», а Оля находит медиану – это «4». При выставлении отметки за четверть прав был папа: 2 * 5 + 4 * 4 + 5 * 2 = 36/11 ~ 3,3.

Задача 2. В течение четверти Петя получил следующие отметки по математике: одну «пятерку», пять «четверок» и четыре «тройки». На сколько среднее арифметическое оценок Пети отличается от медианы этого ряда чисел?

Решение: Ряд отметок Пети по математике состоит из четного количества членов – 10 отметок. Для нахождения медианы нужно взять два элемента, стоящие посередине ряда и найти их среднее арифметическое – это получится 4. Среднее арифметическое всего ряда равно: 5 + 4 * 5 + 3 * 4 = 37/10 ~ 3,7. Значит, среднее арифметическое оценок Пети отличается от медианы ряда на 0,3.

Ответ: на 0,3.

3. Элементы комбинаторики

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.
Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался со слов «Сколькими способами»?

При решении комбинаторных задач можно применять метод полного перебора, построение дерева возможных вариантов, правило умножения.

Задача 1. Сколько существует трехзначных чисел, составленных из цифр 1, 3, 5, 7, если никакая из цифр не повторяется дважды.

Решение: На первом месте может быть любая из 4 цифр – 4 варианта, на втором месте – любая из трех оставшихся, это 3 варианта, наконец, на третьем месте – любая из двух, 2 варианта. Всего получается 4 * 3 * 2 = 24 возможности. (Решить задачу перебором вариантов и построением дерева возможных вариантов).

Ответ: 24 числа можно составить из данных цифр.

Задача 2. Сколько существует различных вариантов шифра замка, если код состоит из трех цифр.

Решение: Всего 10 арабских цифр. Первой в коде может стоять любая из 10 цифр. При каждом выборе первой цифры на второе место можно поставить любую из 10 цифр, значит, если бы код состоял из двух цифр, было бы 10 · 10 = 100 вариантов.
Для каждого набора кода из двух цифр есть 10 возможностей выбрать третью цифру. Значит, всего будет 10 · 10 · 10 = 1 000 различных вариантов кода.

Ответ: 1 000 вариантов кода (с повторением цифр)

Если бы все три цифры были разными, то первая цифра кода могла бы быть любая из 10. Так как вторая цифра не может совпадать с первой, то для каждого выбора первой цифры есть девять возможностей выбора второй цифры. Значит, всего будет 10·9=90 вариантов. Для каждого набора первых двух цифр остается восемь возможностей выбора третьей цифры. Значит, всего будет 10·9·8=720 вариантов.

Ответ: 720 вариантов кода (без повторения цифр)

Задача 3. В 9 классе 25 человек. Надо выбрать двоих дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Первым дежурным может быть любой из 25 учеников класса, а вторым может оказаться любой из 24 оставшихся. Применяя правило умножения, получаем 25·24=600 вариантов.
Однако при таком подсчете каждая пара дежурных оказалась сосчитана дважды: один раз при подсчете всех пар, в которые входит первый дежурный, и второй раз – при подсчете всех пар, в которые входит второй дежурный.
Значит, на самом деле было сыграно  = 300 вариантов.

Ответ: 300 вариантов.

(Пока ребята решают задачи на доске, несколько учащихся отвечают на тест (Приложение 3), заняв рабочие места за компьютерами, используя памятки – Приложение 4).

Перестановки

В комбинаторике часто приходится решать задачу о том, сколькими способами можно расположить в ряд или, как говорят математики, упорядочить все элементы некоторого множества. Каждое из таких расположений элементов называют перестановкой.
Напоминаю, что произведение нескольких первых натуральных чисел называется – факториал. Обозначение: n!; n! = 1 · 2 · 3 · … · n, где n – натуральное число.

Пример. Света, Люда и Женя договорились в течение трех дней по очереди поливать цветы в классе. Сколько у них есть способов установить порядок дежурства?

Решение: Первой поливать цветы может пойти любая из трех девочек. Тогда во второй день может пойти одна из двух оставшихся девочек, а в третий день последняя девочка. Значит, имеется 3 · 2 · 1 = 3! = 6 способов установить порядок дежурства.

Ответ: 6 способов.

Задача 1. Сколькими способами могут разместиться 5 покупателей в очереди в кассу?

Ответ: 120 (Р5 = 5! = 120)

Задача 2. Анаграмма – это «слово», полученное из данного слова перестановкой его букв (но не обязательно имеющее смысл). Сколько существует различных анаграмм слова «график»?

Ответ: 6! = 720 анаграмм.

Размещения

Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком из расположения.
Размещения обозначаются символом , где m – число всех имеющихся элементов, n – число элементов в каждой комбинации. (А – первая буква французского слова arrangement, что означает «размещение», приведение в порядок). При этом полагают, что n<m.
Число размещений можно вычислить по формуле в факториальной форме:

Задача 1. Сколькими способами могут быть присуждены 1-я, 2-я и 3-я премии трем лицам, если число соревнующихся равно 10?

Ответ: 720 (А103 = 720)

Задача 2. Ученику необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами может быть составлено расписание его экзаменов?

Ответ: 1680

Сочетания

Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n – натуральные числа, причем n < m).
Число сочетаний из m элементов по n обозначаются (С – первая буква французского слова combination – сочетание).
Используя для чисел размещений и перестановок факториальные формулы, получим:

Задача 1. Сколькими способами можно выбрать 6 разных пирожных в кондитерской, где есть 11 разных сортов пирожных?

Ответ: 462 (С116 = 462)

Задача 2. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Ответ: 210.

4. Элементы теории вероятностей

Случайным называется событие, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти.
Равновозможными или равновероятными событиями называют события возможности наступления, которых одинаковы.
Маловероятные (более вероятные) события – события возможность наступления, которых мала (велика).
Достоверные события – события, которые в обычных условиях происходят всегда, обязательно.
Невозможные события – события, которые в данных условиях никогда не происходят.
Достоверные и невозможные события встречаются в жизни сравнительно редко, можно сказать, что мы живем в мире случайных событий.
Теория вероятностей – это наука, которая изучает закономерности наступления случайных событий, что позволяет оценить шансы наступления случайного события.
Возможность наступления случайного события зависит от условий, в которых оно рассматривается.
Умение оценивать вероятность наступления события очень полезно при принятии обоснованного решения, на пример стоит участвовать в лотерее или игре.

Физкультминутка

– Сейчас проверим, насколько вы разбираетесь в классификации событий. Проведем подвижную паузу в виде викторины.
Оригинальная подвижная викторина: Оцените возможность наступления событий, используя для этого следующие действия: «достоверное событие» (все сидят и не встают), «случайное событие» (поднять руку), «невозможное событие» (должны встать).

A: «завтра будет хорошая погода». (случайное)
C: «в январе в городе пойдет снег». (достоверное)
D: «в 12 часов в городе идет дождь, а через 24 часа будет светить солнце». (случайное)
E: «на день рождения вам подарят говорящего крокодила». (невозможное)
H: «круглая отличница получит двойку». (случайное)
K: «камень, брошенный в воду утонет». (достоверное)
M: «вы выходите на улицу, а навстречу идет слон». (невозможное)
P: «вас пригласят лететь на Луну». (случайное)
Q: «черепаха научится говорить». (невозможное)
R: «выпадет желтый снег». (случайное)
S: «вы не выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее». (невозможное)
T: «после четверга будет пятница». (достоверное)

Вероятность случайного события

Вероятность случайного события приближенно равна частоте этого события при проведении большого числа случайных экспериментов.
Иногда вероятность выражают в процентах.
Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р (от французского слова probabilite, что означает – возможность, вероятность).
По вероятности события можно прогнозировать частоту его появления в будущем.
Вероятностные оценки широко используют в физике и биологии, социологии и демографии, экономике и политике, спорте и т. д.

Задачи

Задача 1. По статистике, на каждые 1 000 лампочек приходится 3 бракованные. Какова вероятность купить исправную лампочку?

Ответ: 0,997.

Задача 2. Какова вероятность того, что число, составленное из нечетных цифр, будет четным?

Ответ: 0.

Задача 3. Известно, что среди 1000 выпущенных лотерейных билетов 100 выигрышных. Какое наименьшее количество билетов надо купить, чтобы выиграть с вероятностью равной 1?

Ответ: 901 билет.

Задача 4. Из кошелька в темноте вынимали монетку. Известно, что-то, что вытащена, будет рублевая монета, являлось достоверным событием. Однако этот же исход при повторной попытке оказался невозможным. Сколько и каких монет было в кошельке?

Ответ: одна монета, рублевая.

Вероятностью P наступления случайного события A называется отношение , где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: .

Пример 1. На экзамене по информатике в 9 классе – 20 билетов. Сергей не разобрался в одном билете и очень боится его вытянуть. Какова вероятность, что Сергею достанется несчастливый билет?

Решение: Всего у данного эксперимента «вытянуть наугад один билет» 20 исходов, все они равновероятны. У Сергея только один шанс из 20 вытянуть несчастливый билет. Поэтому вероятность того, что ему достанется несчастливый билет, равна .

Ответ: .

Пример 2. В лотерее 10 выигрышных билетов и 240 билетов без выигрыша. Какова вероятность выиграть в эту лотерею, купив один билет?

Решение: В лотерее разыгрывается всего 240 + 10 = 250 билетов, любой из них можно купить с одинаково вероятностью. Есть 10 шансов из 250 выиграть, и, следовательно, вероятность выигрыша равна .

Ответ: .

Задача 1. В вазочке перемешаны 15 конфет «Чародейка» и 5 конфет «Белочка». Когда из-за аварии погас свет, Маша наугад схватила одну конфету. Какова вероятность, что ей досталась «Белочка»?

Ответ: .

Задача 2. Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что оно окажется:

1) четным;
2) меньшим 12?

Ответ: 1) ; 2) .

Задача 3. В классе 30 человек. Вероятность того, что при случайном выборе одного ученика по номеру в журнале выбранным окажется мальчик, равна . Сколько в этом классе девочек?

Ответ: 20 девочек.

V. Обобщение и контроль знаний

Проверочная работа (по вариантам)

  • Статистические характеристики (задание 1).
  • Комбинаторные задачи (задание 2).
  • Элементы теории вероятностей (задание 3).

Вариант 1.

  1. Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда: 5, 6, 11, 11, – 1.
  2. Группу детского сада (20 человек) ведут на прогулку. Сколько существует способов поставить детей в пары в колонне?
  3. Костя сдает экзамен по биологии. Ему нужно выучить 21 билет. Он знает 11 билетов, а два только прочитал. Какова вероятность того, что на экзамене он вытащит билет, который даже не читал?

Вариант 2.

  1. Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда:15, 4, 12, – 3, 15.
  2. В отряде 25 бойцов. Двоих надо отправить в разведку. Сколько существует вариантов это сделать?
  3. Наташа выучила 12 билетов по информатике из 20. На три билета у неё нет ответов. Какова вероятность, что на экзамене по информатике ей попадется билет, которого она не знает?

VI. Домашнее задание

– Посмотрите на карточки с домашней работой (Приложение 5). Все задания нужно сдать не позднее указанной даты, оформить их на отдельных листах в клетку. Если будут вопросы, то обращайтесь за консультацией после уроков.

VI. Рефлексия

– Сегодня каждый из нас закончил урок с определенным настроением. Какое оно у вас я не знаю, а могу лишь догадываться.
– Когда мы говорим с кем–то лично или по телефону, наши эмоции проявляются через смех, выражение лица, интонации голоса, позу. При разговоре мы передаем собеседнику не только слова, но и эмоциональную информацию, которая не выражается словами.
– Для того чтобы передать эмоциональное настроение, при работе на компьютере используют смайлики (от англ. smiley – улыбаться). Смайлик – это картинка, составленная из букв и специальных знаков, которая выражает какое-то чувство или настроение. Смайлики вы можете употреблять и в записках, которые пишете своим друзьям.
– В правой части вашего оценочного листа есть кружочек. Нарисуйте, пожалуйста, из него смайлик, который отражает ваше настроение после сегодняшнего урока. Оценочные листы оставьте на рабочих местах. Результаты работы увидите на следующем уроке.
– Спасибо за урок! До скорой встречи!