Предварительная подготовка к уроку: обучающиеся должны знать следующие темы: “Квадратные уравнения”, “Неполные квадратные уравнения”, “Решение квадратных уравнений”, “Теорема Виета”, уметь решать квадратные уравнения различными способами.
Цели урока:
– систематизация и закрепление знаний по теме “Квадратные уравнения”;
– формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля;
– развитие логического мышления, способности находить оптимальное решение.
Оборудование: Плакат с девизом занятия и изображенным под ним деревом без листвы “Дерево знаний”, написанные на доске примеры для устной и самостоятельной работы, карточки-задания.
Ход урока
1. Организационный момент.
– Девизом нашего урока будут слова Я.-А Каменского “Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию”.
2. Актуализация знаний.
Блиц-опрос по теории.
– Дайте определение квадратного уравнения.
– Какие квадратные уравнения называются неполными?
– Как найти корни неполного квадратного уравнения aх2 + bх = 0?
– Как найти корни неполного квадратного уравнения aх2 + c = 0?
– Какие квадратные уравнения называются приведенными?
– Расскажите алгоритм решения квадратного уравнения.
– Назовите формулы для нахождения дискриминанта и вычисления корней квадратного
уравнения.
3. Устный счет.
– Правильно ли записано на доске квадратное уравнение?
1. 3х2 + 5х – 2 = 0, где a = 3, b = 5, c = 2. Ответ: нет (с = –2).
2. х2 – 5х = 0, где a =1, b = – 5, c = 0. Ответ: да.
3. 4х2 + 8х + 2 = 0, где a = 4, b = 2, c = 8. Ответ: нет (b = 8, с = 2).
4. –х2 = 0, где a = –1, b = 0, c = 0. Ответ: да.
5. 5х2 – 3х + 7 = 0, где a = 5, b = – 3, c = 7. Ответ: да.
6. х2 + 16 = 0, где a = 1, b = 16, c = 0. Ответ: нет (b = 0, с = 16).
– Составьте квадратное уравнение с заданными коэффициентами (на доске начерчена таблица, в которой не заполнен последний столбец).
| № | а | b | с | уравнение |
| 1 | 1 | –2 | 0 | х2 – 2х = 0 |
| 2 | 5 | 0 | –1 | 5х2 – 1 = 0 |
| 3 | –1 | 3 | 6 | –х2 + 3х + 6 = 0 |
| 4 | 2 | –1 | 0 | 2х2 – х = 0 |
| 5 | –3 | 3 | –4 | –3х2 + 3х – 4 = 0 |
| 6 | 4 | 2 | 1 | 4х2 + 2х + 1 = 0 |
4. Выполнение заданий различных уровней сложности.
– Определите, сколько корней имеет квадратное уравнение.
1) х2 – 7х + 6 = 0.
Решение. Так как D = 25 > 0, то данное уравнение имеет два корня.
2) 2х2 – 16х + 32 = 0.
Решение. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень.
3) 2х2 + 18 = 0.
Решение. Уравнение не имеет корней, так как сумма неотрицательного и положительного чисел не может быть равной нулю.
4) 15х2 + 30х = 0.
Решение. Неполное квадратное уравнение вида aх2 + bх = 0 всегда имеет два корня.
– Решите уравнения.
Группа А.
| № | уравнение | ответ |
| 1 | х2 – 2х = 0 | 0; 2 |
| 2 | х2 –16 = 0 | –4; 4 |
| 3 | 7х – 2х2 = 0 | 0; 3,5 |
| 4 | 2х2 = 0 | 0 |
| 5 | 4х2 = 8х | 0; 2 |
| 6 | х2 – 5х + 6 = 0 | 2; 3 |
| 7 | х2 – 8х + 7 = 0 | 1; 7 |
| 8 | х2 – 4х + 4 = 0 | 2 |
| 9 | х2 + 3х + 6 = 0 | корней нет |
| 10 | 2х2 + х – 3 = 0 | –1,5; 1 |
Группа В.
– При каких значениях параметра а уравнения имеют одно решение?
1) ах2 – 6х + 9 = 0.
Решение. Так как данное уравнение имеет один корень при D = 0, получим уравнение относительно параметра а. 36 – 36а = 0, а = 1.
2) 4х2 – ах + а – 3 = 0.
Решение. Так как данное уравнение имеет один корень при D = 0, получим уравнение относительно параметра а.
а2 – 16(а – 3) = 0, а1 = 4, а2 = 12.
5. Историческая минутка.
Ученики выступают с сообщением (презентацией) о Франсуа Виете.
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе b, в знаменателе а.
6. Решение уравнений с применением теоремы Виета.
– Составьте приведенное квадратное уравнение:
1) х1 = 5, х2 = 2.
Решение. По теореме Виета х1 + х2 = – р, х1х2 = q. Следовательно уравнение имеет вид х2 – 7х + 10 = 0.
1) х1 = 3, х2 = –4.
Решение. По теореме Виета х1 + х2 = – р, х1х2 = q. Следовательно уравнение имеет вид х2 + х – 12 = 0.
– В уравнении х2 + рх – 18 = 0 один из корней равен –9. Найдите другой корень и коэффициент р.
Решение. Используя теорему Виета, получаем следующие выражения:
–9 + х2 = – р, –9 х2 = –18. Решив второе уравнение получаем х2 = 2. Подставив полученное значение в первое уравнение найдем р = 7.
7. Самостоятельная работа.
– Решите уравнения.
| № | Вариант 1 | Вариант 2 | ||
| уравнение | ответ | уравнение | ответ | |
| 1 | х3 – 4х = 0 | 0; 2; –2 | х3 – 25х = 0 | 0; 5; –5 |
| 2 | х4 + 4х2 – 5 =0 | –1; 1 | 2х8 + 5х4 – 7 = 0 | –1; 1 |
| 3 | х3 – 3х2 – х + 3 = 0 | –1; 1; 3 | х3 + х2 – х – 1 = 0 | –1; 1 |
8. Подведение итогов урока. Рефлексия.
На столе находятся вырезанные из самоклеющейся бумаги листья, которыми учащимся предложено украсить дерево на плакате:
– зеленые листочки означают – “Я хорошо понял тему, умею решать квадратные
уравнения”;
– желтые листья – “Я не все понял. У меня были ошибки”;
– красные листья – “Я не понял, как решать квадратные уравнения”.
В результате получается летнее, зеленое деревце, или осеннее, с разноцветными листьями.