Цель: на доступном уровне познакомить учащихся с понятием вероятности события, как числа, к которому стремится относительная частота в длинной серии опытов; ввести формулу для нахождения вероятности в некоторых ситуациях (когда можно предсказать вероятность без проведения опытов); научить вычислять вероятность по общей схеме решения задач на классическую вероятность.
Используемые средства обучения: проектор, ПК, CD –ROM “Вероятность и статистика 5-9”, Дрофа, 2003 г., раздаточный материал для проведения опытом (монеты, кубики), таблица с жетонами – магнитами на доске для проведения игры, карточки с заданиями.
1. Актуализация опорных знаний.
На прошлых занятиях мы познакомились с понятиями событие, исход, выяснили, что вероятности событий можно сравнивать: есть события более вероятные и менее вероятные. Назовите самое большое значение вероятности. Как называются такие события? Назовите наименьшее возможное значение вероятности. Как называются эти события?
Фронтальная работа с классом.
1. Укажите, какие из следующих событий невозможные, какие достоверные, какие случайные:
А: вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее,
В: завтра будет контрольная работа по математике,
С: 30 февраля будет дождь.
2. Определите, какие из следующих событий более вероятны, какие менее вероятны:
а) вы подбрасываете игральный кубик
- А: выпадает шестерка, В: выпадает четное число,
- А: выпадает четное число, В: выпадает нечетное число,
- А: выпадает число, большее 3, В: выпадает число, меньшее 10,
б) А: из колоды карт вытянули туза, В: из колоды карт вытянули пику.
Итак, мы умеем определять точное значение вероятности события, если оно равно 0 или 1, а для случайных событий, чья вероятность больше 0, но меньше 1, мы можем говорить только о том, более вероятно это событие по сравнению с другим или менее вероятно (примерно оценивать шансы). Возникает вопрос: как определить точное числовое значение вероятности случайного события. Сегодня мы научимся это делать.
2. Изучение нового материала.
Событие тем более вероятно, чем чаще оно наступает в серии опытов, поэтому можно говорить, что вероятность напрямую зависит от частоты.
Запись на доске: ВЕРОЯТНОСТЬ ---- ЧАСТОТА
Мы проведем серии опытов, в каждом из них будем находить относительную частоту некоторого события и попытаемся найти точное числовое значение вероятности этого события.
Работа в группах:
1. Каждая группа подбрасывает монету ( 1 группа – 10 раз, 2 группа – 20 раз, 3 группа – 30 раз) и подсчитывает относительную частоту выпадения “орла” в своей серии опытов.
Результаты на доске:
ОПЫТ №1 |
1гр. |
2гр. |
3гр. |
отн.частота |
4/10 |
11/20 |
34/30 |
Приведем дроби к общему знаменателю и убедимся, что относительные частоты примерно равны 1/2. Если серия опытов было бы более длинной (сотни, тысячи подбрасываний), то относительная частота практически совпадала с 1/2.
Учитель демонстрирует опыт по подбрасыванию монеты на ПК, дети наблюдают за динамикой изменения частот и их приближением к вероятности 0,5.
2. Каждая группа подбрасывает кубик (1 группа – 10 раз, 2 группа – 20 раз, 3 группа – 30 раз) и подсчитывает относительную частоту выпадения пятерки.
Результаты на доске:
ОПЫТ №2 |
1гр. |
2гр. |
3гр. |
отн.частота |
3/10 |
4/20 |
7/30 |
Приведя их общему знаменателю, убедимся, что относительные частоты достаточно сильно “разбросаны” вокруг того “идеального” числа, которое можно предсказать (1/6). Такой разброс связан малым числом опытов.
Учитель демонстрирует опыт по
подбрасыванию кубика на ПК, дети наблюдают за
динамикой изменения частот и их приближением к
вероятности 0, 1667
1/6.
В обоих опытах нам удавалось предугадать значение некоторого “идеального” числа, к которому стремится частота события. Так в опыте с монеткой: 2 – число равновозможных исходов, 1 – число благоприятных исходов (выпал “орел”); в опыте с кубиком: 6 – число равновозможных исходов, 1 число благоприятных исходов (выпала 5). Таким образом в ряде случаев можно найти вероятность, не прибегая к многочисленным опытам по классической формуле.
Запись на доске: 
вопрос: Можно ли воспользоваться этой формулой для нахождения вероятности выпадения пятерки на кубике со смещенным центром тяжести? Почему?
3. Первичное закрепление.
Фронтальная работа.
Определите вероятность следующих событий:
А: при бросании монеты выпал “орел”,
В: при бросании кубика выпала тройка,
С: при бросании кубика выпало четное число,
D: из колоды карт вытянули туза,
Е: из колоды карт вытянули карту красной масти,
F: из колоды карт вытянули не туза.
4. Игра “Какова сумма”.
Теперь убедимся, насколько полезны знания по теории вероятностей в жизни.
Поиграем в игру: выбираются два человека ведущих, они поочередно подбрасываю два кубика и называют сумму выпавших очков. На доске таблица с фишками с номерами, равными возможным суммам. Учитель распределят по 1 – 2 жетона между желающими игроками, себе забирая 2 жетона с номерами, например 6 и 7. Игрок делает своим жетоном ход вниз на 1 клетку, ведущий назвал его номер. выигрывает тот, чей жетон первым доберется до финиша.
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Ф |
И |
Н |
И |
Ш |
Кто был в худшем положении?
Почему игра несправедливая?
Подсчитаем вероятность сделать ход для каждого жетона с помощью таблицы со всеми равновозможными исходами при подбрасывании двух кубиков:
1 1 |
2 1 |
3 1 |
4 1 |
5 1 |
6 1 |
1 2 |
2 2 |
3 2 |
4 2 |
5 2 |
6 2 |
1 3 |
2 3 |
3 3 |
4 3 |
5 3 |
6 3 |
1 4 |
2 4 |
3 4 |
4 4 |
5 4 |
6 4 |
1 5 |
2 5 |
3 5 |
4 5 |
5 5 |
6 5 |
1 6 |
2 6 |
3 6 |
4 6 |
5 6 |
6 6 |
Р(2) = 1/36,
Р(3) = 2/36,
…
Р (7) = 6/36,
…
Р (12) = 1/36.
Вероятность выигрыша увеличивается по мере продвижения от жетона №2 до №7, затем уменьшается, самая высокая вероятность выигрыша была у жетона №7, поэтому игра была не честной.
5. Отработка навыков решения задач.
Решение задач в группах.
1. Для каждого из следующих событий найдите вероятность:
а) в урне 15 белых и 25 черных шаров. Из урны наугад вынули один шар. Какова вероятность, что он будет белым?
б) из русского алфавита случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность, что она окажется гласной?
в) из слова СОБЫТИЕ случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность, что она окажется гласной?
2. Абонент забыл последнюю цифру телефонного номера и набрал ее наудачу, помня только, что эта цифра нечетная. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
6. Домашнее задание. Решить задачи №3, №4.
3. В Федином классе учится 10 мальчиков и 20 девочек.
а) на класс дали 1 билет в цирк, который решено разыграть по жребию, какова вероятность, что в цирк пойдет девочка?
б) учитель истории знает, что 3 мальчика и 5 девочек из класса были накануне в кино, поэтому не выучили домашнее задание. К сожалению, он не знает их фамилий, но очень хочет поставить кому-нибудь двойку. Кого ему лучше вызвать к доске: мальчика или девочку?
4*. Какова вероятность, что у случайно выбранного жителя Земли день рождения приходится на:
а) 1 января,
б) 28 февраля,
в) 29 февраля?
Список литературы
1. Бунимович Е. А., Булычев В. А. Вероятность и статистика. Учебное пособие для 5-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 2005.
2. Бунимович Е. А., Булычев В. А. Вероятность и статистика 5-9. Электронное учебное пособие на CD-ROM. – М.: Дрофа, 2003.