Урок геометрии "Введение в геометрию". 7-й класс

Цели урока:

1. 1. организовать деятельность учащихся по знакомству с видами фигур(треугольники, прямоугольники, фигуры вращения, пирамиды и т. д.);
2. Развивающие:
3. содействовать формированию у учащихся пространственных и геометрических представлений и понятий;
4. Воспитательные:
5. содействовать осознанию учащимися важности изучаемого предмета;

Оборудование: Компьютер, экран, мультимедиапроектор.

Тип урока: введение.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Знакомство с новой наукой – геометрией.
3. История развития геометрии.
4. Неопределяемые понятия в геометрии.
5. Определение фигур в геометрии: отрезка и угла.
6. Начальные сведения о фигурах планиметрии.
7. Начальные сведения о фигурах стереометрии.
8. Примеры из строительства домов и сооружений.

Ход урока

Мефистофель:

Нет, трудновато выйти мне теперь,
Тут кое-что мешает мне немного:
Волшебный знак у вашего порога.

Фауст:

Не пентаграмма ль этому виной?
Но как же, бес, пробрался ты за мной?
Каким путем впросак попался?

Мефистофель:

Изволили ее вы плохо начертить,
И промежуток в уголку остался,
Там, у дверей, – и я свободно мог вскочить.

I. Организационный момент.

II. Введение в геометрию.

(1–4 слайды)

III. История развития геометрии.

(5–9 слайды)

Объяснение устройства мира пифагорейцы тесно связывали с геометрией. Так, выделяя первоосновы бытия, они приписывали их атомам форму правильных многогранников, а именно: атомам огня – форму тетраэдра, земли – гексаэдра (куба), воздуха – октаэдра и т. д.

Более поздняя философская школа – Александрийская, интересна тем, что дала миру ученого Евклида, который жил около 300 года до нашей эры. В одном из своих сочинений математик Папп (III в. н. э.) изображает его как человека исключительно честного, тихого и скромного, которому были чужды гордость и эгоизм. Царь Птолемей спросил у Евклида, нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к изучению геометрии, чем его «Начала». Евклид на это ответил: «В геометрии нет царского пути».

Именно «Начала» создали славу Евклиду. В них впервые было представлено стройное аксиоматическое строение геометрии. На протяжение около двух тысячелетий этот труд остается основой изучения систематического курса геометрии.

В последние столетия возникли и развивались новые направления геометрии, среди которых: геометрия Лобачевского, топология, теория графов и др. Появились новые методы, в том числе координатный и векторный, позволяющие переводить геометрические задачи на язык алгебры и наоборот.

§24*. Графы.

Задача связанная с графами и с именем Эйлера является задача о трёх домиках и трёх колодцах.

ЗАДАЧА. Три соседа имеют три общих колодца. можно ли провести три пересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Л. Эйлера, доказанной в 1752 г.

Теорема. Если многоугольник разбит на конечное число многоугольников так, что любые два многоугольника разбиения или не имеют общие вершины, или имеют общие ребра, то имеет место равенство

В – Р + Г = 1, (*)
где В – общее число вершин, Р – общее число ребер, Г – число многоугольников (граней)

Рис. 1

Доказательство. Докажем, что равенство (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ.

Рис. 2

Действительно, после проведения такой диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р + 1 ребер и количество многоугольников увеличивается на единицу. Следовательно, имеем

В – (Р + 1) + (Г + 1) = В – Р + Г

Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие входящие многоугольники на треугольники, и для полученного разбиения покажем выполнимость соотношения (*).

Рис. 3

Для этого последовательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая:

а) Для удаления треугольника АВС требуется снять два ребра, в нашем случае АВ и ВС;
б) для удаления треугольника MNK требуется снять одно ребро, в нашем случае MN.

В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника граф будет состоять из В – 1 вершин, Р – 2 ребер и Г – 1 многоугольника:

(В – 1) – (Р + 2) + (Г – 1) = В – Р + Г.

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенство (*).

Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого разбиения В = 3, Р = 3, Г = 1 и, следовательно, В – Р + Г = 1. Значит, равенство (*) имеет место и для исходного разбиения, откуда окончательно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо соотношение (*).

Заметим, что соотношение Эйлера не зависит от формы многоугольников. Многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать или даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Соотношение Эйлера при этом не изменится.

Приступим к решению задачи о трёх домиках и колодцах.

Решение. Предположим, что это можно сделать. Отметим домики точками Д₁, Д₂, Д₃, а колодцы – точками К₁1, К₂, К₃ (рис. 1). Каждую точку – домик соединим с каждой точкой - колодцем. Получим девять ребер, которые попарно не пересекаются.

Эти ребра образуют на плоскости многоугольник, разделенный на более мелкие многоугольники. поэтому для этого разбиения должно выполняется соотношение Эйлера В – Р + Г = 1. Добавим к рассматриваемым граням еще одну – внешнюю часть плоскости по отношению к многоугольнику. Тогда соотношение Эйлера примет вид

В – Р + Г = 2, причем В = 6 и Р = 9. Следовательно, Г = 5. Каждая из пяти граней имеет по крайней мере четыре ребра, поскольку по условию задачи ни одна дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два колодца. Так как каждое ребро лежит ровно в двух гранях, то количество ребер должно быть не меньше (5 · 4): 2 = 10, что противоречит условию, по которому их число равно 9. Полученное противоречие показывает, что ответ в задаче отрицателен – нельзя провести непересекающиеся дорожки от каждого домика к каждому колодцу. (Доклад ученицы)

IV. Неопределяемые понятия в геометрии.

слайд11. Точка на плоскости, прямая.

V. Определение фигур в геометрии: отрезка и угла.

слайд11. Отрезок и угол. Определение.

VI. Начальные сведения о фигурах планиметрии.

слайды 12 и 13. Что изучает планиметрия.

VII. Начальные сведения о фигурах стереометрии.

слайды 14 и 15 о стереометрии.

VIII. Примеры из строительства домов и сооружений.

с 16 по 23 слайды демонстрирую применение геометрии.

На мой взгляд, если хватит времени, можно обсудить и интересные здания в своем городе.

IX. Итог урока.

Подводим итог урока. Что на этом уроке узнали и самое запоминающиеся?

X. Рефлексия.

Моя работа слайд 24.