Урок геометрии "Различные способы решения стереометрических задач"

Цель урока: создание условий для формирования навыка решения стереометрических задач различными способами.

• способствовать развитию наглядно-образного мышления, внимания;
• развивать умение высказывать собственные суждения, аргументировать свою точку зрения;
• воспитывать умение планировать свою работу, искать рациональные пути решения задач.

ТСО: компьютер, мультимедийный проектор, презентация к уроку (Приложение 1)

Комментарии: на уроке рассматриваются задачи ЕГЭ типа “С2”, можно использовать данный материал для организации итогового повторения.

I. Организационный момент.

Задачи части “С” Единого государственного экзамена по стереометрии в последнее время большей частью посвящены вычислению расстояний и углов в пространстве. Такие задачи часто встречаются в практике, поэтому им уделено особое внимание. Рассмотрим разные методы решения этих задач. (слайд 1)

1. Что называется расстоянием от точки до прямой, между параллельными прямыми? (слайд 2)
2. Что называется расстоянием от точки до плоскости? (слайд 6)

III. Тренировочные упражнения.

1. Задача 1

В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти расстояние от точки D₁ до прямой PQ, где P и Q – середины соответственно ребер A₁B₁ и BC. (слайд 3)

Решение.

1 способ (поэтапно-вычислительный)

Пусть D₁H PQ, где HPQ, R - середина ребра AB. Найдем D₁H. (слайд 4)

Треугольник BRQ - прямоугольный, QR=

Треугольник PQR - прямоугольный, PQ =

ТреугольникDCQ - прямоугольный, DQ =

Треугольник D₁DQ- прямоугольный, D₁Q =

D₁P = DQ =

В треугольнике D₁PQ по теореме косинусов ; ; .

D₁H= D₁P

D₁H= = .

Ответ: .

2 способ (координатный).

Учитель задает вопрос: Как еще можно найти длины сторон в треугольнике D₁PQ?

Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке А (слайд 5).

Найдем координаты точек P(0; 0.5; 1), Q(0.5; 1;0), D₁(1;0;1), тогда

PQ = , D₁Q= , D₁P=

Далее решение аналогично 1 способу. В треугольнике D₁PQ по теореме косинусов ; ; .

D₁H= D₁P

D₁H= = .

Ответ: .

2. Задача 2

В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки C₁ до плоскости AB₁C. (слайд 7)

Решение.

1 способ (поэтапно-вычислительный) (слайд 8)

Так как прямая A₁C₁ параллельна АС, то прямая A₁C₁ параллельна плоскости AB₁C. Поэтому искомое расстояние h равно расстоянию от произвольной точки прямой A₁C₁ до плоскости AB₁C. Например, расстояние от центра О₁ квадрата A₁B₁C₁D₁ до плоскости AB₁C равно h.

Пусть Е – основание перпендикуляра, опущенного из точки О₁ на прямую В₁О, где О – центр квадрата ABCD. Прямая О₁Е лежит в плоскости ВВ₁ D₁ D, а прямая АС перпендикулярна этой плоскости. Поэтому О₁ЕАС и О₁Е – перпендикуляр к плоскости AB₁C, а О₁Е = h.

Так как В₁О₁ =, О₁О = 1, то ОВ₁ = .

S_ДABC= О₁Е В₁О= В₁О₁ О₁О или h, откуда h=.

Ответ: .

2 способ (метод объемов) (слайд 9)

Рассмотрим пирамиду С₁В₁АС и найдем ее объем двумя способами.

V= S_ДACC1 В₁О₁= S_ДACB1 h; S_ДACC1=; В₁О₁ =; S_ДACB1=.

h=.

Ответ: .

3 способ (координатный)

Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке С (слайд 10)

С(0;0;0), В₁(1;0;1), А(1;1;0), С₁(0;0;1). Составим уравнение плоскости. Проходящей через точки А, С и В₁. Для этого подставим координаты этих точек в общее уравнение плоскости Ax + By +Cz + D = 0. Получим систему или

Отсюда находим уравнение Ax –Ay – Az = 0; x – y – z = 0

По формуле находим расстояние от С₁ до плоскости AB₁C:

d =

Ответ: .

IV. Итог урока.

1. В тетраэдре ABCD, все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой, проходящей через точку В и середину ребра CD.
2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки С до прямой SF.
3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребра которого равны 4, а точки E и F- середины ребер AB и B₁C₁ соответственно, а точка P расположена на ребре CD так, что CP = 3PD. Найдите расстояние от точки A₁ до плоскости треугольника EPF.
4. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с вершиной P сторона основания равна 3, высота 2. Найдите расстояние от вершины А до грани PCD.