Цель урока: создание условий для формирования навыка решения стереометрических задач различными способами.
Задачи урока:
- способствовать развитию наглядно-образного мышления, внимания;
- развивать умение высказывать собственные суждения, аргументировать свою точку зрения;
- воспитывать умение планировать свою работу, искать рациональные пути решения задач.
ТСО: компьютер, мультимедийный проектор, презентация к уроку (Приложение 1)
Комментарии: на уроке рассматриваются задачи ЕГЭ типа “С2”, можно использовать данный материал для организации итогового повторения.
Ход урока
I. Организационный момент.
Задачи части “С” Единого государственного экзамена по стереометрии в последнее время большей частью посвящены вычислению расстояний и углов в пространстве. Такие задачи часто встречаются в практике, поэтому им уделено особое внимание. Рассмотрим разные методы решения этих задач. (слайд 1)
II. Актуализация знаний.
- Что называется расстоянием от точки до прямой, между параллельными прямыми? (слайд 2)
- Что называется расстоянием от точки до плоскости? (слайд 6)
III. Тренировочные упражнения.
- Задача 1
- Задача 2
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки D1 до прямой PQ, где P и Q – середины соответственно ребер A1B1 и BC. (слайд 3)
Решение.
1 способ (поэтапно-вычислительный)
Пусть D1H PQ, где H
PQ, R - середина ребра AB. Найдем D1H.
(слайд 4)
Треугольник BRQ - прямоугольный, QR=
Треугольник PQR - прямоугольный, PQ =
ТреугольникDCQ - прямоугольный, DQ =
Треугольник D1DQ- прямоугольный, D1Q =
D1P = DQ =
В треугольнике D1PQ по теореме косинусов ;
;
.
D1H= D1P
D1H= =
.
Ответ: .
2 способ (координатный).
Учитель задает вопрос: Как еще можно найти длины сторон в треугольнике D1PQ?
Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке А (слайд 5).
Найдем координаты точек P(0; 0.5; 1), Q(0.5; 1;0), D1(1;0;1), тогда
PQ = , D1Q=
, D1P=
Далее решение аналогично 1 способу. В
треугольнике D1PQ по теореме косинусов ;
;
.
D1H= D1P
D1H= =
.
Ответ: .
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки C1 до плоскости AB1C. (слайд 7)
Решение.
1 способ (поэтапно-вычислительный) (слайд 8)
Так как прямая A1C1 параллельна АС, то прямая A1C1 параллельна плоскости AB1C. Поэтому искомое расстояние h равно расстоянию от произвольной точки прямой A1C1 до плоскости AB1C. Например, расстояние от центра О1 квадрата A1B1C1D1 до плоскости AB1C равно h.
Пусть Е – основание перпендикуляра, опущенного
из точки О1 на прямую В1О, где О –
центр квадрата ABCD. Прямая О1Е лежит в
плоскости ВВ1 D1 D, а прямая АС
перпендикулярна этой плоскости. Поэтому О1ЕАС и О1Е
– перпендикуляр к плоскости AB1C, а О1Е
= h.
Так как В1О1 =, О1О = 1, то ОВ1 =
.
SДABC= О1Е
В1О=
В1О1
О1О
или h
,
откуда h=
.
Ответ: .
2 способ (метод объемов) (слайд 9)
Рассмотрим пирамиду С1В1АС и найдем ее объем двумя способами.
V= SДACC1
В1О1=
SДACB1
h; SДACC1=
; В1О1
=
; SДACB1=
.
h=.
Ответ: .
3 способ (координатный)
Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке С (слайд 10)
С(0;0;0), В1(1;0;1), А(1;1;0), С1(0;0;1). Составим
уравнение плоскости. Проходящей через точки А, С
и В1. Для этого подставим координаты этих
точек в общее уравнение плоскости Ax + By +Cz + D = 0.
Получим систему или
Отсюда находим уравнение Ax –Ay – Az = 0; x – y – z = 0
По формуле находим расстояние от С1 до плоскости AB1C:
d =
Ответ: .
IV. Итог урока.
V. Домашнее задание.
- В тетраэдре ABCD, все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой, проходящей через точку В и середину ребра CD.
- В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки С до прямой SF.
- В кубе ABCDA1B1C1D1, ребра которого равны 4, а точки E и F- середины ребер AB и B1C1 соответственно, а точка P расположена на ребре CD так, что CP = 3PD. Найдите расстояние от точки A1 до плоскости треугольника EPF.
- В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с вершиной P сторона основания равна 3, высота 2. Найдите расстояние от вершины А до грани PCD.