Открытый урок по теме "Производная и ее применение"

Урок обобщающего повторения (90 мин.)

Цели:

1. Повторить, систематизировать и закрепить знания по изучаемой теме.

2. Воспитывать такие качества личности как самостоятельность, внимательность, способствовать развитию творческих способностей путем составления самостоятельной работы.

3. Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оборудование: экран, проектор, магнитная доска, набор плакатов.

У учащихся на рабочем месте: оценочные листы, карточки с заданиями, карточки с вопросами по теории, копировальная бумага.

Вся работа на этом занятии сопровождается индивидуальным оценочным листом.

Оценочный лист учащегося.

Фамилия________________________________________________

Имя____________________________________________________

Во всех этапах урока за каждый правильный ответ ученик зарабатывает по 1 баллу.

Критерии оценок:

“5” -с 43 до 47 баллов;

“4” - с38 до 42 баллов;

“3” - с 22 до 37 баллов;

“2” -меньше 22 баллов.

За самостоятельную работу выставляется отдельная оценка.

Предварительное домашнее задание: повторить вопросы и задачи на повторение, которые заданы в конце главы II. “Производная и ее применения” на стр. 166-168.

Ход урока

Вводная беседа (1 мин.)

Сегодня на уроке мы повторим, обобщим, приведем в систему изученные формулы, определения и правила вычисления производных и их применения.

I этап. Теоретическая разминка (25 мин.)

Начало урока посвящается повторению узловых вопросов темы.

Три человека выходят к доске. Класс задает им три вопроса из подготовленных по всему повторяемому материалу.

Вызванные отвечают по очереди. Затем выходят следующая тройка и продолжают отвечать на следующие вопросы, задаваемые учащимися и так продолжают до тех пор, пока не ответят на все вопросы. За каждый правильный ответ ученик проставляет по 1 баллу в свой оценочный лист.

После того как ученик ответил на заданный вопрос на магнитной доске вывешивается плакат с текстом данного определения или правила.

Вопросы теории:

• Сформулируйте определение производной функции в точке.

• В чем состоит геометрический смысл производной?

• В чем состоит физический смысл производной?

• Показать правила дифференцирования.

• Показать формулы дифференцирования.

• Написать уравнения касательной.

• Исследование на экстремум.

• Какие точки называются критическими?

• В чем состоит необходимое условие экстремума?

• В чем состоит достаточный признак существования экстремума?

• Сформулируйте т. Вейерштрасса о наименьшем и наибольшем значениях функции на отрезке.

• Дать алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции y=f(x), непрерывной на отрезке [a;b].

• Дать схему применения метода поиска наибольших и наименьших значений функции к решению прикладных задач.

• Дать схему исследования и построения графика функции.

Плакаты.

1 плакат. Определение. Производной функции в точке Х₀ называется число, к которому стремится разностное отношение f^’(X₀) = = при Х, стремящемся к нулю.

2 плакат. Определение. Производная с геометрической точки зрения это угловой коэффициент касательной k = tg= = f^’(x₀).

3 плакат. Определение. Производная с физической точки зрения – это мгновенная скорость V(t)= x^’(t).

4 плакат. Правила дифференцирования:

(u + v)^’= u^’+v^’

(u v)^’= u^’v + uv^’

()^’=

(Cu)^’= Сu^’, где с-const.

5 плакат. Формулы дифференцирования

С’=0     5. (cos x)’=-Sin x

(xⁿ)’=nx^n-1     6. (t g x)’=

(’=     7. (ctg x)’= -

(sin x)’=cos x      8. h(x)=g(f(x))

h’(x)=g’(f(x)) f’(x).

6 плакат. Уравнение касательной Y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)

7 плакат. Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

8 плакат. Необходимое условие экстремума.

Если точка х₀ является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f’, то она равна нулю:

f’(x)=0

9 плакат. Достаточный признак существования экстремума.

Признак максимума. Если функция f непрерывна в точке х₀, a f’(x)0 на интервале (а; х₀) и f’(x)0 на интервале (х_о; в), то точка х_о является точкой максимума функции f. (Если в точке х_о производная меняет знак с плюса на минус, то х_о есть точка максимума функции f).

Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х_о, а f^’(x)<0 на интервале

(а; х_о) и f^’(x)>0 на интервале (х₀; в), то точка х₀ является точкой минимума функции f. (Если в точке х₀ производная меняет знак с минуса на плюс, то х₀ есть точка минимума функции f).

10 плакат. Теорема Вейерштрасса о наименьшем и наибольшем значениях функции на отрезке.

Т. Вейерштрасса утверждает, что непрерывная на отрезке [ a; b] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т.е. существуют точки отрезка [a; b], в которых f принимает наибольшее и наименьшее на [a; b] значения.

11 плакат. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции у= f(x), непрерывной на отрезке [a; b].

Найти f^’(x).

Найти критические точки, т.е. где f^’(x)=0 и f^’(x) не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [a; b].

Вычислить значения функции y=f(x) в критических точках и на концах отрезка, и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции y=f(x) на отрезке [a;b], которые обозначают так: max_[a;b] y(x) и m in_[a;b]y(x).

12 плакат. Схема применения метода поиска наибольших и наименьших значений функции к решению прикладных задач.

Задача “переводится” на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f(x);

Средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;

Выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.

13 плакат. Алгоритм исследования функции и построения графика.

- Находят ее область определения;

- выясняют, является ли функция f четной или нечетной, является ли периодической;

- находят точки пересечения графика с осями координат;

- находят промежутки знакопостоянства;

- промежутки возрастания и убывания;

- точки экстремума и значения f в этих точках;

- исследуют поведение функции в окрестности “ особых” точек и при больших по модулю х;

- на основании такого исследования строится график функции.

Итак, мы повторили все узловые вопросы по изученной теме. А теперь поупражняемся на применении этих правил.

II этап. Устная работа. (4 мин.)

Задания отразить диапроектором на экран, после ответов учащихся демонстрировать ответы на экран. Ученики заработанное количество баллов выставляют в оценочные листы.

g(x)= 2x-3 b) g(x)=3x⁴-7x³+2x²+ в) g(x)=+1

г) f(x)=(x-3)⁴ д) f(x)=(3-4x)³ e) f(x)= cos5x

Ответы: a) 2; b) 12x³-21x²+4x; в) -; г) 4(x-3)³; д) -12(3-4 x)²; е) -5sin5x.

III этап. Выполнение упражнений на нахождение производной.(10 мин.)

Отразить задания диапроектором на экран. Как закончат, обмениваются тетрадями. Учитель включает проектор, демонстрирует ответы на экране. Происходит быстрая проверка и комментарий заданий. Ученики заработанное количество баллов выставляют в оценочные листы.

Задание. Найти значение производной при заданном значении аргумента.

f(x)=4x³+6x+3; x₀=1

f(x)=x²- 4; x₀=4

f(x)= ; x₀=0

f(x)=x sinx; x₀=

f(x)=sin2x; x₀=

f(x)= 2x+cos2x; x_{0 =}

Ответы: 1. 18; 2. 7; 3. 1; 4. 1; 5. –2; 6. 1.

Оценка – 6 баллов (по 1 баллу за каждый верно выполненный пример).

IV этап. Решение задач на применении производной. (Работа на доске) (20 мин.)

У всех имеются карточки с условиями задач. Ученики по вызову выходят к доске, показывают решение, а в это время все остальные выполняют эту работу в тетрадях, после проверяют и сверяют правильность выполнения, заработанное количество баллов выставляют в оценочные листы.

Содержание карточки.

Задачи о касательной.

1. Определить угол, который составляет с осью ох касательная к графику функции у=2х² в точках с абсциссами х₀= и х₀=1.
2. Найти точки, в которых касательные к кривой у=х³+х-2 параллельны прямой у=4х-1.
3. Найти координаты точки, в которой касательная к параболе у=х²-х-12 образует с осью ох угол 45.

Задачи о скорости.

4. Закон прямолинейного движения материальной точки задан зависимостью S(t)=5t³-8t+2, где s и t измеряются соответственно в метрах и секундах. Найти скорость и ускорение в момент времени t=2с.

Исследование на экстремум.

5. Найти точки экстремума функции у = х³- 3 х² + 18

6. Найти наименьшее и наибольшее значение функции у=2х³ + 3х² – 12х на отрезке [-4;2].

7. Исследовать функцию у=3х - х³ и построить ее график.

Ответы:

1. = 45

=artg4.

2. (-1; -4), (1; 0)
3. А(1; -12)
4. 52 м/с; 60 м/с²
5. х = 0 - точка максимума, у_max = y(0) = 18

X = 2 – точка минимума, y_min = y(2) = 14

6. у_наим. = -32 при х = -4

У_наим. = 20 при х = - 2.

7. У = 3х -х³

D(y)=R

f(-x)= -(3x - x³) = - f(x), следовательно, функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат.

Ось Оу график пересекает в точке (0;0)

Ось Ох график пересекает при х₁ = - 3 ; x₂ = 0; x₃ = 3

f^’(x) = 3 - x² ; D(f^’) = R, f^’(x) = 0 при х₁ = - 3; х₂ = 3.

V этап. Самостоятельная работа (28 мин.)

В конце проводиться самостоятельная работа (под копированную бумагу) в двух вариантах. Листок на котором лежала “копирка” ученики подписывают и сдают учителю, а по записям в тетрадях учащиеся осуществляют самопроверку по готовым решениям на экране, получают разъяснения по возникающим при этом вопросам. Учитель после проверки листков выставляет оценки за самостоятельную работу.

1. Исследуйте функцию y=6x⁵-10x³ [y=5x³ -3x² ] на монотонность и экстремумы и постройте ее график.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=sin 2x-2x на отрезке [ - ; ].

[ 2. Найдите точки экстремума функции у = х + ].

3. Составьте уравнения касательной к графику функции f(x)=x²-x³, проходящей через точку графика с абсциссой x₀=-1.

[3 составьте уравнения касательных к графику функции y=2x-x² в точках графика ординатой y₀= -3 ].

Ответы:

1. Функция на (-;-1] [1;), на [-1;1];

Х=- 1- точка максимума, х=1- точка минимума;

4-максимум; -4-минимум функции.

График изображен на рис.1.

2. Наименьшее значение равно –;

наибольшее значение равно .

3. Y=-5x-3

[1. Функция на (-;-1][1;) и на [-1;1];

Х=-1-точка минимума; Х=1-точка максимума;

-2-минимум; 2-максимум функции

График изображен на рис. 2.

2. х=0,75 (точка максимума)

3. y=4х+1 и y=-4х+9]

Подведение итогов (2 мин.).

Учитель проводит фронтальный обзор основных этапов урока, оценивает работу учащихся, выставляет оценки за I часть и за самостоятельную работу, ориентирует учеников в домашнем задании.

Тем, кто допустил ошибок, дается решать дома самостоятельную работу другого варианта, а остальным дается задание на составление самостоятельной работы на данную тему.