Цель:
- Обобщить имеющиеся знания о взаимном расположении прямых в пространстве и нахождении угла между ними;
- Продемонстрировать возможности выбора способа решения задачи;
- Развить умение анализировать, делать выводы;
- Сформировать интерес к решению непростых задач (С2).
Тип занятия: урок совершенствования знаний.
Ход урока
Устная работа. (Приложение 1)
а) расположение прямых в пространстве и угол между ними
(комментируют учащиеся и учитель)
б) Дан куб.
Определить угол между прямыми
AD и B1C1;
DC и AA1;
AC и B1D1;
BD и C1C;
[1] Выполнение заданий.
Дан куб ABCDA1B1C1D1, A1E = EB1, D1F = FC1.
Найти косинус угла между прямыми AE и BF.
Решение
1 способ.
Расположим прямые так, чтобы они лежали в одной плоскости. Прямую AE заменим на параллельную ей прямую DF и рассмотрим ?DFB, в котором находим стороны, а потом уже и нужный косинус, используя теорему косинусов.
2 способ.
Введем систему координат и определим координаты нужных нам точек куба, условно ребро куба = 1.
А (1;0;0)
В (1;1;0)
F (0;?;1)
E (1;?;1)
Определим координаты векторов
Формула косинуса угла между прямыми, если известны координаты направляющих векторов
3 способ.
Разложим вектора по некомпланарным векторам:
Введем векторы
тогда
(вспомним свойства векторов)
Учитывая, что 
, 
,
получим
.
Аналогично 
2
и по формуле (1)
Сделаем выводы: Ребята оценивают каждый способ.
[1] Задания для дальнейшей работы (классная + домашняя) с треугольной и шестиугольной призмой (анализируя, мы с ребятами останавливаемся на третьем способе)
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точки D, E - Середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AD и BE.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, точки G и H - середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AG и BH.
Итог занятия.