Перпендикулярность прямых и плоскостей. 10-й класс

Цели урока: Обобщение изученного теоретического материала, систематизация его, установление межпредметных связей этого материала, исторические начала, расширение сведений по данной теме, воспитание интереса к данной теме, воспитание интереса и любви к математике.

Оборудование урока: Модели прямых и плоскостей, мультимедийный проектор, доска.

1. Перпендикулярность прямой и плоскости.
2. Перпендикуляр и наклонная.
3. Перпендикулярность плоскостей
4. Расстояние между скрещивающимися прямыми

1. Историческая справка о прямой, перпендикулярной плоскости.

2. Демонстрация основных определений и свойств на моделях (без доказательства).

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теорема: 1) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к Плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

2) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Признак 3) Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

3. Устное решение задач:

1) Чтобы распил деревянного бруса был перпендикулярен ребру, через т.А ребра проводят перпендикулярно ребру прямые АВ и АС .Затем пилят так, чтобы распил шел по эти прямым. Верно ли это?

Ответ: Да, т.к. плоскость распила содержит две прямые, пересекающиеся перпендикулярно ребру.

2) Три луча ОА, ОВ, ОС попарно перпендикулярны. Как расположен каждый из лучей по отношению к плоскости, определяемый двумя другими лучами?

Ответ: т.к. каждый луч перпендикулярен двум пересекающимся лучам соответствующей плоскости .

Примеры из жизни:

1) В технике часто говорят, что направление перпендикулярно плоскости. Колонны устанавливают так, что их ось перпендикулярна плоскости фундамента; гвозди забивают в доску так, что они перпендикулярны плоскости доски, в цилиндре паровой машины шток перпендикулярен плоскости поршня.

2) Особенно важно вертикальное направление т.е. направление силы тяжести, оно перпендикулярно горизонтальной плоскости (моделирует ее участок поверхности земли, пол помещения и т.д.)

Р – груз, подвешенный на шнуре а, закрепленный в т. А, тогда направление шнура а вертикальное и а a.

3) Колонны выдерживают большую нагрузку, их ставят вертикально, тогда действующая на них сила тяжести направлена вдоль оси и поэтому колонна устойчива.

Для определения направления, перпендикулярного плоскости, можно использовать следующий прибор

Планки а, в, с скреплены так, что сa, сb.

Если приставить планки а и в к плоскости a, то направление ребра планки с будет перпендикулярно плоскости.

1. Основные определения, свойства. Демонстрация их на моделях (без доказательства).

Понятия перпендикуляра, наклонной, основания перпендикуляра и наклонной, проекция .

Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.

Проекция прямой – прямая.

Определение: Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

2. Историческая справка (о теореме о трех перпендикулярах).

3. Доказательство теоремы о трех перпендикулярах.

Теорема : Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

4. Задача: (физического содержания).

Два одинаковых шарика подвешены на нитях, длиной ℓ=2м к одной точке.

Когда шарикам сообщили одинаковые заряды по q = 2·10^-8 они разошлись на расстояние r = 16 см. Определить натяжение каждой нити.

Решение:

Шарики подвешены на нити одинаковой длины, закрепленные в одной точке. После сообщения шарикам зарядов они расходятся на некоторое расстояние и нити занимают положение наклонных. Они равны, а значит равны и их проекции, т.е. r между шариками. = 8 см. Это позволяет найти нам sin угла между двумя положениями шарика.

На каждый шарик действуют три силы: сила тяжести mq, сила упругости нити Fупр. и кулоновская сила F.

Шарик неподвижен, следовательно сумма проекций сил по оси ОХ и ОУ равна 0. Для суммы проекций сил на оси ОZ это условие имеет вид :

F – F упр. sin a + mqcos90⁰ = 0.

Нить натянута с силой приблизительно равной 3,5 · 10^-3 Н

5. Почему вода скатывается с крыши по прямой, перпендикулярной ее горизонтальному краю ? (кратчайшее расстояние)

6. При подъеме на гору можно пойти по двум дорогам, одна из них перпендикулярна подошве, другая составляет с ней острый угол . По какой дороге легче идти? По какой дороге путь короче?

7. Над центром стола, имеющим форму квадрата со стороной 10 дм, повешена лампочка на расстоянии 180 см. Высота стола 72 см. Определить вид тени и ее размер.

8. Прямая МА проходит через точку А плоскости a и образует с этой плоскостью угол φ₀  ≠ 90⁰. Докажите, что φ₀ является наименьшим из всех углов, которые прямая МА образует с прямыми, проведенными в плоскости a через точку А.

III. Перпендикулярность плоскостей.

1. Основные определения, свойства, демонстрация их на моделях.

Определение: Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Определение: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90^0.
Признак перпендикулярности двух плоскостей: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Задача: При возведении каменной стены иногда проверяют перпендикулярность ее горизонтальной плоскости при помощи отвеса. Каким предложением стереометрии при этом пользуются ?

IV. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

1. Теорема (задача) о расстоянии между скрещивающимися прямыми. Демонстрация этого расстояния на моделях (штатив с двумя параллельными пластинами.

2. Задача: Две скрещивающиеся прямые расположены на противоположных стенах классной комнаты. Чему равно расстояние между этими прямыми?

Ответ: Или длине классной комнаты или ее ширине.

3. Задача: Как расположены оси железнодорожных вагонов между собой?

Относительно рельса?

Ответ: Между собой параллельны, относительно рельса – скрещиваются.

4. Две скрещивающиеся прямые пересечены третьей. Сколько плоскостей можно провести так, чтобы каждая плоскость проходила через две прямые из трех данных прямых.

Ответ: две плоскости.

V. Итог урока.