Урок-проект по математике "Системы счисления". 5-й класс

Методический комментарий к уроку

Цели учителя: Показать учащимся методы интеграции знаний из различных источников, создать условия для продуктивной работы в группах.

Цели учащихся: Познакомиться с историей появления систем счисления, узнать принципы построения различных систем счисления и области их использования, получить необходимые навыки командной работы с различными источниками информации.

На уроке математике в 5-м классе во время выполнения задания, связанного с разложением по разрядам многозначных чисел, у учащихся возникли вопросы: “Почему мы считаем десятками? Почему нельзя считать по-другому? Есть ли другие способы счёта?”. Учителем было предложено найти ответы на данные вопросы путём поиска, анализа и обобщения информации по данной теме в течение недели, работая в малых группах, сформированных из учащихся класса по желанию. Результаты данной работы должны быть оформлены и представлены на уроке математике через неделю. По окончании урока класс разбился на следующие творческие группы:

• Системы счисления (общие понятия) – 5 человек
• Двоичная система – 7 человек (этот вопрос вызвал наибольший интерес)
• Шестидесятеричная система– 5 человек
• Десятичная система– 5 человек
• Другие системы счисления – 3 человека
• Перевод их одной системы в другую – 5 человек.

В результате поисковой деятельности учащихся получился следующий урок:

“Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир”

( И-В Гёте)

Группами учащихся были представлены результаты поисковой и аналитической работы.

I – Общие понятия

Системой счисления называется совокупность приёмов обозначения чисел – язык, алфавитом которого являются символы (цифры), а синтаксисом – правило, позволяющее сформулировать запись числа однозначно.

Число – это некоторая абстрактная сущность для описания количества

Цифра – это знак, используемый для записи чисел. Цифры бывают разные, самыми распространёнными являются арабские цифры; менее распространёнными римские цифры (можно увидеть на циферблате часов или в обозначении века)

Основание – количество цифр, используемых в системе счисления.

Примеры чисел в различных системах счисления:

11001₂ – число в двоичной системе счисления

221₃ – число в троичной системе счисления

31₈ – число в восьмеричной системе счисления

25₁₀ – число в десятичной системе счисления

В старых книгах по арифметике, кроме 4 арифметических действий, упоминается и пятое – нумерация. Нумерация (счисление) была одной из первых проблем, с которой столкнулись при построении арифметики.

Существует множество способов записи чисел с помощью цифр. Эти способы можно разделить на три группы:

• позиционные системы счисления
• смешанные системы счисления
• непозиционные системы счисления

Денежные знаки – пример смешанной системы счисления. Сейчас в России используются монеты и купюры следующих номиналов: 1коп., 5коп., 10коп., 50коп., 1руб., 2руб.,5руб., 10руб., 50руб., 100руб., 500руб., 1000руб., 5000руб. Чтобы получить некоторую сумму в рублях, надо использовать некоторое количество денежных знаков различного достоинства. Предположим, что мы покупаем пылесос, который стоит 6379 рублей. Чтобы заплатить за покупку потребуется 6 купюр по 1000 рублей, 3 купюры по 100 рублей, 1 пятидесятирублёвая купюра, две десятки, одна пятирублёвая и две монеты по 2 рубля. Если мы запишем количество купюр и монет, начиная с 100 рублей и заканчивая одной копейкой, заменяя нулями пропущенные номиналы, то мы получим число, представленное в смешанной системе счисления: в нашем случае – 603121200000.

В непозиционных системах счисления величина числа не зависит от положения цифр в записи числа. Если бы мы перемешали цифры в числе 603121200000, то мы бы не смогли понять, сколько стоит пылесос; в непозиционной системе цифры можно переставлять, при этом сумма не изменится. Примером непозиционной системы является римская система. Такие системы строятся по принципу аддитивности (англ. аdd. – сумма). Количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр. Например:

I=1

II=2

III=3

XXXI=31

В позиционных системах счисления всегда важен порядок расположения цифр в записи числа. (25 и 52 – разные числа)

Любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:

• возможность представления числа в заданном диапазоне чисел
• однозначность представления
• краткость и простоту записи
• лёгкость овладения системой, а так же простота и удобство оперирования ею

II – Двоичная система счисления

Двоичная система счисления – это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления натуральные числа записываются с помощью двух символов: 1 и 0. Цифра двоичной системы — бит. Восемь цифр – байт.

Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё в XVII-XIX веках. Выдающийся математик Лейбниц говорил: “Вычисление с помощью двоек…является для науки основным и порождает новые открытия… При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок”. Позже двоичная система была забыта, и только в 1936-1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательное применение двоичной системы при конструировании электронных схем.

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой.

Преимущества двоичной системы:

• Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. Две цифры легко представлены физическими явлениями: есть ток – нет тока; индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет т.д.
• Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать
• Двоичная арифметика является довольно простой.
• Возможно применение аппарата логики для выполнения побитовых операций

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используется таблица степеней числа 2.

III – Шестидесятеричная система счисления

В современное время шестидесятеричная система счисления используется для измерения времени, углов.

В представлении времени используются три позиции: часы, минуты, секунды, так как для каждой позиции приходится использовать 60 цифр, а у нас только 10, то для каждой шестидесятеричной позиции используются две десятичные цифры (00, 01, …), позиции разделяются двоеточием. h:m:s.

Рассмотрим действия в шестидесятеричной системе счисления на двух задачах:

1. Пирог нужно печь в духовке 45 минут. Сколько секунд потребуется?
2. Нужно испечь 10 пирогов. Сколько потребуется времени?

Чтобы производить вычисления в шестидесятеричной системе счисления нужно знать таблицы сложения и умножения шестидесятеричных чисел. Каждая таблица очень большая, она размером 60*60, мы то обычную таблицу умножения еле запомнили, а уж выучить шестидесятеричную таблицу нам будет ещё гораздо сложнее. Как же быть? Можно решать эти задачи в десятичной системе счисления, а потом результат перевести в шестидесятеричную.

45 минут=0*3600+45*60+0= 2700 секунд

2700*10=27000 секунд потребуется для выпечки 10 пирогов.

27000/60=450 (остаток 0)

450/60=7 (остаток 30)

7/60=0 (остаток 7) Получилось 07:30:00

IV – Десятичная система счисления

Представление чисел с помощью арабских цифр – самая распространённая позиционная система счисления, она называется “десятичной системой счисления”. Десятичной она называется потому, что использует десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Десятичная система счисления – наиболее известное достижение индийской математики (595год). Система с основанием 10 проникла по караванным путям из Индии во многие области Ближнего Востока. Постепенно эту систему всё шире стали применять в арабском мире, хотя одновременно в ходу оставались и другие системы. “Книга абака” Леонардо Пизанского (1202 год) была одним из источников для проникновения индийско-арабской системы нумерации в Западную Европу. Эта книга была грандиозным по тем временам трудом, в печатном виде она насчитывала 460 страниц. Её автор известен ещё и под именем Фибоначчи. Его книга представляла математическую энциклопедию своего времени. Десятичная система получила распространение и признание в Европе только в эпоху Возрождения.

V – Другие системы счисления

Шестнадцатеричная система счисления – используются следующие знаки для записи чисел: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, А, В, С ,D, E, F.

Двоично-десятичная система счисления. В такой системе каждая десятичная цифра кодируется определённой комбинацией цифр двоичной системы. Обозначение каждой десятичной цифры называется тетрадой. Пример:

125₁₀=000100100101_2-10 (3 тетрады)

0000=1 0100=4 1000=8

0001=1 0101=5 1001=9

0010=2 0110=6

0011=3 0111=7

Пятеричная система счисления – Первые математики умели считать лишь по пальцам одной руки, а если предметов было больше, то говорили так: “пять +один” и т.д. Иногда за основу принимали число 20 – число пальцев на руках и ногах. Из 307 систем счисления первобытных американских народов 146 были десятичными, 106 – пятеричными и десятичными. В более характерной форме система с основанием 20 существовала у майя в Мексике и у кельтов в Европе.

VI – Перевод из одной системы в другую

Связаны ли системы счисления между собой? Возможно, ли перевести число из одной системы в другую? Существует два основных правила перевода из одной системы в другую:

Перевод из любой другой в десятичную систему осуществляется по формулам:

11001₂ – 1*2⁴+1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰ =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25₁₀

221₃ -2*3²+2*3¹+1*3⁰=2*9+2*3+1*1=25₁₀

31₈ – 3*8¹+1*8⁰=3*8+1*1=25₁₀

25₁₀ – 2*10¹+5*10⁰=2*10+5*1=25₁₀

Перевод числа из десятичной системы в систему с любым основанием осуществляется по алгоритму:

25₁₀ перевести в число в двоичной системе

25/2=12 (остаток 1)

12/2=6 (остаток 0)

6/2=3 (остаток 0)

3/2=1 (остаток 1)

1/2=0 (остаток 1) Получили число 11001₂

25₁₀ перевести в число в троичной системе

25/3=8 (остаток 1)

8/3=2 (остаток 2)

2/3=0 (остаток 2) Получили 221₃

25₁₀ перевести в число в восьмеричной системе

25/8=3 (остаток 1)

3/8=0 (остаток 3) Получили 31₈

После представления результатов работы творческих групп были оценены все системы счисления по указанным в начале критериям и все пришли к выводу, что в результате исторического развития математики самая удобная система (десятичная) стала самой распространённой. При этом были горячие сторонники двоичной системы, считавшие, что она очень важна для электроники.

Закончен урок был синквейном.

Система счисления – удобная, быстрая, помогает, считает, записывает

“Счёт и вычисления – основа порядка в голове” (И. Песталоцци)

Источники информации

1. Д.Я. Стройк “Краткий очерк истории математики” (“Наука”, Москва, 1990 г.).
2. Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова “За страницами учебника математики” (“Просвещение”, Москва, 2008).
3. А.В. Дорофеева “Страницы истории на уроках математики” (“Просвещение”, Москва, 2007).
4. Интернет – ресурсы “Википедия”.

См. презентацию.