Язык математики

Класс: 9.

Тип урока: Комбинированный урок: повторение материала по теме «Правильные многоугольники», ознакомление с новым материалом «Фракталы», закрепления изученного материала и проверки знаний через создание групповой творческой работы.

Цели урока:

1. Показать использование «языка математики» через введение нового раздела «фрактальной геометрии».
2. Учить логике рассуждений, умению грамотно строить фразы с геометрическим содержанием, делать выводы и обобщения.
3. Содействовать развитию познавательного интереса через применение ИКТ и коммуникативных способностей через активное участие в процессе получения новых знаний.
4. Возбудить интерес к личностям ученых (Гаус, Мандельброт, Серпинский, Минковский и т.д.), которые внесли весомый вклад в развитие геометрии как традиционной так и современной .
5. Способствовать воспитанию положительного отношения к приобретению знаний, через развивающий дополнительный материал урока.

Задачи урока:

1. Актуализировать опорные знания связанные с правильным треугольником, четырехугольником и шестиугольником.
2. Познакомить:
   • с теоретическим материалом о фракталах, видах фракталов, основных составляющих фракталов
   • с интересными примерами фрактальной геометрии
   • с развивающей информацией о правилах построение фракталов
   • с дополнительным материалом из истории фрактальной геометрии
3. Продемонстрировать способы построения фракталов.
4. Дать возможность самостоятельно построить фрактал.
5. Продемонстрировать на примере фракталов и правильных многоугольников единый язык математики, через использование правильных многоугольников построении фрактальных структур.
6. Завершить получение новых знаний групповой работой «Аппликация» по созданию примера своего фрактала из правильных треугольников, четырехугольников или шестиугольников.

Во время урока учащиеся приобретут новые знания по теме «Фракталы», связанные с современной геометрией. Актуализируют и повторят знания по теме «Правильные многоугольники»; изучат дополнительный материал – создание из правильных многоугольников фрактальных структур. Познакомятся с дополнительным теоретическим материалом по теме, представленным в игровой форме в виде дополнительного раздаточного материала или слайдов презентации, и в познавательной форме в виде «Листов сопровождения ученика» с теоретическим материалом и практическим заданием.

Необходимое оборудование и материалы:

1. Мультимедийный комплекс.
2. Дополнительный материал: раздаточный материал «Кроссворд» на парту, листы цветной бумаги на группу, индивидуальные «Листы сопровождения ученика».
3. Линейка, карандаш, ручка.
4. Лист А3, ножницы и клей (на группу).

Мотивация учащихся: Познавательная.

План урока:

1. Повторение материала по теме «Правильные многоугольники»:
   • фронтальный опрос о правильных треугольниках, четырехугольниках, шестиугольниках;
   • демонстрация слайдов, показывающих практическое применение правильных многоугольников.
2. Объяснение нового материала.
   • демонстрация слайдов, на которых изображены фрактальные структуры;
   • разгадывание кроссворда,
   • работа с теоретическим материалом листа сопровождения
   • продолжение работы с кроссвордом
   • знакомство с примерами геометрических фракталов и приемами их построения
3. Применение полученных знаний.
   • построение фракталов, связанных с правильным треугольником и квадратом
   • творческая работа в группах по созданию фракталов
4. Подведение итогов урока.
   • представление творческих работ
   • рефлексия
5. Домашнее задание.

Проверка и оценивание ЗУНКов:

• Выполнение в конце урока творческой групповой работы в виде аппликации на тему «Фракталы из правильных многоугольников»
• Рефлексия деятельности на уроке
• Подведение итога урока в виде устного ответа на вопросы.

Домашнее задание: Эссе «Зачем нужны фракталы?»

Дополнительная необходимая информация:

• Приложение 1. Раздаточный материал «Кроссворд»
• Приложение 2. «Лист сопровождения ученика»

В помощь учителю:

Использованные источники и литература:

1. Дмитриев А., "Хаос, фракталы и информация", статья в «Науке и жизни», N5, 2001.
2. «Фракталы и теория хаоса» chaostarantula.narod.ru
3. «Вселенная фракталов» fractals.chat.ru
4. «Введение во фракталы» fractal.narod.ru

Обоснование, почему данную тему оптимально изучать с использованием ММК: Чтобы показать фрактальные структуры, которые являются сложными геометрическими формами, а также способы их построения «видео фрагменты» нельзя обойтись без использования ММК.

Советы по логическому переходу от данного урока к последующим: Данный урок лучше всего применять после проведения контрольной работы по главе «Длина окружности и площадь круга», перед изучением главы «Движение», т.к. здесь используется материал, который может связать как первую, так и последующую темы. Кроме введения новых понятий уделяется внимание правильным многоугольникам и различным преобразованиям, а также приобщает учащихся к современным открытиям, которые показывают, что геометрия не стоит на месте, а развивается.

Ход урока

Содержание урока	Презентационное сопровождение
«Язык математики» Озвучить эпиграф к уроку: «Природа говорит языком математики, буквы этого языка… математические фигуры» Г. Галилей.	Слайд 1
Подготовка к изучению нового материала через актуализацию опорных знаний
Учитель: «Недавно вы познакомились с интересными геометрическими фигурами – правильными многоугольниками. Давайте вспомним некоторые из них». Ученики: «Это правильные …треугольники».	Слайд 2
Ученики: «Это правильные …четырехугольники»	Слайд 3
Ученики: «Это правильные … шестиугольники».	Слайд 4
Учитель: «Что мы знаем об этих правильных многоугольниках? Одна минута на обсуждение в парах. 1 колонка – правильные треугольники, 2 колонка – правильные четырехугольники, 3 колонка – правильные шестиугольники. Схема рассказа: «Мы знаем, что …Количество (сторон, вершин, диагоналей, медиан, высот, биссектрис…). Свойства (признаки). Формулы (площади, периметра, стороны, радиуса вписанной окружности, радиуса описанной окружности)» Ученики 1-й колонки: «Мы знаем, что в правильном треугольнике три равных стороны, три равных по 60° угла, три равны и совпадающих между собой высоты, медианы, биссектрисы; один центр треугольника – точка пересечения высот, медиан, биссектрис, центр вписанной и описанной окружности. Мы знаем, что правильный треугольник самый маленький выпуклый многоугольник, единственный который не имеет диагоналей» Ученики 2-й колонки: «Мы знаем, что в правильном четырехугольнике четыре равных стороны, четыре равных по 90° угла, две равных диагонали. Точка пересечения диагоналей является центром вписанной и описанной окружностей.» Ученики 3-й колонки: «Мы знаем, что в шестиугольнике шесть равных сторон, шесть равных по 120° углов, 9 диагоналей …»	Слайд 5 Повторить формулу количество диагоналей
Одновременно с устной проверкой знаний, представители соответствующих колонок на доске записывают различные формулы, соответствующие данным правильным многоугольникам. Для проверки выводится на экран слайд с формулами.	Слайд 6
Примеры применения правильных многоугольников для создания красивого наборного паркета Паркет – красивые необычные узоры из правильных многогранников.	Слайды 7–9
Существуют и узоры особого образца. Это область удивительного математического искусства, когда с помощью простейших формул и алгоритмов получаются картины необычайной красоты и сложности! В контурах построенных изображений нередко угадываются листья, деревья и цветы. Что это такое? Есть ли здесь геометрия? Каков язык представленных явлений?	Слайды 10–18
Чтобы ответить на эти и другие вопросы, попробуем решить небольшой кроссворд. Учащимся на парту выдается раздаточный материал «Кроссворд» (Приложение 1) листы с вопросами и ответами, где нужно найти соответствие правого и левого столбиков, прочитать полученную фразу и правильно назвать номер строки в кроссворде.	Слайд 19
1) Апофема – это перпендикуляр, опущенный из центра вписанной окружности на одну из сторон правильного многоугольника. 2) Преобразование – одно из основных понятий математики, возникающее при геометрических исследованиях, когда приходится изменять все размеры фигур в одном и том же отношении. Например, подобие – это …, при котором полученные фигуры отличаются своими размерами, но имеют одинаковую форму. 3) Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) – 4) Окружность – геометрическая фигура, которую обычно используют для построения правильных n-угольников. 5) Самый маленький правильный многоугольник – равносторонний треугольник. 6) Квадрат или тетрагон (греч.) – один из простейших и повсеместно распространённых геометрических символов. Вместе с кругом выступает основой древних моделей мира. 7) Выпуклый многоугольник у которого все стороны равны и все углы равны называется правильным.	Слайды 20–21 В результате решения кроссворда в выделенном столбике образуется слово «фрактал». Раздать (Приложение 2) «Лист сопровождения ученика.
Работа с новым материалом.
Дополнительны материал: Слово “ Фрактал” – это что-то, о чем много людей говорит в наши дни, от физиков до учеников средней школы. Оно появляется на обложках многих учебников математики, научных журналов и коробках с компьютерным программным обеспечением. Цветные картинки фракталов сегодня можно найти везде: от открыток до футболок. За последние два десятка лет количество производимых в месяц единиц продукции, связанной с фракталами, увеличилось от нескольких десятков до многих тысяч! Итак, что это за цветные формы, которые мы видим повсюду вокруг? Фракталы – не просто сложные фигуры, сгенерированные компьютерами. Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: горы, облака, турбулентные (вихревые) течения, корни, ветви и листья деревьев, кровеносные сосуды, что далеко не соответствует простым геометрическим фигурам. Термин «фрактал» был введён в 1975 году; он происходит от латинских слов fractus – дробленный, сломанный, разбитый.	Слайды 22–23 Впишите полученное слово в клетки и пропущенные места пункта 1 в ваших Листах сопровождения.
Кто ввел этот термин? (восстановить фамилию ученого) Задание ученикам: «В кроссворде выделены буквы, составьте из них фамилию ученого и впишите в клетки таблицы под 2 на «Листах сопровождения».	Впишите полученную фамилию в пункт 2 на листе сопровождения Ответ: МАНДЕЛЬБРОТ
Бенуа Мандельброт (1924–2010) – французский математик, более всего известен как отец фрактальной геометрии. Он обладал необычным математическим даром, имел великолепное пространственное воображение, которое приводило к оригинальным решениям. Он даже алгебраические задачи решал геометрическим способом. Термин фрактал введен Бенуа Мандельбротом в его фундаментальной работе "Фракталы, Форма, Хаос и Размерность». "Почему геометрию часто называют холодной и сухой?» – этими словами начинается "Фрактальная геометрия природы", написанная Бенуа Мандельбротом. – «Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, горы – не конусы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности". Именно эта книга в 1983 году положила начало всеобщему увлечению фракталами.	Слайд 24
Фракталы бывают разных типов. Посмотрите на их причудливые формы, которые простым геометрическим способом построения вряд ли можно построить. Здесь применяются различные компьютерные программы*, основанные на алгебраических вычислениях, поэтому часть фракталов относится к алгебраическим. Сегодня мы уделим внимание в основном геометрическим фракталам. Примеры: Фрактал Мандельброта, Кривая дракона – автор итальянский математик – Джузеппе Пеано, Пятиугольник Дарера.	Слайды 25- 27. *Возможна демонстрация фракталов с музыкой из Интернет Фракталы – Видео@Мail.Ru
Геометрические фракталы самые наглядные. Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Их получают с помощью некоторой ломаной называемой генератором. Попробуем разобраться в приемах построения фракталов. Возьмем за начальный элемент построения часть прямой линии – это инициатор. Зададим рисунок, т.е. определим ломаную (генератор), которая и будет повторяющейся структурой нашего фрактала. (Слайд 28. Кривая Минковского. Герман Минковский – немецкий математик). Слайд 29 показывает построение фрактала, где инициатор – прямая, генератор – квадрат, построенный на трети отрезка.	Слайды 28–29( анимация)
Например. Кривая Коха. Она была изобретена в девятнадцатом веке немецким математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор – прямая линия. Генератор – равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие, как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха.	Слайд 30 (анимация)
Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево. Впервые дерево Пифагора построил А. Е. Босман (1891–1961) во время второй мировой войны, используя обычную чертёжную линейку.	Слайды 32–35
Практическая деятельность, направленная на осмысление и закрепление полученных знаний
Рассмотрим «Треугольник Паскаля» – арифметический треугольник. (Французский философ, писатель, математик и физик Блез Паскаль (1623–1662) рано проявил свои выдающиеся математические способности.) «Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике». Мартин Гарднер В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Задание ученикам: «Заполните с 6-й по 10-ю строки треугольника Паскаля на «Листах сопровождения». Устная проверка заполнения строк: 6-я: 6, 15, 20, 15, 6 7-я: 7, 21, 35, 35, 21, 7 8-я: 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8 9-я: 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36 ,9 10-я: 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10.	Слайды 35–38
Перейдем к интересному свойству треугольника Паскаля. Заменим каждое число в треугольнике Паскаля точкой. Треугольник Паскаля разобьется на более мелкие треугольники, образующие изящный узор. Узоры эти таят в себе много неожиданностей. 1. Треугольник, построенный "относительно" числа 7, то есть, числа, не делящиеся на 7 без остатка, нарисованы черным цветом, делящиеся – белым.	Слайд 39
2. Треугольник, полученный выделением чисел: красный цвет зависит, от четности числа, зеленый – от делимости его на 9, а синий – от делимости на 11…	Слайд 40
3. Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в желтый , а чётные – в прозрачный , то образуется треугольник Серпинского. В. Серпинский – польский математик. Слайд 40	Слайд 41
Одно из свойств фракталов – самоподобие. Практическое задание учащимся на «Листах сопровождения»: Возьмем треугольник. Проведем средние линии, образованный ими треугольник закрасим контрастным цветом. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его – получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием. Мы построили «Фрактал Серпинского». Вывод: «Решетка Серпинского». Инициатор – большой треугольник, а генератор – операция вырезания треугольников, подобных большему.	Слайд 42
Чтобы получить ковер Серпинского, возьмем квадрат, разделим его на девять квадратов, а средний вырежем. То же сделаем и с остальными, меньшими квадратами. В конце концов образуется плоская фрактальная сетка, не имеющая площади, но с бесконечными связями. Задание учащимся: «Попробуйте изобразить этот фрактал» В своей пространственной форме, губка Серпинского преобразуется в систему сквозных форм, в которой каждый сквозной элемент постоянно заменяется себе подобным. Эта структура очень похожа на разрез костной ткани. Когда-нибудь такие повторяющиеся структуры станут элементом строительных конструкций. Их статика и динамика, считает Мандельброт, заслуживает пристального изучения.	Слайд 43
Фрактальная геометрия, возможно, поможет опровергнуть взгляд на математику как на сухую и недоступную дисциплину и станет дополнительным стимулом для учащихся в освоении этой интересной и увлекательной науки. Даже сами учёные испытывают почти детский восторг, наблюдая за быстрым развитием этого нового языка – языка фракталов – языка математики.	Слайд 44
Задание учащимся по группам (группы-колонки): «Создать из правильных многоугольников свой фрактал и дать ему название». Выдать лист А3, разноцветные правильные многоугольники, клей.	«Попробуй простую фигурку сложить, И вмиг увлечёт интересное дело." Японская мудрость. Слайд 45
Завершающий контроль
1. Представление творческих работ 2. Рефлексия: · Что нового узнали сегодня на уроке? · Нужно ли включить изучение фракталов в геометрию? · Хотели бы вы больше узнать о фракталах?	Слайд 46
Домашнее задание. Эссе «Зачем нужны фракталы?»