Цель: решение олимпиадных задач.
Задача: научить применять различные методы к решению задач.
ХОД ЗАНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА
На сцене темно. Тихо звучит приятная музыка. Зажигается свет. Включается проектор. На экране (слайд): гостиная в доме 221-б на Бейкер-стрит. На сцене: Шерлок Холмс сидит в кресле и просматривает вечернюю газету. Входит Ватсон.
Холмс. Здравствуйте, друг мой, Ватсон. Я вижу, вы решили на время забыть о медицине и заняться геометрией.
Ватсон. Но как вы узнали?
Холмс. У вас из кармана торчит номер вчерашней газеты с конкурсом олимпиадных задач. Видно, что вы извели немало чернил, потратили много драгоценных минут, пытаясь решить хотя бы одну из задач.
Ватсон. Однако с чего вы взяли, Холмс, что я не решил ни одной задачи? Хотя правда, так оно и есть. Я ничего не смог решить.
Холмс. Не обижайтесь, дорогой Ватсон. Кстати, все задачи решаются практически одинаково, если к ним конечно, правильно подойти и применить нужные методы решения. Правда, я не видел еще задач этого конкурса, но… Впрочем, давайте вместе посмотрим.
На экране:
Задача 1. Точка О находится внутри квадрата АВСD, причем углы ОСВ и ОВС имеют величину 15 градусов. Докажите, что треугольник ОАD – равносторонний.
Ватсон. По загадочности эта задача напоминает мне дело о похищении персидского шаха. Вы помните, Ватсон, как все это было?
Холмс. Да что вы, друг мой! Все гораздо проще. Излагаю вам решение прямо сейчас. Применим здесь «метод обратного хода». Я думаю, что из решения вы поймете, в чем он состоит. Рассмотрим точку Х, которая является третьей вершиной равностороннего треугольника, две вершины которого – точки A и D.
Ватсон.Но таких точек две.
Холмс.Непременно, мы возьмем ту, которая лежит внутри квадрата и найдем углы ХВС и ХСВ. Ну, Ватсон, тут вам как приверженцу точных наук и карты в руки. Сосчитали?
На экране: чертеж к задаче.
Ватсон. Сейчас, сейчас… Надо воспользоваться тем, что ВАХ и ХСD – равнобедренные треугольники. Ба! Да ведь эти углы равны по 15 градусов! Ну и что же…
Холмс. Да ведь это означает, что точки О и Х совпадают. Это же элементарно, Ватсон.
Ватсон. Потрясающе! Но … во второй задаче этот ваш метод не поможет.
Холмс. Ну, так мы применим другой мкетод. Итак…
На экране:
Задача 2. В выпуклом четырехугольнике АВСD длины сторон равны a, b, c, d. Докажите, что площадь четырехугольника АВСD не превосходит 1/2(a + b)(c + d).
Холмс. Да, это совсем другая задача, совсем другого типа…Мне Ватсон сразу вспоминается шифр профессора Мориарти.
Ватсон. Да, это была хитрая штука. Все-таки он был великолепным математиком. Но вы отвлеклись, Холмс!
Холмс. Это вы замечтались, Ватсон. За это время я уже решил вашу задачу. Послушайте: сначала раскроем скобки и упростим. (На экране: упрощение выражения). Нужно изменить подход к решению задачи. Запомните, Ватсон, «метод упрощения»: сначала нужно перебрать самые простые и естественные пути решения задачи.
На экране: чертеж к задаче.
Ватсон. Доказать, что сумма ad + bc не меньше удвоенной площади четырехугольника, я и сам умею: ad не меньше удвоенной площади треугольника АВD, а bc не меньше удвоенной площади треугольника ВСD – вот и все. А что делать с выражением ac + bd?
Холмс. Тут вам поможет «метод аналогии». Надо только последовательно и логично мыслить, друг мой, – это необходимо в математике, как и в криминалистике. За счет чего вам удалась предыдущая оценка? Вам помогло то, что стороны a, d и в, с находятся рядом, не так ли? Значит, надо сделать так, чтобы рядом оказались а и с.
Ватсон. А b и d?
Холмс. Ватсон, только подумайте, если a и с будут рядом, то b и d, конечно же, также будут рядом. Так что всегда надо проверять, не являются ли какие-то условия лишними. Итак, что же нужно сделать с нашим четырехугольником, чтобы его площадь не изменилась, а стороны а и с оказались рядом? … Что же вы, друг мой молчите… А с вами ли ваш скальпель?
Ватсон. Нет, не со мной. Зачем он вам... Гениально! Я догадался! В самом деле, надо просто разрезать АВСD по диагонали ВD и … перевернуть одну из частей. (На экране: чертеж к задаче). Тогда рассуждая так же, как и раньше, получаем, что ас+bd не меньше удвоенной площади четырехугольника АВСD. Складываем два неравенства и получаем то, что и требовалось доказать. Просто замечательно!!!
Холмс. Заметьте, что тут мы использовали «динамический метод», изменив по ходу решения задачи ее данные. Это вообще замечательно. Метод гласит: изменяйте все, что вам угодно, в задаче – формулировку, данные задачи, то, что вам нужно доказать – лишь бы решение новой задачи давало решение старой. Ну, например, если вам нужно поймать преступника, то не забывайте, что он живой человек и может свободно передвигаться по театру вами придуманных боевых действий.
Ватсон. Что-то я не понимаю вас…
Холмс. А вот давайте, Ватсон, вместе посмотрим на третью задачу.
Ватсон. Только я вас умоляю, Холмс, рассказывайте сразу ход ваших мыслей, а не просто решение. Я уже стал удивляться.
Холмс. Я постараюсь, друг мой. Итак…
На экране:
Задача 3. Две окружности С1 и С2 пересекаются под прямым углом в точках А и В. Точка Х лежит на первой окружности, но внутри второй. Лучи АХ и ВХ пересекают окружность С2 в Р и К. Докажите, что отрезок РК является диаметром окружности С2.
Ватсон. Условие этой задачи я просто не понял. Что значит – окружности пересекаются под прямым углом? Бред какой-то!
Холмс. Да нет же, Ватсон! Это просто означает, что касательные к ним в точках пересечения перпендикулярны. Так вот, смотрите, как работает здесь «метод динамики». Давайте подвинем точку Х по дуге АВ окружности С1 – она станет точкой Х1, а лучи АХ1 и ВХ1 будут пересекать окружность С2 в точках Р1 и К1 – посмотрите на чертеж. (На экране: чертеж к задаче). Очевидно, что углы Х1АХ и Х1ВХ равны. Значит, равны угловые величины дуг РР1 и КК1. А это означает, что дуга Р1К1 равна дуге РК.
Ватсон. Но как вам пришло в голову доказать именно это, Холмс?
Холмс. Но подумайте сами, друг мой, если при любом положении точки Х на дуге АВ отрезок РК – диаметр, то как бы мы ни сдвинули точку Х, угловая величина дуги РК не должна изменяться. Если верно то, что нужно доказать в задаче, то, очевидно, должно быть верно и это. Опять «метод обратного хода». А теперь, Ватсон, продолжим двигать точку Х до точки B. Что получим? Дуга РК будет равна 180о.
Ватсон. Это ещепочему же? Ах, да, я забыл, мы пользуемся тем, что окружности пересекаются под прямым углом. Надо использовать все данные задачи и все время помнить о том, что они должны быть как-то использованы.
Холмс. Когда используем все данные задача, я называю это «методом полноты решения».
Ватсон. Можно подумать, что у вас в каждом кармане по методу!
Холмс. Нет, дорогой друг, они у меня в голове. Должен, вам, впрочем, заметить, что этот метод иногда не применим в реальной жизни. Некоторые факты, с первого взгляда подозрительные или прямо указывающие на преступника, затем оказываются чистой случайностью или отвлекающими маневрами настоящего виновного. Вспомните хотя бы дело о берилловой диадеме… Ну и, наконец, последняя задача.
На экране:
Задача 4. АВС – равнобедренный треугольник с углом при вершине С, равным 20о. Точки М и Н взяты на сторонах АС и ВС так, что величина угла НАВ – 50о, угла МВАК – 60о. Докажите, что угол НМВ равен 30о.
На экране: чертеж к задаче.
Ватсон. Я пытался было вычислить этот угол с помощью формул тригонометрии…
Холмс. Друг мой, берегите здоровье! Лучше почитайте газеты, а я уделю этой задаче несколько минут.
Пять-шесть минут Ватсон читает газету, Холмс и все присутствующие изучают рисунок. Слышна тихая спокойная музыка.
Холмс. Итак, Ватсон, слушайте решение. Задача, действительно не из простых. Рассмотрим на стороне ВС точку Р такую, что величина угла РАВ = 60о. Ясно, что прямая РМ параллельна прямой АВ и что треугольник РКМ (а К, Ватсон, это точка пересечения отрезков РА и ВМ) – равносторонний. Так как треугольник ВНА равнобедренный, то длины отрезков ВН, ВА и ВК равны и углы ВНК и ВКН равны по 80о. Отсюда мы легко получаем, что угол НКР = 40о. Но угол НРК также равен 40о. Значит, треугольник НКР – равнобедренный, и, следовательно, МН – биссектриса угла ВМР. Следовательно, величина угла НМВ равна половине угла КМР и равна 30о. Вот и все.
Ватсон. Но как?! Как вы ухитрились придумать это решение?
Холмс. Ну что же, милый Ватсон, я, пожалуй, мог бы вам рассказать захватывающую историю о том, как я, при помощи десятка умело подобранных методов, придумал решение… Не смейтесь, Ватсон, некоторые методы мне, конечно, пригодились. Например, замечательный «метод цели» – надо все время помнить, что осталось сделать для достижения цели. Ну и еще некоторые мелочи… Однако, друг мой, для решения задачи требуется и еще кое-что, кроме набора стандартных правил размышления. Еще нужны и такие вещи, как опыт и интуиция. Неужели вы думаете, что все так просто – надо только выучить много «методов» и научиться их применять в какой-то последовательности? К счастью, человеческое мышление есть нечто неизмеримо большее… Хотя, конечно, и эти «методы», которые по сути своей есть не что иное, как штампы мысли, могут принести реальную пользу. Ничем рациональным пренебрегать нельзя, Ватсон!
Ватсон. Ого! Послушайте, Холмс: «Вчера ночью неизвестные злоумышленники украли из сейфа редакции газеты главный приз ежегодного конкурса геометрических задач – золотой лист Мебиуса…» Дорогой Ватсон, поймать этих преступников для вас и для меня – дело принципа!
Свет гаснет, заключительный аккорды музыки.
Домашнее задание:
Помните в каждой задаче своя «изюминка».
- Точка В лежит внутри прямого угла с вершиной О, а точки А и С – на двух его сторонах. Докажите, что периметр треугольника АВС не меньше удвоенной длины отрезка ОВ.
- Безрукий вор хочет столкнуть носом какую-нибудь монету со стола у менялы, не задев его остальных монет (чтобы не звякнуть). Удастся ли это ему? Монеты круглые, размеры их, возможно, различны и лежат они, не касаясь друг друга.
При подготовке занятия математического кружка использованы материалы журнала «Квант» за 1989 год.