Тема урока: "Простой способ решения непростых неравенств "

Цель: применение метода интервалов для решения неравенств высоких степеней, дробно-рациональных неравенств

Задачи урока:

• Закрепление изученного материала.
• Формирование умений применять алгоритм к решению неравенств методом интервалов.
• Развитие познавательной активности, творческих способностей, навыков самостоятельной работы.
• Воспитание интереса к предмету.

Оборудование: карточки с алгоритмом решения неравенств второй степени графическим способом и методом интервалов (приложение 1), презентация (приложение 2), электронный тест, созданный в Microsoft Excel (приложение 3), проектор, экран.

Ход урока

Организационный момент.

Повторение и закрепление пройденного материала.

- Проверка домашнего задания, разбор задач, вызвавших затруднения.

- Фронтальная работа с классом.

Ответить на следующие вопросы:

Неравенство какого вида называется неравенством второй степени с одной переменной?

Назовите способы решения неравенств второй степени?

Какой способ решения неравенств второй степени, по-вашему, является наиболее удобным, простым?

Правило расстановки знаков при решении неравенств методом интервалов?

(Если все линейные множители различны, то знаки функции будут чередоваться, причем если коэффициенты при х положительны, то в крайнем правом промежутке функция положительна).

(В это время два ученика работают у доски по карточкам (приложение 1). Необходимо правильно расположить пункты алгоритмов решения квадратных неравенств графическим способом и методом интервалов).

- Устный счет

Разложите на множители .

Решите уравнение

.

Решите неравенства методом интервалов

Найти область определения функции .

Изучение нового материала.

Метод интервалов - наиболее удобный и универсальный способ решения любых неравенств. Он позволяет решать более сложные неравенства, у которых левая часть - многочлен любой степени, представляемый в виде простых множителей, или дробь, у которой числитель и знаменатель также многочлены, разлагаемые на множители.

Профессор Копенгагенского университета, специалист по истории математики Г.Цейтен говорил, что "Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах".

Применим метод интервалов к решению неравенств высоких степеней. Рассмотрим схему решения на следующем примере.

(На каждую парту раздается карточка с алгоритмом решения неравенств методом интервалов).

Пример 1. Решим неравенство

Решение:

Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что - корень многочлена кратности .

Рассмотрим функцию f(x)= . D(f)=R.

Нули функции: кратности 6; кратности 3; кратности 1; кратности 2; кратности 5.

Отметим нули функции на координатной прямой. Корни четной кратности подчеркнем двумя черточками, нечетной кратности - одной чертой.

Определим знак функции на каждом из полученных промежутков.

Выберем промежутки, в которых функция .

Из рисунка видно, что решением неравенства являются

Вывод. Внимательно посмотрите на рисунок, что можно заметить?

(При переходе через точки четной кратности смена знаков не произошла, при переходе через точки нечетной кратности - знак меняется).

Давайте проверим, подтвердится ли данное наблюдение при решении следующих неравенств.

Решите неравенство.

I вариант: ;

II вариант: .

(Учащиеся решают неравенства самостоятельно, два ученика - на откидной доске).

Вывод:

Для решения неравенства важно определить кратность нулей функции.

При переходе через точку четной кратности знак функции не меняется.

При переходе через точку нечетной кратности знак функции меняется.

Рассмотрим способы решения рациональных неравенств методом интервалов.

Заметим, что рациональные неравенства легко сводятся к решению неравенств высоких степеней. Умножим обе части такого неравенства на многочлен , который положителен при всех допустимых значениях х (т.к. ). Тогда знак исходного неравенства не меняется, и получаем неравенство , эквивалентное данному неравенству.

Итак, эквивалентно системе неравенств которая далее решается методом интервалов.

Пример 2. Решим неравенство

Введем функцию

Найдем ОДЗ.

, откуда

Разложим в числителе квадратный трехчлен на множители, получим.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули функции и определим их кратность: х =1 (четная кратность), остальные корни 3, -1, 0, 5, -2 (нечетной кратности). Отмечаем нули функции на координатной прямой с учетом области определения неравенства и определим знаки на промежутках с учетом кратности корней.

.

Динамическая пауза.

Расслабимся не отходя от математики:

1. Покажите направление ветвей параболы, если старший коэффициент квадратичной функции а>0 , а<0

2. Покажите направление оси абсцисс левой рукой, а оси ординат правой рукой. Теперь покажите это быстро.

Закрепление материала

Фронтальная работа с классом № 390 (в, г), №331(в,г),

№334(в,г), №336(а,б), №337(в,г).

Электронный тест (приложение 3)(тест выполняется в парах)

I вариант.

II вариант.

Проверка теста производится автоматически. 3 правильных ответа - сообщение "Молодец!", в остальных - "Подумай!".

Задание на дом.

№335 (б,в), № 336 (в,г), №337(а,б), №338 (б,в).

Дополнительное задание

В целях подготовки к самостоятельной работе, имеющие доступ к сети интернет можете загрузить модуль Решение неравенств методом интервалов.

Подведение итогов урока, рефлексия.

Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, - это быть точным, второе - быть ясным и, насколько можно, простым. (Л. Карно)

Оцените свою работу на уроке (лесенка успеха).

Литература.

1. Учебник: Алгебра-9 класс, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, М.: Просвещение, 2011.
2. Рурукин А.Н., Полякова С.А., Поурочные разработки по алгебре: 9 класс. - М.: ВАКО, 2010 - (В помощь школьному учителю).
3. Модуль Решение неравенств методом интервалов. К1 http://www.eor.edu.ru/card/8604/reshenie-neravenstv-metodom-intervalov-k1.html на сайте http://fcior.edu.ru/
4. Шаблон презентации с сайта http://www.rusedu.ru/detail_9737.html