Цели урока:
- Образовательные: сформировать понятия: квадратное уравнение, приведённое квадратное уравнение, полное квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение; научить различать виды неполных квадратных уравнений и решать эти уравнения.
- Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление; вырабатывать умение анализировать и сравнивать.
- Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.
Оборудование к уроку: Доска и мел, компьютер и проектор, бумажные варианты всех заданий.
Технологии: ИКТ-технологии; технология проблемного обучения.
План урока:
1. Организационный момент «Настроимся на урок!»
2. Актуализация знаний
- Устные упражнения
- Тест «Разложите на множители»
- Самопроверка
3. Изучение нового. Определение квадратного уравнения
4. Физкультминутка
5. Изучение нового. Неполные квадратные уравнения, их виды и способы решения.
6. Самостоятельная работа
7. Самопроверка по эталону
8. Работа с учебником. Решение задачи №525.
9. Итог урока
10. Домашнее задание
11. Немного истории
12. Рефлексия
ХОД УРОКА
1. Организационный момент "Настроимся на урок!"
Цель:подготовка учащихся к работе, активизация внимания для быстрого включения в деятельность.
Учитель: Здравствуйте, ребята. Добрый день уважаемые гости нашего урока! Как вы думаете, можно ли прожить без математики? Зачем надо изучать математику?
Ответ на этот вопрос вы найдёте, если узнаете, что означает в переводе с греческого слово «математика». «Математика» – знание, наука. Именно поэтому, если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую ступень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к мудрости. Вот поэтому мне сегодня очень хочется, чтобы вы стали немного мудрее и расширили свои знания по математике. Мы с вами начинаем изучать новый большой раздел «Квадратные уравнения». Сегодня первый урок из этой главы, однако, вы уже умеете решать некоторые квадратные уравнения. Знания не только надо иметь, но и надо уметь их показать, что вы и сделаете на сегодняшнем уроке, а я вам в этом помогу.
Итак, тема сегодняшнего урока: «Неполные квадратные уравнения.
Сегодня у нас несколько необычный урок – урок-презентация неполных квадратных уравнений. Как вы думаете, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы? (Так как тема сегодняшнего урока « Неполные квадратные уравнения», то мы должны дать определение квадратного уравнения, научиться составлять квадратное уравнение по его коэффициентам, выбирать из предложенных уравнений квадратные. Речь идет о неполных квадратных уравнениях, значит надо выяснить определение и виды неполных квадратных уравнений и научиться их решать.)
Итак, наша цель: дать определение квадратного уравнения, научиться составлять квадратное уравнение по его коэффициентам, выбирать из предложенных уравнений квадратные, научиться решать неполные квадратные уравнения.
2. Актуализация знаний
Устные упражнения
а) Мы изучали тему «Уравнение х2 = а». Давайте вспомним её:
Решить уравнения: а) х2 = 11; б) х2 = – 8; в) 7 х 2 = 0; г) х2 – 5х = 0.
б) А сейчас вспомним формулы сокращённого умножения:
Разложить на множители: а) х2 – 64 = ; б) 36 – 25 х2 = ; в) 9 m2 – 16 n2 = ; г) 9 х 2 – 16 = .
Тест «Разложите на множители»
| 1 | х2 – х = | а) х (х – 1) | б) х (1 – х) |
| 2 | 4х2 +2х = | а) – х (2х + 2) | б) 2х (2х + 1) |
| 3 | 4х2 – 9 = | а) (2х – – 3) (2х + 3) | б) 2(х + 3) (х – 3) |
| 4 | 16 х3 – 25х= | а) х (4х – 5) (4х +5) | б) х (4х + 5) (5 – 4х ) |
Самопроверка по эталону.
3. Изучение нового материала. Определение квадратного уравнения
В 7 и 8 классах мы уже рассматривали (и даже
решали) квадратные уравнения.
Например: х2 – 4 = 0; 4х2 + 7х = 0; х2 –
6х + 9 = 0. Что общего в этих уравнениях? (Члены,
содержащие квадрат неизвестной)
В 7 классе мы изучали линейные уравнения.
Например: х – 5 = 0; 6х = 0; 7х + 9 = 0.
Чем эти уравнения отличаются от квадратных? (Они
содержат переменную только в первой степени)
Вспомните общий вид линейного уравнения. (kx+ b =
0, k ≠ 0)
Напишите по аналогии общий вид квадратного
уравнения. (ax2+ bx+ c = 0,а ≠ 0)
Попробуйте сформулировать определение
квадратного уравнения.
Определение квадратного уравнения
Квадратным уравнением называется
уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где а, b, с –
это коэффициенты квадратного уравнения, а ≠ 0.
Число а называют первым или старшим
коэффициентом, b – вторым коэффициентом, а c –
свободным членом.
Квадратное уравнение, первый коэффициент
которого равен 1, называют приведенным.
Например, х2 – 12х+30 = 0, х2–
5х = 0, 2 – √50 = 0.
Квадратное уравнение, у которого первый
коэффициент, не равен 1, можно привести к
приведенному, разделив обе части уравнения на
коэффициент при х2.
Замечу, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, т. к. его левая часть является многочленом второй степени.
1) Является ли квадратным уравнение?
а) 3,7х2 –5х + 1 = 0
б) 48х2 – х3 – 9 = 0
в) 2,1х2 + 2х – 0,11 = 0
г) 1 – 12х = 0
д) 7х2 – 13 = 0
е) – х2 = 0
2) Рассмотрим уравнение: (а – 1)х2 + 4ах + 5а + 2 = 0. Если старший коэффициент а – 1 ≠ 0, то уравнение является квадратным. Если а – 1 = 0, то при подстановке этого значения в данное уравнение получаем уравнение 4х + 7 = 0, которое является линейным.
3) Выписать коэффициенты предлагаемых уравнений:
| № | уравнение | а | в | с |
| 1 | 2х2 – 8х + 9 = 0 | |||
| 2 | 4х2 – 9 = 0 | |||
| 3 | 4х2 = 0 | |||
| 4 | х2 – 4х = 0 | |||
| 5 | 2 – 3х2 + 4 х = 0 | |||
| 6 | 24 + 6 y2 = 0 |
Оцените себя:
«5» – нет ошибок,
«4» – одна ошибка,
«3» – две ошибки,
«2» – три ошибки и более.
4. Физкультминутка
5. Изучение нового материала. Неполные квадратные уравнения, их виды и способы решения
Рассмотрим квадратные уравнения:
a) 2 x2 + 5x – 7 = 0
б) 3x2 – 8x = 0
в) 3x2 – 48 = 0
г) 2х2 = 0
Чем эти уравнения отличаются друг от друга? (В уравнениях б, в, г отсутствует один из членов). Как бы вы назвали эти уравнения? (Неполными квадратными уравнениями)
Определение неполного квадратного уравнения
Если в квадратном уравненииа х2 + bх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю,то такое уравнение называютнеполным квадратным уравнением.
Виды неполных квадратных уравнений
Если b = 0 , то уравнение имеет вид ах2
+ с = 0;
Если с = 0 , то уравнение имеет вид ах2
+ bх = 0;
Если b = 0 и с = 0, то уравнение имеет вид ах2
= 0.
Пример: При каком значении а уравнение 5 х2 + (3а – 6) х + а + 5 = 0 является неполным квадратным уравнением?
Так как старший коэффициент данного уравнения
равен 5, то оно всегда является квадратным. Такое
уравнение будет неполным, если его второй
коэффициент или свободный член равны нулю.
Если второй коэффициент равен нулю (т.е. 3а – 6 = 0),
то уравнение примет вид 5х2 + 7 = 0 и является
неполным квадратным уравнением.
Если свободный член равен нулю (т.е. а + 5 = 0), то
уравнение примет вид 5х2 – 21х = 0 и также
является неполным квадратным уравнением.
Общее решение неполного квадратного уравнения
| 1. ах2 + bх = 0; а ≠ 0 , b ≠ 0, с = 0. х (ах + b) = 0; х = 0 или ах + b = 0 х = – b/a |
2. ах2 + с = 0; а ≠ 0 , b = 0, с ≠ 0. х2 = – с/a если – с/a > 0; два корня х1 и х2 если – с/a < 0 ; нет корней. х1 = х2 = |
3. ах2 = 0; а ≠ 0 , b = 0, с = 0. х = 0 |
6. Самостоятельная работа
1. Решить уравнение (за каждое правильное решение 1 балл)
| а) 2x2 – 18 = 0 б) 5x2 + 15x = 0 в) x2 + 5 = 0 |
а) 6x2 – 12 = 0 б) 3х2 + 12 x = 0 в) 7 + x2 = 0 |
2. Составить квадратное уравнениеимеющее корни (2 балла)
- 3 и –3
- 0 и 6
3. Решить уравнение (3 балла)
(x + 1)2 + (1 + x) 5 = 6 (x – 4) (x + 4) = 2x – 16
(Два ученика решают самостоятельную работу на дополнительной доске. Если есть ещё компьютеры в классе, то использую электронное пособие «Уравнения и неравенства» из серии « Интерактивная математика» издательство «Экзамен»).
7. Самопроверка по эталону
8. Работа с учебником
Решение задачи № 525 (ученик решает у доски)
9. Итог урока
1. Напишите общий вид квадратного уравнения.
Приведите примеры квадратных уравнений.
2. Какое квадратное уравнение называется
неполным? Приведите примеры неполных квадратных
уравнений.
3. Перечислите три вида неполных квадратных
уравнений. Какие корни имеют эти уравнения?
4. Как называется квадратное уравнение, у
которого первый коэффициент равен 1?
5. Подбери концовку определения
Уравнение называется:
| а) квадратным, если | a = 0 |
| б) неполным, если | a ≠ 0 |
| в) приведённым, если | b = 0 или с= 0. |
| г) линейным, если | a = 1 |
10. Домашнее задание:
п.21 № 518 (г, д, е); 521.
Творческое задание (с параметром): (карточки)
1) При каких значениях aуравнение является квадратным? Напишите это уравнение.
- (a – 1)x3 + 4ax2 – 5x – 3a = 0
- (4a – 6)x3 + (4a + 3) x2 – 5ax – 7 + a = 0
2) При каких значениях а уравнение является неполным квадратным уравнением?
Напишите это уравнение и решите его.
- 3х2 – (а – 4)х + 12 =0
- (2а + 3)х2 + (а + 2)х + 9 = 0
- 5х2 +18х + (7 – а) = 0
- (3а – 8)х2 – (а – 3)х – (а + 1) = 0
11. Немного истории (выступление учащегося)
По словам математика Лейбница, "кто хочет
ограничиться настоящим без знания прошлого, тот
никогда его не поймет".
Квадратные уравнения – это фундамент, на котором
покоится величественное здание алгебры. Они
находят широкое применение при решении
различных тригонометрических, показательных,
логарифмических, иррациональных,
трансцендентных уравнений и неравенств,
большого количества разных типов задач.
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в
499 г. В Древней Индии были распространены
публичные соревнования в решении трудных задач.
Квадратные уравнения решали в Вавилоне около 2000
лет до нашей эры, а Европа 8 лет назад
отпраздновала 800летие квадратных уравнений,
потому что именно в 1202 году итальянский ученый
Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного
уравнения. И лишь в 17 веке, благодаря Ньютону,
Декарту и другим ученым эти формулы приняли
современный вид.
12. Рефлексия
На заключительном этапе урока предлагаю дать оценку своей работы на уроке («да»; «нет»)
- Было ли тебе интересно на уроке?
- Сумел ли ты приобрести новые знания и умения на уроке?
- Сумел ли ты применить свои знания?
- Какой отметкой ты бы оценил свою работу на уроке?
Сегодня мы провели большую работу на уроке,
которая подняла нас на новый уровень знаний. И
хотелось бы закончить урок такими словами:
«Образование – это не количество прочитанных
книг, а количество понятых».
Спасибо за урок.