Цель
1. Ознакомление и приобретение навыков вычисления наибольшего, наибольшего значения функции в ограниченной области.
Основные вопросы:
1. Наибольшее и наименьшее значение функции.
2. Ограниченная область.
3. Равномерно непрерывная функция.
Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в этой области найдется, по крайней мере, одна точка
N(x0, y0, …), такая, что для остальных точек верно неравенство
f(x0, y0, …) i f(x, y, …)
а также точка N1(x01, y01, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство
f(x01, y01, …) J f(x, y, …)
тогда f(x0, y0, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x01, y01, …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.
Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки m O[m, M] существует точка
N0(x0, y0, …) такая, что f(x0, y0, …) = m.
Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.
Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной
области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что
для всех точек области верно неравенство
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа e существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполнено неравенство
Точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения в ограниченной замкнутой области, называют также точками абсолютного или глобального экстремума. Если наибольшее или наименьшее значения достигаются во внутренних точках области, то это точки локального экстремума функции z = f (x , y ) . Таким образом точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения являются либо локальными экстремумами, либо граничными точками области. Следовательно, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x , y ) в ограниченной замкнутой области D, следует вычислить значение функции в критических точках области D, а также наибольшее и наименьшее значения функции на границе. Если граница задана уравнением φ (x , y ) = 0 , то задача отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на границе области D сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений (абсолютного экстремума) функции одной переменной, так как уравнение границы области D – φ (x , y ) = 0 связывает переменные x и y между собой. Значит, если разрешить уравнение φ (x , y ) = 0 относительно одной из переменных или параметрические уравнения границы области D и подставить их в уравнение z = f (x , y ) , то придем к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной. Если уравнение φ (x , y ) = 0 невозможно разрешить относительно одной из переменных или невозможно найти параметрическое задание границы, то задача сводится к отысканию условного экстремума.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = ƒ(х; у) состоит в следующем:
1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в них;
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = ƒ(х; у) на границах области;
3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее.
Задачи:
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х2у + ху2 + ху в замкнутой области, ограниченной линиями: у = 1/x, х = 1, х = 2, у = -1,5
Решение: Здесь z'x = 2ху + у2 + у, z'y = х2 + 2ху + х.
Находим все критические точки:
Решением системы являются точки (0; 0), (-1; 0), (0; -1), (-1/3; -1/3). Ни одна из найденных точек не принадлежит области D .
2. Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, СЕ и ЕА
На участке АВ:
Значения функции z(1) = 3, z(2) = 3,5.
На участке СЕ:
Значения функции z(1) = -3/4, z(2) = -4,5.
3. Найти наибольшее M и наименьшее m значения функции z = 4x2 – 2xy + y2 – 8x в замкнутой области D, ограниченной: x = 0, y = 0, 4x + 3y = 12 .
Решение
1. Построим область D (рис. 1.5) на плоскости Оху.
Примеры (домашнее задание)/
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х2у + ху2 + ху в замкнутой области, ограниченной линиями: х = 1, х = 2, у = 1,5
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2 x 3 − 6 xy + 3 y 2 в замкнутой области D, ограниченной осью OY, прямой y = 2 и параболой y = x 2 при x ≥ 0 .
3. Найти наибольшее M и наименьшее m значения функции z = 4x2 – 2xy + y2 – 8x в замкнутой области D, ограниченной: x = 0, y = 0, 4x + 3y = 12 .
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х2у + ху2 + ху в замкнутой области, ограниченной линиями: у = 1/x, х = 1, х = 2, у = -1,5
5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 + 3y2 + x – y1 в треугольнике, ограниченном прямыми x = 1, y = 1, x + y = 1.