Уравнение касательной к графику функции. 10-й класс

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

1. Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
2. Развивать логическое мышление, математическую речь.
3. Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер.

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”. (Слайд № 2)

Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.

Рассмотрим пример. (Слайд № 3)

Пусть дана парабола и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)

1. Сформулировать определение производной. (Слайд № 5)
2. Заполнить таблицу произвольных элементарных функций. (Слайд № 6)
3. Вспомнить правила дифференцирования. (Слайд № 7)
4. Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно) (Слайд №8)

IV Изучение нового материала.

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле .

Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле .

Следовательно, .

Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)

Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке .

Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)

Причем, если :

1. 
2. 
3. .

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть, прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:

– уравнение касательной к графику функции. (Слайд № 12)

Рассмотрим примеры:

Составим уравнение касательной:

1. к параболе в точке (Слайд № 13)
2. к графику функции в точке

(Слайд № 14)

Решая эти примеры мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем: (Слайд № 15)

1. Обозначим абсциссу точки касания буквой a.
2. Вычислим .
3. Найдем и .
4. Подставим найденные числа , в формулу

Рассмотрим типичные задания и их решение.

№1 Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

(Слайд № 16)

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .

1)

2)

3) ;

4) Подставим найденные числа ,, в формулу.

Получим:

, т.е.

Ответ:

№2 К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой . (Слайд № 17)

Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .

Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно: ; .

Из уравнения ,т.е. , находим, что и . Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.

Действуем по алгоритму.

1) ,

2) ,

3)

4) Подставив значения ,, , получим , т.е. .

Подставив значения ,, , получим , т.е.

V. Решение задач.

1. Решение задач на готовых чертежах (Слайд № 18 и Слайд № 19)

2. Решение задач из учебника: № 29.3 (а,в), № 29.12 (б,г), № 29.18, № 29.23 (а) (Слайд № 20)

1. Ответьте на вопросы:

• Что называется касательной к графику функции в точке?
• В чем заключается геометрический смысл производной?
• Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?

3. Выставление отметок.

№ 29.3 (б,г), № 29.12 (а,в), № 29.19, № 29.23 (б) (Слайд №22)

Литература. (Слайд 23)

1. Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010.
4. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010.