Тип урока: изучение нового материала.
Методы обучения: наглядный, частично поисковый.
Цель урока.
- Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
- Развивать логическое мышление, математическую речь.
- Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.
Оборудование: интерактивная доска, компьютер.
План урока
I. Организационный момент
Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.
II. Актуализация знаний.
(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)
Вспомним, что же такое касательная?
“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”. (Слайд № 2)
Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.
Рассмотрим пример. (Слайд № 3)
Пусть дана парабола и две прямые
, имеющая с данной параболой одну общую
точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая
прямая не является к данной параболе касательной
(Рис. 1), а вторая является (Рис.2).
На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?
Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.
Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)
III. Подготовительная работа к изучению нового материала.
- Сформулировать определение производной. (Слайд № 5)
- Заполнить таблицу произвольных элементарных функций. (Слайд № 6)
- Вспомнить правила дифференцирования. (Слайд № 7)
- Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно) (Слайд №8)
IV Изучение нового материала.
Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.
Пусть дан график функции . На нем выбрана точка
, в этой точке к
графику функции проведена касательная (мы
предполагаем, что она существует). Найти угловой
коэффициент касательной.
Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3)
точку P с абциссой
. Угловой коэффициент секущей MP, т.е.
тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется
по формуле
.
Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет
приближаться по кривой к точке М. Касательную мы
охарактеризовали как предельное положение
секущей при этом приближении. Значит,
естественно считать, что угловой коэффициент
касательной
будет вычисляться по формуле
.
Следовательно, .
Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)
Или по другому. Производная в точке х = а
равна угловому коэффициенту касательной к
графику функции y = f(x) в этой точке .
Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)
Причем, если :
.
Выясним общий вид уравнения касательной.
Пусть, прямая задана уравнением . Мы знаем, что
. Для вычисления
m воспользуемся тем, что прямая проходит через
точку
.
Подставим в уравнение. Получим
, т.е.
. Подставим найденные значения k
и m в уравнение прямой:
Рассмотрим примеры:
Составим уравнение касательной:
- к параболе
в точке
(Слайд № 13)
- к графику функции
в точке
(Слайд № 14)
Решая эти примеры мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем: (Слайд № 15)
- Обозначим абсциссу точки касания буквой a.
- Вычислим
.
- Найдем
и
.
- Подставим найденные числа
,
в формулу
Рассмотрим типичные задания и их решение.
№1 Составить уравнение касательной к графику
функции в
точке
.
(Слайд № 16)
Решение. Воспользуемся алгоритмом,
учитывая, что в данном примере .
1)
2)
3) ;
4) Подставим найденные числа ,
,
в
формулу.
Получим:
, т.е.
Ответ:
№2 К графику функции провести касательную так, чтобы она
была параллельна прямой
. (Слайд № 17)
Решение. Уточним формулировку задачи.
Требование “провести касательную” обычно
означает “составить уравнение касательной”.
Воспользуемся алгоритмом составления
касательной, учитывая, что в данном примере .
Искомая касательная должна быть параллельна
прямой . Две
прямые параллельны, тогда и только тогда, когда
равны их угловые коэффициенты. Значит угловой
коэффициент касательной должен быть равен
угловому коэффициенту заданной прямой:
.Но
. Следовательно:
;
.
Из уравнения ,т.е.
, находим, что
и
.
Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие
условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая
в точке с абсциссой -2.
Действуем по алгоритму.
1) ,
2) ,
3)
4) Подставив значения ,
,
, получим
, т.е.
.
Подставив значения ,
,
, получим
, т.е.
Ответ: ,
.
V. Решение задач.
1. Решение задач на готовых чертежах (Слайд № 18 и Слайд № 19)
2. Решение задач из учебника: № 29.3 (а,в), № 29.12 (б,г), № 29.18, № 29.23 (а) (Слайд № 20)
VI. Подведение итогов.
1. Ответьте на вопросы:
- Что называется касательной к графику функции в точке?
- В чем заключается геометрический смысл производной?
- Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?
2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?
3. Выставление отметок.
VII. Комментарии к домашней работе
№ 29.3 (б,г), № 29.12 (а,в), № 29.19, № 29.23 (б) (Слайд №22)
Литература. (Слайд 23)
- Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
- Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
- Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010.
- ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010.