Проценты

Процент – это одна сотая часть.
Само слово «процент» происходит от лат. «pro centum», что означает в переводе «сотая доля». В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращенно от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал «%». Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход.

Каким образом проценты перевести в дробь?

Поскольку проценты являются разновидностью дробей, то задачи на проценты являются по существу теми же задачами на дроби.

В простейших задачах на проценты некоторая величина "а" принимается за 100% (целое), а ее часть "b" выражается числом "р%".

Как найти несколько процентов от числа "а"?

Найти: 25% от 120.

Решение.
120 – 100%, b – 25%
b = а * 25% / 100% = 30.

Ответ: 30.

Как найти число по его проценту?

Найти число, если 15% его равны 30.

Решение.
а – 100%, 30 – 15%,
а = 30 * 100% / 15%= 200.

Ответ: 200.

Как найти процентное соотношение двух чисел, или узнать, сколько процентов число составляет от целого числа "а"?

Сколько процентов составляет 4 от числа 10?

Решение.
4 – p%, 10 – 100%
р% = 4 * 100% / 10 = 40%

Ответ: 40%.

Примеры решения задач на различные темы.

Решение задач на сплавы и смеси.

Задача №1. Сплавили 300 г сплава олова и меди, содержащего 60% олова, и 900 г сплава олова и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве?

Решение.
Масса олова в первом сплаве равна 0, 6 * 300 г = 180 г,
во втором – 0,8 * 900 г = 720 г.
Тогда масса олова в новом сплаве 180 г + 720 г = 900 г,
масса нового сплава равна 300 г + 900 г = 1200 г,
процентное содержание олова в нем равно 900 г / 1200 г * 100% = 75%.

Ответ: 75%.

Задача №2. В смеси спирта и воды спирта в 4 раза меньше, чем воды. Когда к этой смеси добавили 20 л воды, получили смесь с содержанием спирта 12%. Сколько воды было в смеси первоначально?

Решение.
Пусть в смеси было x л спирта, тогда объем воды в ней 4x л.
В новой смеси количество спирта осталось прежним (x л.),
объем воды в ней (4x + 20 )л, объем смеси равен (x + 4x +20 )л,
процентное содержание спирта x / (5x + 20) * 100%,
что по условию задачи составляет 12%. Получим и решим уравнение:
100x / 5x +20 =12
100x = 12 (5 x + 20)$
x = 6
Итак, первоначально в смеси было 6 л спирта и 24 л воды.

Ответ: 6 л; 24 л.

Задача №3. Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 * 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20 + х) кг нового сплава содержится 0,32 * (20 + х) кг серебра. Составим уравнение:

8 + 0,2х = 0,32 * (20 + х);
х = 13 1/3.

Ответ: 13. 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.

Процентные вычисления в торговых операциях.

Задача №1. Во время сезонных распродаж цена товара ежедневно снижалась на 10% по сравнению с ценой в предыдущий день. В первый день распродажи цена куртки была 3000 рублей. Определите, сколько раз снижалась цена куртки, если она была продана по цене на 813 рублей меньше первоначальной?

Решение.
3000(1 – 0,1)^х = 2187
0,9х = 2187 ⁄ 3000 = 729 / 100
(9 / 10)^х =  (9 / 10)³
х = 3

Ответ: цена снижалась три раза.

Задача №2. При покупке ребёнку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 35% больше, чем два года назад, причём лыжи подорожали с тех пор на 20%, а ботинки – на 70%. Сколько процентов от стоимости лыж с ботинками составляла два года назад стоимость лыж?

Решение:
1,2х + 1,7у = 1,35 (х + у), где х р. – стоили лыжи два года назад; ур. – стоили ботинки два года назад.
у = (3/7)^х
х/(х + у) = х/(х + (3/7)х) = 7/10

Ответ: 70%.

Задача №3. Для определения оптимального режима снижения цен социологи предложили фирме с 1 января снижать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 2% в другом – через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число процентов, причём такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо снижать цену товара через каждые 2 месяца во втором магазине?

Решение.
Пусть исходная цена товара равна а.
Тогда через месяц в первом магазине после повышения она станет равна
а + а * 2/100 = а(1 + 2/100).
После второго повышения цена товара будет равна
а(1 + 2/100) + а(1 + 2/100) * 2/100 = а(1 + 2/100)².
Получаем, что через полгода (после шестого повышения)
цена будет равна а((1 + 2/100)³)².
Во втором магазине после трёх повышений на х процентов
цена товара будет равна а(1 + х/100)³.
Получаем уравнение а((1 + 2/100)²)³ = а(1 + х/100)³.
Решая его, получаем: (1 + 2/100)² = (1 + х/100);
102²/100² = (100 + х)/100; 100х = 102² – 100²; х = 4,04.

Ответ: 4, 04.

Процентные вычисления при расчете тарифов и штрафов.

Задача №1. При приёме на работу директор предприятия предлагает зарплату 4200 р. Какую сумму получит рабочий после удержания налога на доходы физических лиц?

Решение.
1) (4200 - 400)*0,13 = 494 р. – налог
2) 4200 – 494 = 3706 р.

Замечание. При начислении налога на доходы физических лиц нужно учитывать стандартный вычет 400 р., налог 13% берётся от оставшейся суммы.

Ответ: 3706 р.

Задача №2. Занятие ребёнка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придётся заплатить родителям если они просрочат оплату на неделю?

Решение.
Так как 4% от 250 р. составляют 10 р., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р.
Если родители просрочат оплату на один день,
то им придётся заплатить 250 + 10 = 260 (р.),
на неделю 250 + 10 * 7 = 320 (р.)

Ответ: 320 р.

Задача №3. Тарифы на телефонную связь сначала повысились на 25%, а потом понизились на 25%. Что произошло с первоначальным тарифом?

Решение.
Пусть первоначальный тариф – х
1) х + 0,25х = 1,25х;
2) 1,25х – 0,25.1,25х = 0,9375х
3) х – 0,9375х = 0,0625х
4) 0,0625х/х * 100% = 6,25%

Ответ: первоначальный тариф снизился на 6,25%.

Процентные вычисления в банковских операциях.

Задача №1. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 200 000 р. Какая сумма будет на его счёте через 5 лет, через 10 лет?

Решение.
Используя формулу:
S_n = S₀(1 + np/100)
S₅ = 200 000(1 + 5*8/100) = 280 000 (p.)
S₁₀ = 200 000(1 + 10*8/100) = 360 000 (p.)

Ответ: 280 000 р.; 360 000 р.

Задача №2. Банк ежегодно увеличивает на одно и то же число процентов сумму, имеющуюся на вкладе к моменту начисления процентов. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма, если за 2 года она возросла с 2000 рублей до 2420.

Решение.
Пусть ежегодно имеющаяся на счёте сумма увеличивается на х%.
В первый раз за 100% мы должны принять сумму, имеющуюся на счёте к началу первого года, то есть 2000 рублей.
Тогда через год на счёте окажется
(2000 + (х/100)*2000) рублей, то есть (2000 + 20х) рублей.
Для расчёта процентов за второй год мы должны принять за 100% уже сумму,
имеющуюся на счёте к началу второго года, то есть (2000 + 20х) рублей.
Тогда по прошествии второго года на счёте окажется:
(2000 + 20х + (х/100)*(2000 + 20х)) рублей,
то есть (0,2х² + 40х + 2000) рублей, что по условию задачи составляет 2420 рублей.
Составим и решим уравнение:
0,2х2 + 40х +2000 = 2420
0,2х2 + 40х – 420 =0
х2 + 200х – 2100 = 0
х = -210 или х = 10.

Так как по условию задачи значения х должны быть положительными, то х = 10. Итак, ежегодно сумма вклада увеличивалась на 10%.

Ответ: 10%.

Задача №3. При какой процентной ставке вклад на сумму 500 р. возрастает за 6 месяцев до 650 р.

Решение.
500 (1 + 6р/100) = 650,
р = (650/500 – 1)100/6
р = 5

Ответ: 5%.

Процентные вычисления при проведении избирательных компаний.

Сложные проценты. Задачи на сложные проценты.

Для оценки движения финансовых потоков во времени применяют различные формулы финансовой математики, в том числе и расчет сложных процентов. Сущность расчета заключается в том, что проценты начисленные за период, по инвестированным средствам, в следующем периоде присоединятся к основной сумме, в результате чего в следующем периоде проценты будут начислены и на основную сумму, и на добавленные проценты. При этом происходит капитализация процентов по мере их начисления и база, с которой начисляются проценты, постоянно возрастает.

Например, инвестированный 1 рубль при ставке 20% даст 1,20 рубля (1 рубль инвестированный + 20 копеек процентов); второй год 1,44 рубля (к 1 рублю инвестиций добавляются 40 копеек как проценты по основной сумме и 4 копейки как проценты на проценты за первый год), третий год 1,728 рублей (к 1 рублю инвестиций добавляются 60 копеек как проценты по основной сумме и 12,8 копеек как проценты на проценты за два года) и т.д. В данном примере величина 1,20 рублей является будущей стоимостью величины 1 рубль, инвестированного сроком на 1 год при процентной ставке 20%.

Формула для расчета сложных процентов:

FV = PV * (1+ r)ⁿ, где

FV – будущая стоимость;
PV – текущая стоимость;
r – процентная ставка (ссудный процент, банковский процент);
n – количество лет.

Чем дольше действует инвестиция и чем выше процентная ставка, тем больше будущая стоимость. Для инвестора, при начислении процентов 1 раз в год, более выгодно вкладывать деньги по схеме сложных процентов, чем по схеме простых, если срок больше 1 года.

На тему этой методики существуют примеры задач на сложные проценты.

Будущая стоимость (future value, конечная стоимость, FV) – инвестированные средства и сумма всех начислений сложных процентов на них или проекция заданного в настоящий момент количества денег на определенный промежуток времени вперед при определенной процентной ставке.

Текущая стоимость (present value, размер инвестиции, PV) – стоимость будущих поступлений денег, отнесенная к настоящему моменту или проекция планируемых к получению денег, через определенный промежуток времени и при определенной процентной ставке, на настоящий момент.

Процентная ставка (interest rate, discount rate, ссудный процент, годовая ставка, процент, рост, ставка процента, норма прибыли, доходность, ставка наращения) – процентная ставка, которая используется для оценки стоимости денег во времени.
Процентная ставка рассчитывается отношением будущей стоимости за 1 период, за вычетом текущей, к текущей стоимости( (FV-PV) /PV).

Задача №1. Рассчитайте, что выгоднее для вкладчика: получить 20 000 рублей сегодня или получить 35 000 рублей через 3 года, если процентная ставка равна 17%.

Рассчитаем будущую стоимость 20000 рублей через 3 года, под 17% годовых.
FV = 20000 * (1 + 0,17)³ = 32032 рубля.

Ответ: получить 35000 рублей через 3 года является более выгодным решением, при данном значении процентной ставки.

Задача №2. Сколько лет потребуется для того чтобы из 1000 рублей, положенных в банк, стало 20000 рублей, если процентная ставка равна 14% годовых?

Преобразуем формулу к следующему виду:
(1 + r)ⁿ = FV / PV и подставим значения;
1,14_n = 20000 / 1000 = 20, отсюда n = log_1,14 20 = 22,86 года.

Ответ. 1000 рублей нарастится до 20000 рублей при 14% годовой ставке за 22,86 года.

При расчете числа лет необходимо учитывать, что в формуле подразумевается целое число лет и цифры, рассчитываемые после запятой, имеют приблизительные значения, характеризующие близость к целому значению лет.

Задача №3. Какой должна быть ставка ссудного процента, чтобы 10 000 рублей нарастились до 30 000 рублей, за срок вклада 5 лет?

Преобразуем формулу к следующему виду:
r = (FV / PV)^1/n – 1 и подставим значения;
r = (30 000 / 10 000)^1/5 – 1;
r = 0,24573 или 24,573%.

Ответ. 10 000 рублей нарастятся до 30 000 рублей за 5 лет при ставке ссудного процента 24,573%.

Приложение 1 – Практическая часть. Банк задач.
Приложение 2 – Проверочная работа.