Решение задач на арифметическую и геометрическую прогрессии

Разделы: Математика

Цель урока: уточнить, обобщить и систематизировать знания по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессии" и закрепить умения и навыки в решении задач на прогрессии.

Задачи:

  1. Вспомнить необходимые правила, научить учащихся применять их при решении различных примеров.
  2. Развивать математические способности.
  3. Воспитывать математическую грамотность и прилежность.

Оборудование:

  • индивидуальные пластиковые доски у каждого ученика;
  • стенд, кодоскоп, экран, конверты с заданиями.

План урока:

  1. Проверка домашнего задания.
  2. Повторение теории.
  3. Устные упражнения.
  4. Диагностический замер.
  5. Решение упражнений.
  6. Домашнее задание.
  7. Тест.
  8. Итог урока.
  9. Дополнительное задание.

Ход урока.

Введение в урок: сообщение целей и задач урока, знакомство с планом.

Проверка домашнего задания.

Учащиеся по образцу проверяют и оценивают свою домашнюю работу (через кодоскоп).

№ 1.

а5 = -3,7; d = -0,6; аn = -9,7; n – ?
а5 = а1 + 4d; a1 = a5 – 4d; a1 = -3,7 + 4 * 0,6 = -1,3
an = a1 + d(n – 1)
-9,7 = -1,3 – 0,6(n – 1)
0,6n = 9
n = 15
Ответ: n = 15.

№ 2.

S10 – ?
d = ;

Ответ: .

№ 3.

; ; -?

Ответ: .

Учитель просит сначала поднять руку тех учеников, которые справились со всей работой, затем у кого работа вызвала затруднения.

Повторение теории.

Ученики в парах повторяют теоретический материал.

План ответа:

  1. Определение.
  2. Формула n-го члена.
  3. Формула суммы n-первых членов.

1 вариант отвечает по теме "Арифметическая прогрессия", 2 вариант по теме "Геометрическая прогрессия".

Устные упражнения.

(аn): 4; 9; 16; 25; ...
(вn): 32; -16; 8; -4; ...
(сn): -6; -3; 0; 3; ...
(хn): 1; 8; 27; 64; ...

  1. Какая из данных числовых последовательностей является арифметической прогрессией? (сn)
  2. Укажите её разность. (3)
  3. Найдите сумму четырёх первых членов этой прогрессии. (-6)
  4. Если поменять порядок членов этой прогрессии на обратный, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией? (Да.)
  5. Укажите её разность. (-3)
  6. Какая из данных числовых последовательностей является геометрической прогрессией? (вn)
  7. Укажите знаменатель этой прогрессии. (-)
  8. Найдите шестой член данной прогрессии. (-1)
  9. Сравните в4 и в5. (в4 < в5)
  10. Если поменять порядок членов этой прогрессии на обратный, то будет ли полученная последовательность геометрической прогрессией? (Да.)
  11. Укажите знаменатель полученной прогрессии. (-2)
  12. Найдите сумму четырёх первых членов полученной прогрессии? (20)

Учащиеся записывают ответы на индивидуальных пластиковых досках и показывают учителю.

Диагностический замер.

(an) – арифметическая прогрессия.

  1. а1 = 17; d = -3; а2 – ?
  2. а2 = -1; d = 2; а1 – ?
  3. а3 = 3,2; а4 = 5,6; d – ?
  4. а1 = -1; d = 2; а5 – ?
  5. а1 = 19; а5 = -3; S5 – ?

(bn) – геометрическая прогрессия.

  1. b1 = -7; q = 3; b2 – ?
  2. b1 = -12; q = ; b3 – ?
  3. b5 = 6; b6 = 2; q – ?
  4. 2; b2; 8; 16 ... b2 – ?
  5. b1 = 1; q = -2; S5 – ?

На выполнение этого задания 5 минут. Ученики записывают только ответы. Затем стоя проверяют ответы (учитель показывает через кодоскоп), оценивают свою работу и садятся на свои места. Учитель просит поднять руку, кто выполнил на "5", "4" и т.д.

Ответы: 14; -3; 2,4; 7; 40; -21; -3; 1/3; 4; 11.

10 пр. – "5"; 9, 8, 7 пр. – "4"; 6, 5 пр. – "3"; менее 5 пр. – "2".

Решение упражнений.

Ученики выполняют упражнения, которые оцениваются на экзамене 2 балла и 3 балла (3 ученика у доски, остальные в тетрадях). Группа учеников выполняет индивидуальное задание, которое оценивается 4 балла (после выполнения учащиеся получают лист самоконтроля). Ученики, успешно справившиеся с выполнением задания, приступают к выполнению дополнительного задания.

№ 1. Первый член арифметической прогрессии равен 6, а ее разность равна 4. Начиная с какого номера члены этой прогрессии больше 260?

аn = 6; d = 4; аn 260; n – ?
аn = а1 + d(n – 1)
аn = 6 + 4(n – 1)
6 + 4(n – 1) 260
n 64,5
Т.к. n N, n = 65.
Ответ: начиная с номера 65.

№ 2. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с тридцатого по сороковой включительно, если аn = 3n + 5.

аn = 3n + 5; S30-40 – ?

Ответ: 1210.

№ 3. Между числами 3 и 12 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

Ответ:

Индивидуальное задание. Сумма первого и пятого членов геометрической прогрессии равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 3069?

Ответ: 10.

Домашнее задание:

  1. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 39, знаменатель прогрессии равен -4. Найдите сумму первых четырех членов этой прогрессии.
  2. Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 200, которые не делятся на 6.
  3. Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, второй член которой равен 6, а четвертый равен 24.

*В геометрической прогрессии (bn), знаменатель которой – число отрицательное,
b1 * b2 = -, b3 * b4 = -8. Найдите эти четыре члена прогрессии.

Тест (на выполнение этого задания 15 минут)(см. Приложение).

Итог урока.

Дополнительное задание*. В арифметической прогрессии среднее арифметическое первых десяти ее членов равно 20. Найдите первый член и разность этой прогрессии, если известно, что они являются числами натуральными (a1 = 11, d = 2; a1 = 2, d = 4).