Единый государственный экзамен по математике, обязательный для каждого ученика, требует серьезной перестройки учительского труда. Надо не только повторить с учащимися весь материал, но и научить их применять полученные знания в новой, незнакомой ситуации. И это касается не только заданий части С.
В Стандарте большое внимание уделяется формированию у учащихся умений использовать приобретённые умения и знания по всем изучаемым темам в практической деятельности и повседневной жизни. В частности, это касается темы «Функции и графики». Не зря авторы контрольно-измерительных материалов уделяют большое внимание проверке умений читать по графику свойства функции, применять свойства функций при решении задач повышенного и высокого уровней сложности. Одним из таких заданий является задание В8, в котором из года в год предлагается по графику производной описать особенности поведения функции и по графику функции дать характеристику ее производной. Для того чтобы подготовить учащихся к решению данного задания, необходимо провести цикл уроков. Данный урок (рассчитанный на 2 часа) – первый из этого цикла.
Учебник: Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала анализа 11 класс – М.: Просвещение, 2010.
Цели:
- выработать специфические умения и навыки по работе с графиком производной функции для их применения при сдаче ЕГЭ;
- формирование умений читать свойства функции по графику её производной; умений анализировать материал, выявлять аналогии;
- способствовать формированию мышления, направленного на решение нестандартных задач;
- способствовать выработке у учащихся сравнивать и обобщать изучаемые факты.
Тип урока: совершенствование и углубление знаний, умений и навыков.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщение учащимся цели урока: научиться по графику производной исследовать свойства функции,
Учитель: Мы заканчиваем изучение темы « Применение производной к исследованию функций». Наша цель сегодня – научиться исследовать функцию по графику её производной. Этой темы нет в наших учебниках, но в ЕГЭ задания такого типа повторяются из года в год, причём формулировки вопросов постоянно изменяются.
II. Актуализация субъектного опыта учащихся
По следующим данным, приведённым в таблице, охарактеризуйте поведение функции.
| х | (-3;0) | 0 | (0;4) | 4 | (4;8) | 8 | (8;+∞) |
| f΄(x) | + | 0 | - | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | -3 | -5 | 6 |
Сделайте вывод.
III. Проверка домашней работы
Задание
Построить графики функций и их производных в одной системе координат:
- у=x2+4x+3 и y΄=2x+4;
- у=3x5-5x3+1 и у΄=15x4-15x2.
(графики данных функций выведены на экран)
Для графика функции заполнить таблицу по схеме.
Учитель: По построенному графику производной исследуем свойства функции. Заполняется третий столбец таблицы.
1)
(Слайд 1) (Презентация)
Графики заранее построены на доске, ученики сверяют правильность построения.
Схема исследования свойств функции:
- D(y);
- E(y);
- является ли функция чётной (нечётной);
- нули функции;
- промежутки знакопостоянства;
- промежутки монотонности;
- точки экстремума, экстремумы функции
- наибольшее и наименьшее значения функции.
| у =x2+4x+3 | у =2x+4 | |
| D(y) | R | R |
| E(y) | [-1;+∞) | - |
| нули функции | x=-3;-1 | - |
| чётность (нечётность) | ни четная ни нечётная | - |
| промежутки знакопостоянства | y>0 на (-∞;-3) и (1;+∞); y<0 на (-3;-1) |
- |
| промежутки возрастания – убывания – |
[-2;+∞) (-∞; -2] |
[-2;+∞) (-∞; -2] |
| точки экстремума и значения функции в этих точках | x=-2 – точка минимума, y(-2)= -1 – наименьшее значение |
|
| наибольшее и наименьшее значения функции | у=-1 – наименьшее значение, наибольшего значения нет |
- |
2) у=3x5-5x3+1
(Слайд 2)
| у=3x5-5x3+1 | у=15x4-15x2 | |
| D(y) | R | R |
| E(y) | R | - |
| количество нулей функции | 3 | - |
| чётность (нечётность) | ни чётная ни нечётная | - |
| количество промежутков знакопостоянства | y>0 – 2 y<0 – 2 |
- - |
| Промежутки возрастания – убывания – |
(-∞;-1], [1;+∞) [-1;1] |
(-∞;-1], [1;+∞) [-1;1] |
| точки экстремума и значения функции в этих точках | х=-1 – точка максимума, х=1 – точка минимума, у(-1)=3, у(1)=-1 |
х=-1 – точка максимума, х=1 – точка минимума |
| наибольшее и наименьшее значения функции | Нет | - |
Вывод: по графику производной функции мы можем указать только область определения функции, промежутки монотонности, критические точки.
IV. Фронтальная работа
Учитель: 1. Выясните, что представляют из себя графики производных следующих функций:
| 1) у = kx+b | y΄=kx |
| 2) у = ax2+bx+c , a≠0 | y΄=2ax+b |
| 3) у = ax3, a≠0 | y΄=3ax2 |
| 4) у = ax3+bx2+cx+d, a≠0 | y΄=3ax2+2bx+c |
| 5) у=k/x, x≠0 | y΄=-k/x2 |
6) у=  |
y΄= |
В процессе решения ученики находят области определения функций и выясняют, что D(y) и D(y΄) не всегда совпадают (пример 6).
2. На рисунках изображены графики функций (нижний ряд) и графики их производных. Для каждой функции найдите график её производной. (А – 2, Б – 5, В – 3, Г – 1, Д – 4)
(Слайд 3)
V. Практическая работа.
Функция y=f(x) определена на промежутке (а;b). На рисунке изображён график её производной. Построить на заданном промежутке (a;b) график функции.
Ученики выполняют задание на листках, а затем на доске.
Учитель: Сколько графиков можно построить?
Вывод. По заданному графику производной можно построить только эскиз графика функции.
VI. Групповая работа.
Для каждой группы указан график производной некоторой функции. Составить рассказ о функции.
(Слайд 4)
VII. Работа индивидуально, в парах или группе.
Учитель: Следующие два задания вы можете выполнять индивидуально, в парах или группе.
Функция y=f(x) определена на промежутке (-8; 5). На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция y=f(x) принимает наибольшее значение на отрезке [-6;3].
(Слайд 5)
Функция y=f(x) определена на промежутке (-4; 7). На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция y=f(x) принимает наименьшее значение на отрезке [-3;4].
(Слайд 5)
Ответы, предложенные учениками, обсуждаются, в случае неверных ответов, выясняется, почему была допущена ошибка, что вызвало затруднения.
Учитель. Подумайте, какие вопросы, ещё можно задать по графику производной. (Найти наибольшую (наименьшую) длину промежутка возрастания (убывания) функции; указать на указанном промежутке сумму абсцисс точек экстремумов функции; найти число точек максимума; найти точку x0, в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение).
VIII. Дополнительные вопросы.
Учитель: Что ещё можно найти по графику производной? (Угловой коэффициент касательной, тангенс угла наклона к положительному направлению оси 0Х).
Дополнительные вопросы учащимся по предложенным графикам:
- Найдите число касательных к графику функции y=f(x), угловой коэффициент которых равен 2.
- Найти угловой коэффициент касательной в точке x0=-3.
- Укажите точку, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наименьший угловой коэффициент.
- Найти число касательных к графику функции y=f(x), которые параллельны оси 0Х.
IX. Подведение итогов.
Учитель. Что вы можете сказать о свойствах функции, читая график ее производной?
X. Задание на дом.
(карточки из текстов ЕГЭ)