Педагогически правильному переходу от обучения в начальной школе к обучению в средней школе, несомненно, мешают недоработки в содержательной преемственности. Например, обучение решению сюжетных задач включает, как правило, несколько этапов, которые реализуются на протяжении всего времени обучения в начальной школе.
Работа над условием:
– выделение данных и искомых;
– установление взаимосвязей;
– выбор оптимальной формы записи условия.
Поиск пути решения:
– ознакомление с общими приёмами поиска решения;
– получение математической модели для класса задач.
Оформление решения задач происходит разными способами:
– вопрос-действие;
– действие-пояснение;
– уравнение.
В начальной школе основным является арифметический метод решения и в учебниках предусмотрены специальные упражнения, формирующие отдельные его элементы (выделение условия, вопроса, выбор арифметического действия и т.д.). К тому же есть все предпосылки для пропедевтики на арифметических задачах специальных умений, составляющих алгебраический и геометрический методы. В средней школе начинает доминировать алгебраический метод, преподносимый учащимся в “готовом” виде (в виде алгоритма). Методическая работа, проводимая в младших классах не находит своего продолжения, так как практически нет подготовительных упражнений для формирования специальных действий. Несогласованность между методиками усугубляется сокращением количества текстовых задач в средней школе. Эти выводы определили направление методической работы: в начальном курсе математики у учащихся следует отрабатывать общие умения и вести пропедевтику специальных, в средней школе – совершенствовать общие и формировать специальные. Осуществляться это должно с помощью упражнений, органически связанных с содержанием учебников. (См. Приложение 1).
Приведём примеры упражнений на формирование отдельных действий.
1. Упражнение на совершенствование общего умения выделять из данной задачи подзадачи (5 класс).
Задача 1. Каток прямоугольной формы,
длина которого 82 метра и ширина 55 метров, нужно
очистить от снега. Сколько тонн снега нужно
вывезти, если толщина снежного покрова 
метра и 1м
снега весит 125
кг? К задаче предлагается следующее задание:
Какие ещё арифметические действия, кроме указанных: вычисление площади катка, вычисление веса снега, вывозимого с катка; необходимы для решения задачи?
2. Упражнение на формирование умения выражать один отрезок через другие (2–3 класс).
Задача. Найдите отрезок а, если известны: b ,c , d. Упражнение служит пропедевтике умения алгебраически выражать величины через переменную (см. “Рисунок 1”).
Причём в одном задании можно сочетать ещё и разные методы. Вот пример комплексного упражнения.
3. Туристы были в походе 3 дня. Во второй день они прошли 18 км, что на 5 км меньше, чем в первый день, а в третий день они прошли на 19 км меньше, чем за два первых дня. Сколько километров прошли туристы за три дня?
К задаче можно предложить такие задания: составь схему по условию задачи; составь выражение по условию задачи, если во второй день туристы прошли х км. Условие задано в косвенной форме, что способствует формированию общего умения преобразовывать предложение, выражающее зависимость между величинами.
Формированию умения решать текстовые задачи способствуют следующие методические приёмы:
- наглядная интерпретация задачи;
- фронтальная беседа по задаче;
- решение задач в сравнении
- решение задач различными способами,
- рассмотрение задач с недостающими или лишними данными;
- проверка решения задачи;
- составление обратной задачи
- составление задач по рисунку, схеме, чертежу, выражению;
- обсуждение логических задач.
Остановимся на рассмотрении каждого методического приёма.
Иллюстрация задачи – это использование средств наглядности для вычленения величин, входящих в задачу, данных и искомых чисел, а также для установления связей между ними. Иллюстрация может быть предметной или схематической. Содержание задачи полезно проиллюстрировать чертежом или занести в таблицу.
Задача.
С одной и той же станции в одно и то же время вышли
в противоположных направлениях два поезда.
Скорость одного поезда 50 км/ч, а скорость другого
– 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами
через 3 часа? (см. Рисунок 2.)
Рисунок 2. Чертёж (моделирование условия) задачи.
Любая из названных иллюстраций только тогда поможет ученикам найти решение, когда её выполнят сами дети, поскольку только в этом случае они будут анализировать задачу сами.
Разбор задачи заканчивается составлением плана решения. В этом случае рассуждение можно строить двумя способами: идти от вопроса задачи к числовым данным или же от числовых данных идти к вопросу.
Первый способ рассуждений. Первый вариант.
- Что требуется узнать в задаче? (Какое расстояние будет между поездами через 3 часа?)
- Можно ли это узнать сразу? (Нет). Почему? (Мы не знаем, какое расстояние проехал каждый поезд.)
- А это можно узнать? (Да. Зная скорость поезда и его время в пути, вычислим расстояние.) Каким действием? (умножением.)
- Что мы узнаем сначала? (Путь первого и путь второго поездов.)
- Что узнаем дальше? (Расстояние между поездами.)
Второй вариант рассуждений от вопроса задачи к числовым данным позволит акцентировать внимание учащихся на рациональном способе решения задачи.
- Что требуется узнать в задаче? (Какое расстояние будет между поездами через 3 часа?)
- Можно ли это узнать сразу? (Нет). Почему? (Мы не знаем, какое расстояние будет между поездами через 1 час.)
- А это можно узнать? Каким действием?
- Рассуждение от числовых данных к вопросу может тоже иметь два варианта.
- Второй способ рассуждений. Первый вариант.
- Если известна скорость и время движения первого поезда, то, что можно узнать?
- Каким действием? Можно ли узнать расстояние, которое проехал второй поезд?
- Если будут известны пути движения каждого поезда, можно ли узнать расстояние между поездами? Каким действием?
Второй вариант.
- Какое расстояние между поездами будет через час? Покажите на чертеже. Как вы его узнаете?
- Какое расстояние будет между поездами через 3 часа?
- Первый способ рассуждения более целенаправлен на составление плана решения.
- Анализируя решение задачи, ученик вычерчивает блок – схему решения
(см. “Рисунок 3”)
Решение записываем выражением, поднимаясь по блок-схеме снизу вверх.
Выработке умения решать задачи помогают упражнения на сравнение решений задач. Такие задания предупреждают смешение способов решения задач разных видов. С этой целью включают задачи парами.
Задача.
Реши задачи и сравни решения:
1) В один магазин привезли 18 одинаковых бидонов молока, а в другой – 12 таких же бидонов. В первый магазин привезли на 228 литров молока больше, чем во второй. Сколько литров молока привезли в каждый магазин?
2). В один магазин привезли в одинаковых бидонах 684 л молока, а в другой 456 л молока в таких же бидонах. В первый магазин привезли на 6 бидонов молока больше, чем во второй. Сколько бидонов молока привезли в каждый магазин?
Задача.
А) В одном мешке было 46 кг зерна, что на 18 кг меньше, чем во втором мешке. Сколько килограммов зерна было в обоих мешках вместе?
Б) Площадь одной теплицы 234м
, что на 108 м
После обсуждения задач выясняется, почему они решаются одинаковыми действиями. В задачах на движение хорошо рассматривать и сравнивать решения задач, содержащих разные направления.
Огромная значимость нахождения школьниками различных способов решения задач по математике не раз отмечалась в методической литературе. Однако наблюдения показывают, что на уроках, как правило, рассматривается лишь один из способов решения задачи, причём не всегда наиболее рациональный. Приводимая в таких случаях аргументация в виде отсутствия достаточного количества времени на решение одной задачи различными способами, не имеет под собой основы для математического развития учащихся. Гораздо полезнее одну задачу решить несколькими способами (если это возможно) и не жалеть на это времени, чем решить несколько однотипных задач одним способом.
Задача.
В бидоне 39 л молока. После того как молоком
наполнили несколько двухлитровых банок, в бидоне
осталось 7л. Сколько банок наполнили молоком?
1 способ (арифметический)
(39-7):2=16 (б.)
2 способ (алгебраический). Составляем уравнение и решаем его.
Пусть х – двухлитровых банок наполнили молоком, тогда
х • 2 + 7 = 39
х • 2 = 39 – 7
х • 2 = 32
х = 32 : 2
х = 16_______
16 • 2 + 7 = 39
39 = 39
Из различных способов решения одной и той же задачи надо предложить учащимся выбрать наиболее рациональный, красивый. При отыскании различных способов решения задачи у школьников формируется познавательный интерес, развиваются творческие способности, вырабатываются исследовательские навыки. После нахождения определённого метода решения задачи учащиеся, как правило, получают большое моральное удовлетворение. Поэтому учителю важно поощрять поиск различных способов решения задач, которые должны стать достоянием учащихся, но наряду с этим необходимо воспитывать у них умение использовать индивидуальные особенности каждой задачи и решить её проще. Именно отход от шаблона, конкретный анализ условия задачи является залогом успешного её решения. Особое внимание нужно обратить на решение задачи арифметическим способом, так как решение задач данным способом развивает оригинальность мышления, изобретательность. Полезно использовать уравнения при решении обратных задач.
Работа над задачами с недостающими и лишними данными воспитывает у детей привычку лучше осмысливать связи между данными и искомым.
Задача.
Турист проехал на автомашине 146 км, а на пароходе
на 50 км меньше, чем на автомобиле. Пешком турист
прошёл 12 км. Весь его путь составил 264 км. Сколько
километров проехал турист на пароходе?
Задания:
- измените условие, чтобы остались только те данные, которые нужны для решения;
- измените вопрос и условие, чтобы в задаче не было лишних данных.
Задача.
Расстояние между пристанями 378 км. Сколько
времени потребуется теплоходу, чтобы проплыть
туда и обратно, если его скорость по течению реки
27 км/ч?
Задания:
- измените вопрос так, чтобы задачу можно было решить;
- дополните условие, чтобы задачу можно было решить.
Полезно включать и рассмотрение задач, имеющих несколько решений. Решение таких задач будет способствовать формированию понятия переменной.
Задача.
На одной грядке посадили 30 кустов клубники, а на
другой с кустов. Погибло 6 кустов. Сколько кустов
клубники осталось на грядках? Составьте
выражение для решения задачи и найдите его
значение при с=26, 35.
Задача.
В киоске продавали тетради: школьные по цене а р.
за тетрадь, общие – по с р. за тетрадь. Сколько
стоят вместе 5 школьных тетрадей и 5 общих
тетрадей? Запиши выражение, которое показывает,
как можно решить задачу двумя способами.
Упражнения по составлению и преобразованию задач являются чрезвычайно эффективными для обобщения способа их решения. Учащиеся практикуются в составлении задач по выражению или уравнению.
Задача.
Составь по выражению 80:4-60:4 задачи с величинами:
скорость, время, расстояние.
Задача.
Придумай задачу, решением которой является
выражение:81 – (х +у).
Задача.
Составь условие задачи по уравнению:2 • (а + 8) = 40
Задача.
Составь по данному чертежу задачу и реши её. (См. “Рисунок 4”.)
Составление задач заставляет учеников использовать большой объём информации, использовать рассуждения, обратные применяемым при обычном решении задач. Следовательно, при обсуждении задачи школьник использует логические средства, отличные от тех, с помощью которых решаются обычные задачи, ему открываются новые связи между математическими объектами. Составление задач является своеобразным применением знаний, в ходе которого активизируется мыслительная деятельность учащихся.
Ученики разные, и в задачах нужно постараться учесть их различную обучаемость, познавательные интересы, тип мышления. Задача должна быть интересной и для отличника, но решение её должно быть доступно для понимания остальным ученикам. Вводя нестандартные задания (задачи учебного значения, поданные в проблемной форме), логические задачи, можно так изменить урок, что дети будут с интересом на нём работать, формируя гибкость и широту мышления, самостоятельную и творческую активность.
Рассмотренные в учебниках математики задания помогли провести аналогию и указать методические приёмы, способствующие реализации преемственности: усвоение различных способов решения задачи; моделирование задач и решение их с помощью блок-схем; применение разнообразных приёмов, способствующих формированию умения решать текстовые задачи. Учёт особенностей работы в начальной школе – необходимое условие преемственности дальнейшего обучения математике. Важно активно использовать ранее изученные понятия и способы деятельности при изучении нового материала, применять математические знания к самостоятельному решению практических задач.
Литература
Александрова Л.А. Преемственность в
обучении математике между начальной и средней
школой.// Еженедельное приложение к газете
“Первое сентября”.– М., 1998.-№30.– с.21-30.