Цели урока:
- Показать, что любое полное изображение, содержащее контур шара, метрически определено.
- Отработать навыки построения сферических поверхностей, их линий пересечений.
- Закрепить навыки единой графической культуры.
Вступление: Мы с вами провели цикл
интегрированных уроков с целью показать, что
произвольное выполнение изображений
геометрических тел приводит к массе ошибок, к
тому, что ваша интуиция при использовании таких
изображений часто действует в неправильном
направлении. Это становиться очевидным, если
сравнить эти изображения с рисунками,
выполненными по правилам начертательной
геометрии.
В ходе наших уроков мы строили развертки
всевозможных геометрических тел, виды сечений
различными плоскостями, находили площади
поверхностей.
Сегодня мы рассмотрим комбинации тел с шаром.
Отработаем навыки различных геометрических
построений и нахождения объемов данных
тел.
Практическое задание № 1
На последних уроках начертательной геометрии выполняли различные построения сфер. Для выполнения первого задания нам нужно будет построить изометрическое изображение шара методом меридианов. (К доске выходят двое учащихся и параллельно выполняют построение шара диаметром 60 мм. Один из шаров должен быть вписан в куб (Рис. 1, а), другой – описан вокруг куба. (Рис.1. б) На местах учащиеся работают в группах, выполняя построения в тетрадях).
а)
б)
Рис. 1
Вопрос: В каждом из этих случаев определите каково отношение R шара к стороне куба?
Ответы: а) a = 2r
б) 
Обратимся к рисунку на доске (Рис. 2а) – перед вами описанный около шара цилиндр. Каково отношение h цилиндра к R шара? Ответ: h = 2R
Рис. 2а
Рис. 2б
Давайте запишем формулы Vшара и Vсферы. (Учащиеся работают в тетрадях – один из них записывает формулы на доске. Учитель рассказывает об интересном историческом факте).
Vш = 
πR3
Vс
= 4πR2
Архимед интерпретировал эти формулы так: объем и поверхность шара составляют 2/3 от объема и полной поверхности описанного около шара цилиндра. Доказательство – Рис 2б. По желанию Архимеда такой чертеж был изображен на его гробнице. (Рис 2а.)
В практике часто используют детали, форма которых представляет собой совокупность частично срезанных сфер и тел вращения. Рассмотрим некоторые из них. Например, (рис. 3) заготовка рукоятки.
Рис. 3
Составные элементы: (Ответы учащихся) слева-направо: полусфера, усеченный конус, тор, цилиндр, усеченный конус. Все элементы детали имеют общую ось, поэтому границы перехода поверхности одного геометрического тела в другое будут представлять окружности. А на фронтальной и горизонтальной проекциях эти окружности будут изображены в виде отрезков.
Практическое задание № 2
Следующий пример перед вами – эта деталь называется шатун. (Рис. 4, б) Где он используется? (Ответ: двигатель автомобиля) Прежде чем перейти к практической части работы и выполнить чертеж и изометрическую проекцию данной детали, проведем анализ ее формы: какие составные части у нее, какие необходимы размеры для построения, где находятся и что будут представлять границы перехода.
Ответы учащихся:
– 2 усеченных шара разных диаметров;
– цилиндр, соединяющий шары;
– 2 цилиндрических сквозных осевых
отверстия внутри шаров;
– границы перехода между шарами и цилиндром
– окружности, т. к. тела вращения имеют общую ось.
а)
б)
Рис. 4
Необходимые размеры:
– диаметры шаров соответственно
– габаритная высота усеченных шаров
соответственно
– диаметр внутренних отверстий
– межосевое расстояние
– диаметр сечения цилиндра
Учащиеся выполняют на форматах А3:
1) Чертеж (Рис 4, а) шатуна по заданным размерам:
Ǿ1 = 80 мм Ǿ2 = 60
мм l = 150
мм Ǿвн.отв.
= 20 мм
h1= 70 мм h2= 50
мм Ǿеч.
= 40 мм
2) Изометрическую проекцию с вырезом на малом шаре.
(После выполнения задания проводится анализ работ).
Домашнее задание:
– отметить классы обработки внутренней и
наружной поверхностей шатуна;
– рассчитать массу шатуна для стали У8А)
Практическое задание № 3:
Переходим к решению задачи (Рис. 5)
Задача: В шар вписана пирамида,
основание которой прямоугольный треугольник с
гипотенузой 2 см. Найдите: V шара и V
пирамиды, если каждое боковое ребро пирамиды
составляет с основанием угол 
.
Для любой геометрической задачи основным
является правильно построенный рисунок. Для
решения нам нужен вид сверху и изометрическая
проекция.
Предлагается для наглядности увеличить
масштаб изображения – М 2 : 1.
(Учащиеся работают в тетрадях – один из них у доски. Вначале выполняется чертеж)
Дано: АВ = 2 см.
∆ АВС – прямоугольный
АD, (ABC) = BD , (ABC) = DC, (ABC) =
Найти: Vшара, Vпирамиды
Рис. 5
Решение:
DO – высота пирамиды, ∆ АВС –
прямоугольный =>
О – центр описанной окружности => r
пирамиды = 1 см.
∆ DOC – прямоугольный => tg = 
=> h = tg = DO
∆ DCS – прямоугольный, ОС –
высота ∆ DSC => OC – среднее
пропорциональное между отрезками DO и OS,
т.е. 
; OC2
= DO (2R – DO);
1 = tg (2R – tg );
1 = 2R tg – tg2
;
2R tg = 1 + tg2 ;
2R tg = 
Практическое задание № 4: (представлено на инструкционной карте на столах).
В правильной четырехугольной пирамиде угол
между боковым ребром и основанием равен . Внутри пирамиды расположены 4
одинаковых шара радиуса r так, что каждый шар
касается основания, двух смежных боковых граней
и двух других шаров. Найдите объем пирамиды.
Рис. 6
Вопросы: Определить, в каком отношении точка
касания шаров и основания делит диагонали
основания (математически). Как иллюстрирует вид
сверху решение задачи?
Для решения задачи выполнить фронтальную и
горизонтальную проекции.
У вас на карте есть наглядное изображение данного условия, а для решения задачи нам нужно построить две проекции. Строим фронтальную и горизонтальную проекции. Работаем на форматах А4. Возьмем радиус шара равным 20 мм.(У доски работают два ученика)
Дано: KABCD – правильная пирамида => ABCD –
квадрат
О1М = r, ےKCO =
Найти: Vпирамиды
Решение:
На чертеже (вид сверху) видно, что ABCD разделён на
9 равных квадратов со стороной 2r =>
АB = BС = 6r = AC = AB
=
6r => OC=
AC = 3r
∆ KOC – прямоугольный =>
tg =
;
h = OC tg = 3rtg
Sосн = AB2 = 36r2
Vпир. = 
Sосн h = 
Vпир.= 36r
tg
Итог
– Мы в очередной раз убедились, что любое полное изображение метрически определено; что рисунок должен соответствовать единой графической культуре. Мы убедились в неразрывной связи двух учебных дисциплин – геометрии и черчения. И в том, говоря словами известного французского ученого Б. Паскаля, что «Что не может геометрия и черчение, не можем и мы».