Леонард Эйлер – "великий переселенец"

• познакомить учащихся с историей математики, расширить их кругозор, повысить общую культуру;
• развивать мышление, речь, умение выделять главное, оценивать значение;
• научить решать задачи с использованием элементов теории графов и кругов Эйлера.

1. Организационный момент
2. Биография Л. Эйлера (беседа)
3. Решение задач с помощью графов
4. Решение задач с использованием кругов Эйлера

Биография Л.Эйлера. (Ученики подготовили сообщения по теме).

Леонард Эйлер родился в 1707 г. вблизи города Базеля, Швейцария. Начальное образование получил дома под руководством отца, затем продолжил обучение в гимназии Базеля.

Одновременно он посещает лекции по математике в университете. Известный математик Иоганн Бернулли обратил внимание на способного ученика и начал заниматься с ним отдельно. Так как в то время не существовало учебников по математике, он предложил юноше читать математические мемуары и вместе разбирать прочитанное. «Несомненно, это лучший способ делать успехи в математических науках, – писал Эйлер впоследствии. – После разъяснений одной трудности десятки других исчезали».

В 1723 г. Эйлер получил степень магистра искусств, а в 1727 г. защитил диссертацию о распространении звука. Чувствуя себя сильным математиком, Эйлер претендовал на профессорскую кафедру в Базеле. Потерпев неудачу в этом, он продолжал свои занятия, поддерживаемый надеждой присоединиться к Даниилу и Николаю Бернулли, которые отправились в Петербург. (В 1724 г. по указу Петра I в Петербурге была организована Академия наук. Из-за недостатка собственных ученых было решено привлечь зарубежных специалистов.)

Бернулли были надежными людьми. В 1727 г. Эйлер получил официальный вызов в Петербург, где был назначен адъюнктом математики. В 1730 г. он получил место профессора кафедры физики, а в 1733 г. – кафедры математики.

В этот период Эйлер ведет кипучую деятельность. Он постоянно делает научные доклады на академических конференциях, выступает с публичными лекциями, с лекциями по физике и математике в университете и гимназии при Академии наук. Л. Эйлер принимает активное участие в работе комиссий по обследованию машин и многочисленных технических проектов, в составлении полного географического атласа России, публикует в каждом томе «Комментариев Петербургской академии наук» по нескольку своих научных трудов и т. д.

В конце 1740 г. власть в России перешла в руки регентши Анны Леопольдовны и ее окружения. В это время король Фридрих –II– решает возродить Общество наук и приглашает Эйлера в Берлин. Покинув Петербург, он поддерживал непрерывную связь с Петербургской академией наук. Оставаясь ее почетным членом, продолжал печататься в академических изданиях, по запросам академии сообщал о новых изобретениях и открытиях, исполнял различные поручения.

В 1766 г. Л. Эйлер со своей семьей возвращается в Петербург и приступает к активной деятельности в Академии наук. Он продолжает вести обширные научные исследования и заниматься большой научно-организационной работой. В этот период Л. Эйлер справедливо считался первым математиком в мире и пользовался всеобщим уважением и почетом.

Л. Эйлер умер в 1783 г. и был похоронен в Петербурге. Посмертные почести, оказанные Эйлеру, не остались незамеченными в странах Европы и подняли авторитет России. Математик Кондорсе в речи, произнесенной во Французской Академии наук, сказал: «Народ, который мы в начале этого века принимали за варваров, в настоящем случае подает пример цивилизованной Европе – как чествовать великих людей при жизни и уважать их память после смерти…»

Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной литературе по математике столь же часто, как имя Эйлера. Полное собрание его сочинений насчитывает более 70 томов, а списки его трудов – более 850 названий.

Граф – это набор точек, некоторые из которых соединены линиями. Эти точки называют вершинами. Соединяющие их линии называются ребрами графа.

Очень часто построение графа помогает при решении задач.

Теорема. Граф можно обойти, пройдя по каждому ребру только один раз в том случае, если граф связный и нечетных вершин у него 0 или 2. При этом если нечетных вершин две, то маршрут начинается в одной из них, а заканчивается в другой. Если нечетных вершин нет ни одной, то маршрут может начаться в любой вершине и в ней же закончиться.

Рассмотрим задачу, для решения которой Л. Эйлер впервые применил графы, – это задача о мостах Кенигсберга (сейчас город называется Калининград).

В 18 веке город Кенигсберг был расположен на берегах реки и двух островах. Различные части города были соединены семью мостами, как показано на рисунке. Можно ли совершить прогулку, пройдя по каждому мосту ровно один раз?

Совершить прогулку, пройдя по каждому мосту ровно один раз нельзя, т.к. число нечетных вершин в графе больше двух.

Логика – это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация «замаскирована», представлена неявно и надо уметь ее извлечь.

На одном заводе работают три друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии Борисов, Иванов и Семенов. У слесаря нет ни братьев, ни сестер, он самый младший из друзей. Семенов старше токаря и женат на сестре Борисова. Назовите фамилии слесаря, токаря и сварщика.

Семенов старше токаря и женат на сестре Борисова, значит, Семенов не токарь и Борисов тоже не токарь, т.е. токарь – Иванов.

У слесаря нет ни братьев, ни сестер, значит, Борисов не может быть слесарем, т.е. Борисов – сварщик.

Ответ: Иванов – токарь, Борисов – сварщик, значит, Семенов – слесарь.

Четыре ученицы – Маша, Лида, Женя и Катя – умели играть на разных инструментах (арфе, рояле, гитаре и скрипке), но каждая только на одном. Эти же ученицы владели разными иностранными языками (английским, французским, немецким и испанским), но каждая только одним из этих языков. Известно, что та, которая играет на гитаре, говорит по-испански. Лида не играет ни на скрипке, ни на арфе и не знает английского языка. Маша не играет ни на скрипке, ни на гитаре и не знает английского языка. Та, которая говорит по-немецки, не играет на арфе. Женя знает французский язык, но не играет на скрипке. Кто на каком инструменте играет, и какой язык знает?

1. Ученица, играющая на гитаре, говорит по-испански.
2. Лида не играет ни на скрипке, ни на арфе и не знает английского языка.
3. Ученица, которая говорит по-немецки, не играет на арфе.
4. Маша не играет ни на скрипке, ни на гитаре и не знает английского языка.
5. Женя знает французский язык, но не играет на скрипке.
6. На скрипке не играют ни Маша, ни Лида, ни Женя, значит, на скрипке играет Катя.
7. Женя знает французский язык, значит, она не играет на гитаре, а Катя играет на скрипке, значит, на гитаре она играть не может, т.е. на гитаре играет Лида и она знает испанский язык.
8. Маша не знает английского, значит, она может знать только немецкий.
9. Маша знает немецкий, Лида испанский, Женя французский, значит, Катя знает английский.
10. Катя знает английский и играет на скрипке.
11. Маша знает немецкий и не играет на арфе, значит, она играет на рояле.
12. Женя играет на арфе и знает французский язык.

Ответ:

Лида играет на гитаре и знает испанский язык;
Катя играет на скрипке и знает английский язык;
Маша играет на рояле и знает немецкий язык;
Женя играет на арфе и знает французский язык.

1. Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается коллекционированием.

1) 35 – 16 = 19 (уч.) собирают только марки;
2) 23 – 16 = 7 (уч.) собирают только значки;
3) 7 + 19 + 16 = 42 (уч) занимаются коллекционированием;
4) 52 – 42 = 10 (уч.) не увлекается коллекционированием.

Ответ: 10 учеников.

На экзамене по математике были предложены три задачи: одна по алгебре, одна по геометрии, одна по тригонометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по геометрии – 700, по тригонометрии – 600. При этом задачи по алгебре и геометрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и тригонометрии – 500, по геометрии и тригонометрии – 400. А 300 абитуриентов решили все задачи. Сколько абитуриентов не решили ни одной задачи?

Ответ: 100 абитуриентов не решили ни одной задачи.

1. Три подруги были в белом, красном и голубом платьях. Их туфли были тех же цветов. Только у Тамары цвета платья и туфель совпали. Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были красными. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.
2. Три друга: Алеша, Боря и Витя – учатся в одном классе. Один из них ездит домой из школы на автобусе, один – на трамвае и один – на троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадку!» Кто на чем ездит домой?
3. В группе из 80 туристов, приехавших на экскурсию в Москву, 52 хотят посетить Большой театр, 30 – Художественный театр, 12 хотят посетить оба театра, остальные в театры ходить не хотят. Сколько человек не собирается идти в театр?
4. Из 38 учащихся класса 28 посещают хоровой кружок и 17 – лыжную секцию. Сколько лыжников посещает хоровой кружок?
5. В институте 40 сотрудников говорят по-английски, 22 – по-немецки, а 8 – по-французски. 15 сотрудников знают английский и немецкий; 5 – немецкий и французский, 7 – английский и французский. На всех трех языках говорят 3 человека, а 12 не владеют иностранными языками. Сколько всего сотрудников в институте?

На «3» – 2 задачи; на «4» – 3 задачи; на «5» 4 или 5 задач.