Решение задач по теме "Производная и ее геометрический смысл"

• В процессе работы над учебными элементами Вы должны:
• Систематизировать теоретические знания.

Научиться

• Применять полученные знания при решении задач.
• Освоение данного модуля будет способствовать развитию Вашего логического мышления.

Найдите УЭ.

Работайте с теоретической частью УЭ и выполняйте практическую часть.

Проверьте практическую работу друг друга.

Переходите к следующему УЭ и работайте, пока не выполните УЭ

Работайте по схеме:

УЭ-0, УЭ-1, УЭ-2, УЭ-3,

УЭ-4, УЭ-5, УЭ-6.

Для успешного выполнения практических заданий по данной теме необходимо

1. Определение производной
2. Правила дифференцирования.
3. Производные элементарных функций.
4. Геометрический смысл производной.

уметь:

1. Применять определение производной
2. Находить производную по правилам дифференцирования.
3. Находить производные элементарных функций.
4. Определять угловой коэффициент прямой.
5. Находить угол между осью Ох и касательной к графику функции.

1. Используя таблицу, найдите пару (для функции найдите её производную). (Приложение)

2. Найдите производную функции:

а)

б)

в)

г)

3. Найдите значение производной функции

,

4. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , если

,

Работайте в парах.

Работайте в тетрадях.

Работайте с учебником.

Работайте в парах.

Работайте в тетрадях

Выполните в тетрадях

1. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой, равной

2. Найдите значение производной этой функции в точке х=2.

Историческая справка

Дифференциальное исчисление создано сравнительно недавно. В 17 веке перед естествознанием возникла проблема – найти законы движения и установить законы механики. Для этого аппарат математики постоянных величин был недостаточным. Два ученых независимо друг от друга: английский физик, механик, астроном и математик И.Ньютон и немецкий математик, физик, философ Г. Лейбниц, создали дифференциальное и интегральное исчисления, которые стали могучим средством решения многих задач. Концепции у ученых были разными. Лейбниц развивал чистый анализ, Ньютон же рассматривал математику, или как тогда говорили, геометрию, как способ для физических исследований. Тем более поразительно, что задолго до этого Архимед решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль. Понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500-1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г. Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения, примененные к разным задачам, стали встречаться в работах у Р. Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Д. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

Лозунгом многих математиков 17 века был: “Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет”.

Цель: привести в систему полученные знания, научиться рассуждать при решении задач, уметь делать самостоятельные выводы.

С этой целью выполнить предложенные задания

Практическое применение производной.

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону

а) Выведите формулу для вычисления скорости движения в любой момент времени t.

б) Найдите скорость в момент времени (Перемещение измеряется в метрах).

в) Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону Найдите скорость и ускорение в момент (Перемещение измеряется в метрах).