Построение сечений многогранников с использованием компьютерной программы "Живая геометрия"

В огромном саду геометрии каждый может подобрать себе букет по вкусу…
И ныне наглядное понимание играет первенствующую роль в геометрии.

Проблема развития мышления учащихся всегда была актуальной для школы и для учителя независимо от того, какой предмет он преподает и какой раздел программы в данный момент изучается. Это относится, в частности, и к геометрическому образованию, в котором делается акцент на важности формирования пространственного мышления, как способности, необходимой для успешных занятий учебной и творческой деятельностью. Пространственное мышление играет важную роль в познании человеком окружающей действительности, в овладении им различными профессиями. Задачи на построение сечений многогранников являются неотъемлемой частью школьного курса геометрии. Решение только этих математических задач включает в себя этапы анализа (поиска плана решения), построения, доказательства и исследования. Поэтому задачи на построение сечений многогранников играют исключительно важную роль в формировании пространственного, алгоритмического и логического мышления школьников. В то же время мы видим, что их изучение проводится эпизодически, уровень требований к знаниям и умениям по данной теме снижается, в связи с этим развивающий потенциал задач на построение сечений многогранников практически не реализуется.

В качестве обоснования можно привести следующие факты. Во многих учебниках по геометрии для средних школ задачи на построение сечений рассматриваются лишь в начале изучения курса стереометрии. На решение этих задач, как правило, отводится три – четыре урока. В дальнейшем, хотя эти задачи и появляются эпизодически в некоторых темах курса стереометрии, учителя обходят их стороной. Причинами отрицательного отношения к задачам на построение сечений многогранников являются большие затраты учебного времени, необходимого для решения этих задач, громоздкость построений, вследствие чего теряется их наглядность и, как результат, негативное отношение к этому разделу курса стереометрии как учащихся, так и учителей.

Таким образом, существует проблема поиска новых средств, форм и методов обучения приемам решения задач на построение сечений многогранников. Одним из таких средств, позволяющим активизировать учебный процесс, сделать его наглядным и интересным, является компьютерная программа «Живая геометрия». Ее использование на уроках способствует развитию творческой деятельности учащихся, их абстрактного и логического мышления, делает изучение геометрии привлекательным, и, что немаловажно, дает возможность высокого эстетического уровня оформления работ.

Следует отметить, что сама среда «Живой геометрии» не является обучающей и «сама ничего не делает», – все чертежи в ней создаются пользователем, а программа лишь предоставляет для этого необходимые средства так же, как и возможности для усовершенствования чертежей и их исследования. Имеющаяся система преобразований позволяет производить над объектами такие операции, как отражение, растяжение, сдвиги, повороты. А главное, во время работы с «Живой геометрией» вы берете мышкой точку на созданном вами чертеже и перемещаете ее по предписанной траектории. При этом изменяется длина, форма линий, то есть первоначальное изображение принимает совсем иные формы. И поверьте, ощущение от этого совсем иное, чем при разглядывании статистического чертежа!

Использование цвета, жирности и размеров объектов приводит к возможности формулировок, не всегда похожих на традиционные. Это очень удобно применять, поскольку слова «маленький зеленый треугольник» часто понятнее, чем «треугольник ».

Одно из главных достоинств «Живой геометрии» – возможность непрерывно менять объекты, что создает предпосылки для развития компьютерного эксперимента. Любые такие чертежи, в отличие от начерченных на бумаге или классной доске, относятся не к индивидуальной геометрической фигуре, а к целому непрерывному семейству фигур. В связи с этим при работе на компьютере элементы мы принимаем как переменные, а фигуры – как деформируемые. Это позволяет развивать специальное конфигурационное мышление.

Однако хочу заметить, что нельзя отказаться полностью от построения чертежей в тетрадке карандашом и на доске мелом. Ведь на итоговой аттестации в форме ЕГЭ под рукой не будет ни компьютера, ни программы «Живая геометрия», а только одна ручка. Поэтому считаю необходимым научить выполнять чертежи в тетрадке и на доске с использованием традиционных инструментов, а лишь затем приступать к работе в компьютерной среде «Живая геометрия», которая является мощным дополнением, с легкостью, заменяющим различные наглядности и модели.

Предлагаю вашему вниманию урок стереометрии в 10 классе (углубленное изучение) по теме «Построение сечений многогранников в компьютерной среде «Живая геометрия»».

Цели урока:

Образовательные:

• обобщить, систематизировать и закрепить полученные знания на предыдущих уроках;
• при помощи информационных технологий построить сечения;
• продолжить формирование умения анализировать задачу, применять знания в новой ситуации.

Развивающие:

• развитие геометрической интуиции на образы, свойства, методы построения;
• развитие пространственного мышления, пространственной абстракции, их общности, анализа и синтеза геометрических образов, пространственного воображения;
• развитие логического мышления (владение правилами логического вывода и построения, владение разными методами геометрии);
• развитие графической культуры и математической речи.

Воспитательные: воспитывать активность и самостоятельность, аккуратность учащихся, интерес к предмету.

Ход урока

Вступительное слово учителя о целях и задачах урока.

Учитель: На нашем уроке сегодня мы вновь встретимся с задачами на построение сечений многогранников, но сегодня мы такие построения выполним на компьютере в программе «Живая геометрия». С теоретическим материалом по сечениям вы знакомы, а также вам известны аксиомы стереометрии и следствия из них. Итак, давайте сейчас вспомним некоторые теоретические сведения и применим их как в устной работе, так и на практике, при решении задач.

Итак, внимание на экран.

Задача 1. Ученик нарисовал четырехугольник ABCD. Прямая AD лежит в плоскости , прямая BC пересекает плоскость  в точке K. Есть ли ошибка на рисунке?

Т.к. ABCD четырехугольник  (ABC):

Подытожим: какая теория была использована? (Ответы учащихся по теории).

Задача 2. Ученик нарисовал четырехугольник ABCD. Точка D лежит в плоскости . Прямая AB пересекает плоскость  в точке К, ВС пересекает плоскость  в точке L. Есть ли ошибка на рисунке?

(Ответ: точки К, L, D должны лежать на одной прямой).

Какую теорию использовали при обсуждении этой задачи? (Ответы учащихся по теории).

Хорошо! Вспомним теперь, что же такое сечение.

Сечением многогранника плоскостью является многоугольник, представляющий собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости, плоскость при этом называется секущей плоскостью.

1. Таким образом, секущая плоскость пересекает грани многогранника по линиям (отрезкам). А может ли секущая плоскость пересекать грани по ломанным?
2. А если пересечением плоскости и многогранника является точка (т.е. вершина многогранника), такая плоскость будет называться секущей? (Нет). А если отрезок (ребро многогранника)? (Нет).

Задача 3. Ученик нарисовал сечение тетраэдра плоскостью. Есть ли ошибки на рисунках?

 

 

Ответы учащихся с объяснением.

Перед построением сечений просмотр видеоролика «Построение сечений куба».

Ответы на вопросы учителя.

1. Что важного вы заметили, на что обратили внимание после этого просмотра?
2. Почему было сказано, что сечение будем строить через 3 точки?
3. А что происходит, если мы меняем положение точек?
4. Что можно сказать об отрезках, лежащих в параллельных гранях многогранника?

И вот теперь мы приступаем к построению сечений в программе «Живая геометрия». Откройте на рабочем столе папку «Живая геометрия» и найдите нужный файл.

Задача 4 Построить плоскость .

Верно построить сечение – это наполовину решить задачу. Мы уже готовимся к итоговому экзамену в форме ЕГЭ. В тестах встречается довольно много задач на построение сечений, но не только построение, но и нахождение каких- либо величин (таких, как площадь сечения, периметр сечения и т.д.). Сейчас я хочу вам предложить задачу из теста ЕГЭ.

Задача 5. Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник с катетами AC=3, CB= 4, а ее боковое ребро равно . В призме проведены два сечения. Одно из них проходит через ребро AC и вершину B₁, а другое – через ребро CC₁ и середину AB. Найти длину отрезка, являющегося общей частью этих сечений.

Решение.

PC – общий отрезок. PC – ? AB=5. CO – медиана из вершины прямого угла; . ~. - прямоугольный: .

Ответ: 3.

Задача 6. Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью, перпендикулярной основанию и делящей две стороны основания пополам. Найти площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 24.

Решение.

РО – высота РАВС; – правильный, СМ – высота . . – средняя линия . . ~; . .

Ответ: 9.

Задача 7. В правильной четырехугольной призме построено сечение, проходящее через середины двух смежных сторон основания и середину отрезка, соединяющего центры оснований. Найти площадь сечения, если сторона основания 2 дм, а высота – 4 дм.

Решение.

1. .
2. MF – средняя линия , Р –середина A₁B₁, N – середина B₁C₁ ; .
3. .
4. MKPNEF – искомое сечение.
5. .
6. .
7. . .
8. . .

Ответ: 9.

Динамическая пауза.

Учитель: Сечения, которые мы с вами строили до этого момента, осуществлялись на основании аксиом стереометрии и теорем. Вместе с тем, существует еще один метод построения плоских сечений многогранников, который называется «метод следов».

Ролик «Метод следов».

Ну, во-первых, что же такое след?

Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом секущей плоскости α в плоскости этого основания.

Из определения следует, что в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая – в плоскости основания. Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. Причем в секущей плоскости, удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника.

Задача 8. Построить сечение призмы ABCDEA₁B₁C₁D₁E1 плоскостью α, которая задана следом a в плоскости (ABC) основания призмы и точки M, принадлежащей ребру DD₁.

MNPFL – искомое сечение.

Задача 9. Построить сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью, которая задана следом l и точкой K ребра PE.

Задача 10. Построить сечение призмы ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ плоскостью , где M, P, R являются точками соответственно ребер AA₁, CC₁, EE₁.

Решение.

Задача 11. Точки P, Q, R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ следующим образом: точка P лежит в грани CC₁D₁D, точка Q – в грани СC₁D₁D точка R лежит на прямой BB₁ (вне отрезка BB₁). Построить сечение параллелепипеда плоскостью PQR.

Решение.

Задача 12. Дан правильный тетраэдр PABC с ребром равным 6. Через центр O основания ABC тетраэдра проведена плоскость α, параллельная BC и пересекающая ребро AP в некоторой точке K. Постройте сечение тетраэдра плоскостью α. Укажите границы изменения площади этого сечения при всевозможных положениях точки K на ребре AP.

Решение.

В сечении тетраэдра всякий раз будет получаться равнобедренный треугольник с основанием DL. Наименьшую площадь имеет треугольник DLK, плоскость которого перпендикулярна АР. Наибольшую площадь имеет треугольник DLP. В: . В ; . . .

Ответ:

Домашнее задание: составить две задачи на построение сечений многогранников с использованием полученных знаний.

Подведение итогов урока, выставление оценок.